Esercizi svolti · Scheda 1

Forze gravitazionali tra corpi puntiformi e sferici

Teoria usata: Legge di gravitazione universale Principio di sovrapposizione Campo di una sfera omogenea

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Esercizio 1

Due sfere di piombo omogenee, di masse $m_{1} = 5, 0 kg$ e $m_{2} = 8, 0 kg$ , hanno i centri a distanza $r = 0, 20 m$ . Calcolare il modulo della forza gravitazionale tra le sfere, confrontarlo con il peso della prima sfera e calcolare l’accelerazione che la forza imprimerebbe alla prima sfera se fosse libera di muoversi. Si usi $G = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11} N \cdot m^{2} /k g^{2}$ .

F = G \frac{m _{1} m _{2}}{r ^{2}}, P_{1} = m_{1} g, a_{1} = \frac{F}{m _{1}} = G \frac{m _{2}}{r ^{2}}

F = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11} \cdot \frac{5 , 0 \cdot 8 , 0}{0 , 2 0 ^{2}} N = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11} \cdot 1000 N = 6, 7 \cdot 1 0^{- 8} N

P_{1} = 5, 0 \cdot 9, 81 N = 49 N, \frac{F}{P _{1}} = \frac{6 , 67 \cdot 1 0 ^{- 8}}{49 , 05} = 1, 4 \cdot 1 0^{- 9}

a_{1} = \frac{6 , 67 \cdot 1 0 ^{- 8} N}{5 , 0 kg} = 1, 3 \cdot 1 0^{- 8} m/ s^{2}

Le sfere sono omogenee, quindi per il campo di una sfera omogenea ciascuna attrae i punti esterni come se la sua massa fosse concentrata nel centro; per questo nella legge di gravitazione universale si usa la distanza tra i centri, anche se le sfere non sono piccole rispetto a $0, 20 m$ . La forza vale circa $6, 7 \cdot 1 0^{- 8} N$ , poco più di un miliardesimo del peso della sfera. L’accelerazione si ottiene dal secondo principio dividendo la forza per $m_{1}$ , e la massa $m_{1}$ si semplifica: l’accelerazione di un corpo dipende solo dalla massa che lo attrae.

Come controllo dimensionale, $N \cdot m^{2} /k g^{2} \cdot k g^{2} / m^{2} = N$ . Il risultato spiega perché l’attrazione tra oggetti di uso comune non si osserva: occorre una bilancia di torsione, come quella di Cavendish, per misurarla.

Esercizio 2

Tre punti materiali giacciono su un asse $x$ : $m_{1} = 4, 0 kg$ in $x_{1} = 0$ , $m_{2} = 1, 0 kg$ in $x_{2} = 0, 50 m$ e $m_{3} = 9, 0 kg$ in $x_{3} = 1, 50 m$ . Calcolare la forza gravitazionale totale su $m_{2}$ .

F_{12} = G \frac{m _{1} m _{2}}{( x _{2} - x _{1} ) ^{2}} verso - x, F_{32} = G \frac{m _{3} m _{2}}{( x _{3} - x _{2} ) ^{2}} verso + x

F_{x} = - F_{12} + F_{32} = G m_{2} (\frac{m _{3}}{( x _{3} - x _{2} ) ^{2}} - \frac{m _{1}}{( x _{2} - x _{1} ) ^{2}})

F_{x} = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11} \cdot 1, 0 \cdot (\frac{9 , 0}{1 , 0 ^{2}} - \frac{4 , 0}{0 , 5 0 ^{2}}) N = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11} \cdot (9, 0 - 16) N = - 4, 7 \cdot 1 0^{- 10} N

Per il principio di sovrapposizione la forza totale su $m_{2}$ è la somma delle forze dovute a $m_{1}$ e a $m_{3}$ , calcolate ciascuna come se l’altra massa non ci fosse. Ogni forza è attrattiva, quindi è diretta verso la massa che la esercita: la forza di $m_{1}$ , che si trova a sinistra di $m_{2}$ , ha verso $- x$ , mentre quella di $m_{3}$ ha verso $+ x$ . Le due forze hanno la stessa retta d’azione, perciò la somma si riduce alla somma delle componenti $x$ con il loro segno.

La massa $m_{3}$ è più grande, ma si trova a distanza doppia e la forza decresce con il quadrato della distanza. Il contributo di $m_{1}$ prevale, quindi la forza totale ha modulo $4, 7 \cdot 1 0^{- 10} N$ ed è diretta verso $m_{1}$ .

Esercizio 3

Un punto materiale di massa $m = 0, 50 kg$ è nell’origine di un riferimento $O x y$ . Una massa $m_{A} = 6, 0 kg$ è nel punto $A = (0, 30 m, 0)$ e una massa $m_{B} = 8, 0 kg$ nel punto $B = (0, 0, 40 m)$ . Calcolare modulo e direzione della forza gravitazionale totale su $m$ .

Posizioni in decimetri; le frecce hanno lunghezza proporzionale al modulo delle forze, con

F_{A} : F_{B} = 4 : 3

F = F_{A} + F_{B}, F_{x} = G \frac{m m _{A}}{x _{A}^{2}}, F_{y} = G \frac{m m _{B}}{y _{B}^{2}}

F = F_{x}^{2} + F_{y}^{2}, tan φ = \frac{F _{y}}{F _{x}}

F_{x} = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11} \cdot \frac{0 , 50 \cdot 6 , 0}{0 , 3 0 ^{2}} N = 2, 22 \cdot 1 0^{- 9} N

F_{y} = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11} \cdot \frac{0 , 50 \cdot 8 , 0}{0 , 4 0 ^{2}} N = 1, 67 \cdot 1 0^{- 9} N

F = 2, 2 2^{2} + 1, 6 7^{2} \cdot 1 0^{- 9} N = 2, 78 \cdot 1 0^{- 9} N, tan φ = \frac{1 , 67}{2 , 22} = 0, 75, φ = 36, 9^{\circ}

Le due masse si trovano sugli assi, quindi la forza di $m_{A}$ è diretta lungo $+ x$ e quella di $m_{B}$ lungo $+ y$ , verso le masse che le esercitano. Per il principio di sovrapposizione la forza totale è la loro somma vettoriale, e poiché le due forze sono perpendicolari le loro intensità sono direttamente le componenti $F_{x}$ e $F_{y}$ della risultante.

Il modulo si ottiene con il teorema di Pitagora e l’angolo $φ$ con l’asse $x$ dalla tangente. I numeri sono nel rapporto $F_{x} : F_{y} = \frac{100}{3} : 25 = 4 : 3$ , quindi il triangolo delle forze ha i lati proporzionali a $3$ , $4$ , $5$ e $tan φ = \frac{3}{4}$ esattamente. La forza totale ha modulo $2, 78 \cdot 1 0^{- 9} N$ e forma con l’asse $x$ un angolo di $36, 9^{\circ}$ , verso il primo quadrante.