Piani inclinati

Il piano è liscio, quindi sul blocco agiscono solo il peso e la reazione normale. Si sceglie l’asse $x$ lungo il piano, verso il basso, e l’asse $y$ perpendicolare al piano. Il peso si scompone in $mg\sin \alpha$ lungo il piano e $mg\cos \alpha$ perpendicolare al piano; il blocco non si stacca dal piano, perciò lungo $y$ l’accelerazione è nulla e la reazione normale equilibra la componente perpendicolare. Si ottengono così i risultati del piano inclinato liscio, $a=g\sin \alpha$ e $N=mg\cos \alpha$.

L’accelerazione è costante e il blocco parte da fermo, quindi il moto lungo il piano è uniformemente accelerato. Dalla legge oraria si ricava il tempo per percorrere i $3,0\mathrm{m}$, e dalla relazione tra velocità e spazio la velocità finale. Come controllo, $v=at=4,905\cdot 1,106m/s=5,42m/s$. La velocità alla base è la stessa che si avrebbe in caduta libera da un’altezza $d\sin \alpha =1,5\mathrm{m}$, poiché $\sqrt{2\cdot 9,81\cdot 1,5}m/s=5,42m/s$; il motivo si chiarisce nell’argomento sul lavoro e l’energia.

A velocità costante l’accelerazione è nulla, quindi la risultante delle forze è nulla in entrambi i casi. Si usano gli assi del piano inclinato: $x$ lungo il piano verso l’alto, $y$ perpendicolare. Nel primo caso la forza applicata ha solo la componente lungo $x$ e deve equilibrare la componente del peso lungo il piano, $mg\sin \alpha =16,8\mathrm{N}$.

Nel secondo caso la forza orizzontale forma l’angolo $\alpha$ con il piano, quindi ha una componente $F\cos \alpha$ lungo il piano e una componente $F\sin \alpha$ che preme la cassa contro il piano. La prima equazione dà $F=mg\tan \alpha =17,9\mathrm{N}$, un valore maggiore di quello con la forza parallela, perché solo una parte della forza orizzontale è utile a spingere lungo il piano. La seconda equazione dà la reazione normale $52,2\mathrm{N}$, maggiore di $mg\cos \alpha =46,1\mathrm{N}$ a causa della componente di $F$ che spinge contro il piano.

Per stabilire se il blocco scivola si usa la condizione dell’angolo limite, secondo la quale un corpo fermo resta in quiete se e solo se $\tan \alpha \le {\mu }_s$. Poiché $\tan 35^{\circ }=0,700$ supera ${\mu }_s=0,40$, l’attrito statico non riesce a equilibrare la componente del peso lungo il piano, e il blocco comincia a scivolare.

Durante lo scivolamento l’attrito è dinamico, ha modulo ${\mu }_{d}N={\mu }_{d}mg\cos \alpha$ ed è diretto lungo il piano verso l’alto, in verso opposto al moto. Il secondo principio lungo il piano dà l’accelerazione del piano inclinato con attrito, $a=3,62m/{\mathrm{s}}^2$, che non dipende dalla massa; la massa serve solo a calcolare le forze, per esempio $N=12,1\mathrm{N}$ e $f_d=3,01\mathrm{N}$. Il moto è uniformemente accelerato da fermo, quindi dopo $2,0\mathrm{m}$ la velocità è $3,80m/s$. Come controllo, l’accelerazione è minore di quella sul piano liscio, $g\sin 35^{\circ }=5,63m/{\mathrm{s}}^2$.

Il problema si divide in due fasi, perché l’attrito dinamico cambia verso quando cambia il verso del moto. In salita il blocco si muove verso l’alto, quindi l’attrito è diretto verso il basso, come la componente del peso lungo il piano, e le due forze si sommano e la decelerazione vale $a_s=6,81m/{\mathrm{s}}^2$. Il moto è uniformemente decelerato, perciò il blocco si ferma dopo $d=2,64\mathrm{m}$.

Nel punto più alto il blocco è fermo per un istante, quindi per sapere se ridiscende si usa la condizione dell’angolo limite. Poiché $\tan 25^{\circ }=0,466$ supera ${\mu }_s=0,40$, il blocco ridiscende. In discesa l’attrito è diretto verso l’alto e si oppone alla componente del peso, perciò l’accelerazione è molto più piccola, $a_d=1,48m/{\mathrm{s}}^2$. Ripercorrendo i $2,64\mathrm{m}$ partendo da fermo, il blocco ripassa dal punto di lancio con $2,80m/s$, meno della metà della velocità iniziale, perché in entrambe le fasi l’attrito ha sottratto energia al moto.