Esercizi svolti · Scheda 3

Satelliti in orbita circolare

Teoria usata: Velocità e periodo in orbita circolare Satellite geostazionario Terza legge di Keplero per orbite circolari Accelerazione di gravità alla superficie

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Esercizio 1

Un satellite percorre un’orbita circolare a quota $h = 600 km$ sopra la superficie terrestre. Calcolare la velocità del satellite e il periodo dell’orbita. Dati: $G = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11} N \cdot m^{2} /k g^{2}$ , $M_{T} = 5, 97 \cdot 1 0^{24} kg$ , $R_{T} = 6, 37 \cdot 1 0^{6} m$ ; si trascurano l’attrito dell’atmosfera e l’attrazione della Luna e del Sole.

r = R_{T} + h, \frac{G M _{T} m}{r ^{2}} = m \frac{v ^{2}}{r} ⟹ v = \frac{G M _{T}}{r}, T = \frac{2 π r}{v}

r = 6, 37 \cdot 1 0^{6} m + 0, 60 \cdot 1 0^{6} m = 6, 97 \cdot 1 0^{6} m, G M_{T} = 3, 98 \cdot 1 0^{14} m^{3} / s^{2}

v = \frac{3 , 98 \cdot 1 0 ^{14}}{6 , 97 \cdot 1 0 ^{6}} m/s = 5, 71 \cdot 1 0^{7} m/s = 7, 56 \cdot 1 0^{3} m/s

T = \frac{2 π \cdot 6 , 97 \cdot 1 0 ^{6}}{7 , 56 \cdot 1 0 ^{3}} s = 5, 79 \cdot 1 0^{3} s \approx 96, 6 min

Il raggio dell’orbita è la distanza dal centro della Terra, quindi alla quota va sommato il raggio terrestre. L’unica forza sul satellite è l’attrazione gravitazionale, e in un’orbita circolare questa forza fornisce l’accelerazione centripeta; uguagliando le due espressioni la massa $m$ del satellite si semplifica e si ottiene la velocità in orbita circolare. Il periodo è il tempo necessario per percorrere la circonferenza di raggio $r$ alla velocità $v$ .

Il satellite viaggia a $7, 56 km/s$ e compie un giro in circa un’ora e mezza. Come controllo, la velocità è di poco inferiore a quella dell’orbita radente, $7, 91 km/s$ , come deve essere per un’orbita leggermente più alta.

Esercizio 2

Un satellite geostazionario percorre un’orbita circolare equatoriale con periodo uguale al giorno sidereo, $T = 86164 s$ . Calcolare il raggio dell’orbita, la quota sopra la superficie e la velocità del satellite. Si usino $G M_{T} = 3, 98 \cdot 1 0^{14} m^{3} / s^{2}$ e $R_{T} = 6, 37 \cdot 1 0^{6} m$ .

T = 2 π \frac{r ^{3}}{G M _{T}} ⟺ r = 3 \frac{G M _{T} T ^{2}}{4 π ^{2}}

r = 3 \frac{3 , 98 \cdot 1 0 ^{14} \cdot ( 8 , 6164 \cdot 1 0 ^{4} ) ^{2}}{4 π ^{2}} m = 3 7, 48 \cdot 1 0^{22} m = 4, 21 \cdot 1 0^{7} m

h = r - R_{T} = 4, 214 \cdot 1 0^{7} m - 0, 637 \cdot 1 0^{7} m = 3, 58 \cdot 1 0^{7} m

v = \frac{2 π r}{T} = \frac{2 π \cdot 4 , 214 \cdot 1 0 ^{7}}{86 164} m/s = 3, 07 \cdot 1 0^{3} m/s

Il satellite geostazionario deve compiere un giro mentre la Terra compie una rotazione rispetto alle stelle, quindi il suo periodo è il giorno sidereo, che è circa quattro minuti più corto del giorno solare di $24$ ore. Dalla formula del periodo in orbita circolare si isola $r^{3}$ e si estrae la radice cubica.

L’orbita ha raggio $4, 21 \cdot 1 0^{7} m$ , cioè circa $6, 6$ raggi terrestri, e la quota è circa $35800 km$ . La velocità è circa $3, 07 km/s$ , molto minore di quella di un satellite in orbita bassa. Come controllo, la stessa velocità si ottiene da $\frac{G M _{T}}{r} = 9, 45 \cdot 1 0^{6} m/s = 3, 07 \cdot 1 0^{3} m/s$ .

Esercizio 3

Io, il satellite più interno tra quelli scoperti da Galileo, percorre attorno a Giove un’orbita quasi circolare di raggio $r = 4, 22 \cdot 1 0^{8} m$ con periodo $T = 1, 769$ giorni. Calcolare la massa di Giove, con $G = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11} N \cdot m^{2} /k g^{2}$ .

T^{2} = \frac{4 π ^{2}}{G M _{G}} r^{3} ⟺ M_{G} = \frac{4 π ^{2} r ^{3}}{G T ^{2}}

T = 1, 769 \cdot 86400 s = 1, 528 \cdot 1 0^{5} s

M_{G} = \frac{4 π ^{2} \cdot ( 4 , 22 \cdot 1 0 ^{8} ) ^{3}}{6 , 67 \cdot 1 0 ^{- 11} \cdot ( 1 , 528 \cdot 1 0 ^{5} ) ^{2}} kg = \frac{39 , 48 \cdot 7 , 515 \cdot 1 0 ^{25}}{6 , 67 \cdot 1 0 ^{- 11} \cdot 2 , 336 \cdot 1 0 ^{10}} kg = 1, 90 \cdot 1 0^{27} kg

Il moto di Io è determinato dalla sola attrazione di Giove, la cui massa è molto maggiore di quella del satellite; si trascurano le perturbazioni degli altri satelliti e del Sole. Per la terza legge di Keplero nel caso di orbite circolari il rapporto $\frac{T ^{2}}{r ^{3}}$ dipende solo dalla massa del corpo centrale, quindi dal periodo e dal raggio dell’orbita si ricava la massa di Giove. Il periodo va convertito in secondi prima di sostituire.

Giove ha massa $1, 90 \cdot 1 0^{27} kg$ , circa $320$ volte la massa della Terra. La massa del satellite non compare nel calcolo, quindi questo metodo misura la massa dei pianeti che hanno almeno un satellite osservabile.