Esercizi svolti · Scheda 2

Accelerazione di gravità su altri pianeti, in quota e in profondità

Teoria usata: Accelerazione di gravità alla superficie Variazione di g con la quota Variazione di g con la profondità Campo di una sfera omogenea Assenza di peso in orbita

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Esercizio 1

Marte ha massa $M = 6, 42 \cdot 1 0^{23} kg$ e raggio $R = 3, 39 \cdot 1 0^{6} m$ . Calcolare l’accelerazione di gravità alla sua superficie e il peso su Marte di un astronauta di massa $m = 70 kg$ , confrontandolo con il peso sulla Terra ( $g_{0} = 9, 81 m/ s^{2}$ ). Si trascuri la rotazione del pianeta.

g_{M} = \frac{GM}{R ^{2}}, P_{M} = m g_{M}

g_{M} = \frac{6 , 67 \cdot 1 0 ^{- 11} \cdot 6 , 42 \cdot 1 0 ^{23}}{( 3 , 39 \cdot 1 0 ^{6} ) ^{2}} m/ s^{2} = \frac{4 , 28 \cdot 1 0 ^{13}}{1 , 149 \cdot 1 0 ^{13}} m/ s^{2} = 3, 73 m/ s^{2}

P_{M} = 70 \cdot 3, 73 N = 261 N, P_{T} = 70 \cdot 9, 81 N = 687 N, \frac{P _{M}}{P _{T}} = \frac{g _{M}}{g _{0}} = 0, 380

Il pianeta si considera una sfera la cui densità dipende solo dalla distanza dal centro, quindi alla superficie attrae come una massa puntiforme posta nel centro a distanza $R$ . L’accelerazione di gravità alla superficie è perciò $\frac{GM}{R ^{2}}$ . Trascurando la rotazione, il peso coincide con la forza gravitazionale $m g_{M}$ .

La massa dell’astronauta è la stessa sui due pianeti, mentre il peso cambia nel rapporto tra le accelerazioni di gravità: su Marte l’astronauta pesa il $38%$ di quanto pesa sulla Terra. Come controllo dell’ordine di grandezza, Marte ha circa un decimo della massa terrestre e circa metà del raggio; poiché $g$ è proporzionale a $\frac{M}{R ^{2}}$ , si ottiene circa $\frac{0 , 1}{0 , 5 ^{2}} = 0, 4$ volte il valore terrestre, in accordo con il calcolo.

Esercizio 2

Determinare la quota $h$ alla quale l’accelerazione di gravità terrestre vale un quarto del valore alla superficie e la quota alla quale è diminuita dell’ $1%$ . Per la seconda quota si confronti il valore esatto con quello dato dall’approssimazione per piccole quote. Si usi $R_{T} = 6, 37 \cdot 1 0^{6} m$ .

g (h) = g_{0} \frac{R _{T}^{2}}{( R _{T} + h ) ^{2}} = k g_{0} ⟺ \frac{R _{T}}{R _{T} + h} = k ⟺ h = R_{T} (\frac{1}{k} - 1)

k = \frac{1}{4} : h = R_{T} (2 - 1) = R_{T} = 6, 37 \cdot 1 0^{6} m

k = 0, 99 : h = 6, 37 \cdot 1 0^{6} (\frac{1}{0 , 99} - 1) m = 6, 37 \cdot 1 0^{6} \cdot 5, 04 \cdot 1 0^{- 3} m = 3, 21 \cdot 1 0^{4} m

g \approx g_{0} (1 - \frac{2 h}{R _{T}}) = 0, 99 g_{0} ⟺ h = 0, 005 R_{T} = 3, 19 \cdot 1 0^{4} m

\frac{g}{g _{0}}

in funzione di

\frac{h}{R _{T}}

: alla quota

h = R_{T}

il rapporto è

\frac{1}{4}

; la retta tratteggiata è l'approssimazione

1 - \frac{2 h}{R _{T}}

, valida solo vicino a

h = 0

Per la variazione di g con la quota il rapporto $\frac{g}{g _{0}}$ è $\frac{R _{T}^{2}}{( R _{T} + h ) ^{2}}$ . Si impone che sia uguale a $k$ e si estrae la radice quadrata; entrambi i membri sono positivi, quindi l’equazione ottenuta è equivalente e si risolve rispetto a $h$ . Con $k = \frac{1}{4}$ la distanza dal centro deve raddoppiare, perciò la quota è uguale al raggio terrestre.

