Esercizi svolti · Scheda 2

Problemi di analisi dimensionale

Teoria usata: Dimensioni di una grandezza Principio di omogeneità dimensionale Grandezze fondamentali e derivate Sistema Internazionale di unità

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Esercizio 1

Stabilire quali delle seguenti relazioni sono dimensionalmente corrette, dove $x$ e $Δ x$ sono lunghezze, $t$ un tempo, $v$ e $v_{0}$ velocità e $a$ un’accelerazione:

(i) v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x, (ii) x = v_{0} t + a t .

[v] = [L T^{- 1}], [a] = [L T^{- 2}], [Δ x] = [L], [t] = [T]

(i) [v^{2}] = [v_{0}^{2}] = [L^{2} T^{- 2}], [a Δ x] = [L T^{- 2}] [L] = [L^{2} T^{- 2}]

(ii) [x] = [L], [v_{0} t] = [L T^{- 1}] [T] = [L], [a t] = [L T^{- 2}] [T] = [L T^{- 1}]

Per il principio di omogeneità dimensionale tutti i termini sommati in una relazione e i due membri dell’uguaglianza devono avere le stesse dimensioni. Il fattore $2$ è un numero puro e non cambia le dimensioni. Nella relazione (i) i tre termini hanno tutti dimensione $[L^{2} T^{- 2}]$ , quindi la relazione è dimensionalmente corretta. Nella relazione (ii) il termine $a t$ ha la dimensione di una velocità, mentre $x$ e $v_{0} t$ sono lunghezze; perciò la relazione (ii) è errata. La relazione (i) è una formula del moto uniformemente accelerato; la sua correttezza dimensionale è una condizione necessaria, e per stabilire che è esatta serve la sua deduzione, svolta nell’argomento sulla cinematica in una dimensione.

Esercizio 2

Determinare le dimensioni e l’unità SI delle costanti $k$ , $b$ e $G$ che compaiono nelle leggi

F = k x, F = b v, F = G \frac{m _{1} m _{2}}{r ^{2}},

dove $F$ è una forza, $x$ e $r$ lunghezze, $v$ una velocità, $m_{1}$ e $m_{2}$ masse.

[F] = [M L T^{- 2}]

[k] = \frac{[ F ]}{[ x ]} = \frac{[ M L T ^{- 2} ]}{[ L ]} = [M T^{- 2}] ⟹ kg/ s^{2} = N/m

[b] = \frac{[ F ]}{[ v ]} = \frac{[ M L T ^{- 2} ]}{[ L T ^{- 1} ]} = [M T^{- 1}] ⟹ kg/s

[G] = \frac{[ F ] [ r ^{2} ]}{[ m _{1} m _{2} ]} = \frac{[ M L T ^{- 2} ] [ L ^{2} ]}{[ M ^{2} ]} = [M^{- 1} L^{3} T^{- 2}] ⟹ m^{3} / (kg \cdot s^{2}) = N \cdot m^{2} /k g^{2}

Ogni costante si isola nella sua legge e le sue dimensioni sono quelle del rapporto ottenuto, perché i due membri di una relazione fisica hanno le stesse dimensioni. La forza ha le dimensioni di massa per accelerazione, cioè $[M L T^{- 2}]$ . La costante elastica $k$ è una forza divisa per una lunghezza, quindi si misura in $N/m$ , che in unità di base è $kg/ s^{2}$ . Il coefficiente $b$ è una forza divisa per una velocità e si misura in $kg/s$ . Per la costante di gravitazione si moltiplica la forza per il quadrato della distanza e si divide per il prodotto delle masse; l’unità è $N \cdot m^{2} /k g^{2}$ , che in unità di base diventa $m^{3} / (kg \cdot s^{2})$ .

Esercizio 3

La velocità $v$ delle onde su una corda tesa dipende dalla tensione $F$ della corda, che è una forza, e dalla sua densità lineare $μ$ , cioè dalla massa per unità di lunghezza. Supponendo $v = C F^{α} μ^{β}$ con $C$ adimensionale, determinare $α$ e $β$ .

[v] = [L T^{- 1}], [F] = [M L T^{- 2}], [μ] = [M L^{- 1}]

[L T^{- 1}] = [M L T^{- 2}]^{α} [M L^{- 1}]^{β} = [M^{α + β} L^{α - β} T^{- 2 α}]

⎩ ⎨ ⎧ α + β = 0 α - β = 1 - 2 α = - 1 ⟹ α = \frac{1}{2}, β = - \frac{1}{2}

v = C \frac{F}{μ}

Si scrivono le dimensioni dei due membri: la densità lineare è una massa divisa per una lunghezza, quindi ha dimensioni $[M L^{- 1}]$ . Le potenze di un prodotto si distribuiscono sui fattori, perciò il secondo membro ha esponente $α + β$ per la massa, $α - β$ per la lunghezza e $- 2 α$ per il tempo. Per l’omogeneità dimensionale questi esponenti devono coincidere con quelli del primo membro, cioè $0$ , $1$ e $- 1$ , e le tre condizioni devono valere insieme. La terza equazione dà $α = \frac{1}{2}$ , la prima $β = - \frac{1}{2}$ , e la seconda risulta soddisfatta, poiché $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ . Quindi la velocità è proporzionale alla radice quadrata della tensione e inversamente proporzionale a $μ$ , e quadruplicando la tensione la velocità raddoppia.

Esercizio 4

La forza di resistenza $F$ che l’aria esercita su un’automobile veloce dipende dalla densità $ρ$ dell’aria, dalla velocità $v$ dell’auto e dall’area $A$ della sua sezione frontale. Supponendo $F = C ρ^{a} v^{b} A^{c}$ con $C$ adimensionale, determinare gli esponenti e stabilire di quanto aumenta la resistenza se la velocità passa da $90 km/h$ a $126 km/h$ .

[F] = [M L T^{- 2}], [ρ] = [M L^{- 3}], [v] = [L T^{- 1}], [A] = [L^{2}]

[M L T^{- 2}] = [M^{a} L^{- 3 a + b + 2 c} T^{- b}]

⎩ ⎨ ⎧ a = 1 - 3 a + b + 2 c = 1 - b = - 2 ⟹ a = 1, b = 2, c = 1

F = C ρ v^{2} A, \frac{F _{2}}{F _{1}} = (\frac{v _{2}}{v _{1}})^{2} = (\frac{126}{90})^{2} = 1, 4^{2} = 1, 96

Le dimensioni del secondo membro si ottengono moltiplicando quelle dei tre fattori elevati ai rispettivi esponenti: la massa compare solo nella densità, il tempo solo nella velocità, la lunghezza in tutti e tre. Uguagliando gli esponenti di $[M]$ , $[L]$ e $[T]$ a quelli della forza si ottiene un sistema di tre equazioni in tre incognite. La prima e la terza danno subito $a = 1$ e $b = 2$ ; sostituendo nella seconda si ricava $- 3 + 2 + 2 c = 1$ , quindi $c = 1$ . La resistenza è perciò proporzionale al quadrato della velocità. Il rapporto tra le due resistenze non dipende dalle unità, poiché le velocità compaiono come rapporto, e un aumento di velocità del $40%$ fa quasi raddoppiare la resistenza, che diventa $1, 96$ volte quella iniziale.