Per una diminuzione dell’ $1%$ la quota esatta è $32, 1 km$ . L’approssimazione al primo ordine dà $31, 9 km$ , con una differenza inferiore all’ $1%$ , perché la quota è piccola rispetto a $R_{T}$ . Il grafico mostra che a quote confrontabili con $R_{T}$ la retta si allontana dalla curva esatta e l’approssimazione non si applica.

Esercizio 3

La Stazione spaziale internazionale orbita a una quota $h = 400 km$ . Calcolare l’accelerazione di gravità a quella quota, in valore assoluto e in rapporto al valore $g_{0} = 9, 81 m/ s^{2}$ alla superficie, con $R_{T} = 6, 37 \cdot 1 0^{6} m$ , e spiegare perché gli astronauti a bordo galleggiano.

g (h) = g_{0} (\frac{R _{T}}{R _{T} + h})^{2}

\frac{g ( h )}{g _{0}} = (\frac{6 , 37 \cdot 1 0 ^{6}}{6 , 77 \cdot 1 0 ^{6}})^{2} = 0, 94 1^{2} = 0, 885

g (h) = 0, 885 \cdot 9, 81 m/ s^{2} = 8, 69 m/ s^{2}

La quota si somma al raggio terrestre per ottenere la distanza dal centro, $6, 77 \cdot 1 0^{6} m$ , e la variazione di g con la quota dà un’accelerazione di gravità pari all’ $88, 5%$ di quella al suolo. La forza gravitazionale sugli astronauti è quindi quasi la stessa che sentono sulla Terra.

Gli astronauti galleggiano perché la stazione e tutto ciò che contiene si muovono con la stessa accelerazione $g$ , diretta verso il centro della Terra: sono in caduta libera insieme. Il pavimento della stazione non deve sostenere gli astronauti, quindi non esercita su di loro alcuna reazione vincolare, e la reazione del vincolo è ciò che si percepisce come peso. Perciò il peso apparente è nullo anche se la forza gravitazionale è presente.

Esercizio 4

Nel modello di Terra sferica a densità uniforme, determinare la profondità $d$ alla quale l’accelerazione di gravità è uguale a quella alla quota $h = 100 km$ sopra la superficie. Si usi $R_{T} = 6, 37 \cdot 1 0^{6} m$ e si confronti il risultato con $2 h$ .

g_{prof} (d) = g_{0} (1 - \frac{d}{R _{T}}), g_{quota} (h) = g_{0} \frac{R _{T}^{2}}{( R _{T} + h ) ^{2}}

1 - \frac{d}{R _{T}} = \frac{R _{T}^{2}}{( R _{T} + h ) ^{2}} ⟺ d = R_{T} (1 - \frac{R _{T}^{2}}{( R _{T} + h ) ^{2}})

\frac{R _{T}^{2}}{( R _{T} + h ) ^{2}} = (\frac{6 , 37}{6 , 47})^{2} = 0, 9693

d = 6, 37 \cdot 1 0^{6} \cdot (1 - 0, 9693) m = 1, 95 \cdot 1 0^{5} m

All’interno di una sfera omogenea il campo cresce linearmente con la distanza dal centro, quindi a profondità $d$ , cioè a distanza $R_{T} - d$ dal centro, vale $g_{0} (1 - \frac{d}{R _{T}})$ ; è la variazione di g con la profondità. All’esterno vale invece la legge con $\frac{1}{r ^{2}}$ . Uguagliando le due espressioni si semplifica $g_{0}$ e si ricava $d$ .

La profondità cercata è circa $195 km$ , quasi il doppio della quota. Il motivo si vede dalle approssimazioni al primo ordine: in quota $g \approx g_{0} (1 - \frac{2 h}{R _{T}})$ , in profondità $g = g_{0} (1 - \frac{d}{R _{T}})$ , quindi le due accelerazioni coincidono per $d \approx 2 h = 200 km$ . La piccola differenza rispetto a $200 km$ è dovuta ai termini trascurati nell’approssimazione.