Esercizi svolti · Scheda 3

Componenti di vettori e somme di spostamenti

Teoria usata: Componenti cartesiane Componenti cartesiane e coordinate polari Operazioni in componenti Somma di vettori

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Esercizio 1

Un pallone ha velocità di modulo $20 m/s$ diretta a $15 0^{\circ}$ dal semiasse positivo delle $x$ , in verso antiorario. Calcolare le componenti della velocità. Determinare poi modulo e angolo dello spostamento $s = (- 6, 0 \overset{}{^} - 8, 0 \overset{}{^}) m$ .

v_{x} = v cos θ = 20 \cdot cos 15 0^{\circ} m/s = - 20 \cdot \frac{3}{2} m/s \approx - 17, 3 m/s

v_{y} = v sin θ = 20 \cdot sin 15 0^{\circ} m/s = 20 \cdot \frac{1}{2} m/s = 10, 0 m/s

Lo spostamento

s = (- 6, 0; - 8, 0) m

sta nel terzo quadrante

s = s_{x}^{2} + s_{y}^{2} = (- 6, 0)^{2} + (- 8, 0)^{2} m = 100 m = 10 m

arctan \frac{s _{y}}{s _{x}} = arctan \frac{- 8 , 0}{- 6 , 0} \approx 53, 1^{\circ}, θ = 53, 1^{\circ} + 18 0^{\circ} = 233, 1^{\circ}

Dato il modulo e l’angolo, le componenti cartesiane sono il modulo per il coseno e il modulo per il seno dell’angolo, e le formule valgono per qualunque angolo. L’angolo di $15 0^{\circ}$ sta nel secondo quadrante, dove il coseno è negativo e il seno positivo; quindi $v_{x}$ è negativa e $v_{y}$ positiva, e la velocità è $v = (- 17, 3 \overset{}{^} + 10, 0 \overset{}{^}) m/s$ .

Per il problema inverso il modulo si ottiene con il teorema di Pitagora e vale $10 m$ . Le due componenti dello spostamento sono negative, quindi il vettore sta nel terzo quadrante, come mostra la figura. L’arcotangente restituisce un angolo tra $- 9 0^{\circ}$ e $9 0^{\circ}$ , cioè l’angolo del vettore opposto $(6, 0; 8, 0) m$ ; perciò l’angolo dello spostamento si ottiene aggiungendo $18 0^{\circ}$ e vale $233, 1^{\circ}$ in verso antiorario, cioè $126, 9^{\circ}$ in verso orario.

Esercizio 2

Un escursionista percorre $3, 0 km$ verso est e poi $4, 0 km$ verso nord-est. Determinare modulo e direzione del suo spostamento complessivo, prendendo l’asse $x$ verso est e l’asse $y$ verso nord.

Lo spostamento complessivo

R

va dalla coda di

d_{1}

alla punta di

d_{2}

(lunghezze in

km

)

R = d_{1} + d_{2}

d_{1} = (3, 0; 0) km, d_{2} = (4, 0 cos 4 5^{\circ}; 4, 0 sin 4 5^{\circ}) km = (2, 83; 2, 83) km

R = (3, 0 + 2, 83; 0 + 2, 83) km = (5, 83; 2, 83) km

R = 5, 8 3^{2} + 2, 8 3^{2} km \approx 6, 5 km, θ = arctan \frac{2 , 83}{5 , 83} \approx 25, 9^{\circ}

Lo schema riporta i due spostamenti con la regola punta-coda: il secondo parte dove finisce il primo, e lo spostamento complessivo è la loro somma vettoriale. La direzione nord-est forma $4 5^{\circ}$ con l’est, quindi le componenti del secondo spostamento sono uguali e valgono $4, 0 \cdot \frac{2}{2} km \approx 2, 83 km$ . Le operazioni in componenti riducono la somma a due addizioni di numeri, una per asse. Il modulo della somma si ricava con il teorema di Pitagora; poiché $R_{x} > 0$ , l’arcotangente fornisce direttamente l’angolo. L’escursionista si trova a circa $6, 5 km$ dal punto di partenza, in direzione $25, 9^{\circ}$ a nord dell’est. Come controllo, $6, 5 km$ è minore della strada percorsa, $7, 0 km$ , come deve essere per due spostamenti non allineati.

Esercizio 3

Un robot in un magazzino compie tre spostamenti successivi: $5, 0 m$ a $0^{\circ}$ , $8, 0 m$ a $12 0^{\circ}$ e $4, 0 m$ a $21 0^{\circ}$ , con gli angoli misurati in verso antiorario dal semiasse positivo delle $x$ . Determinare lo spostamento complessivo e lo spostamento che riporta il robot al punto di partenza.

I tre spostamenti disposti punta-coda e lo spostamento complessivo

R

(lunghezze in metri)

R = d_{1} + d_{2} + d_{3}

R_{x} = 5, 0 cos 0^{\circ} + 8, 0 cos 12 0^{\circ} + 4, 0 cos 21 0^{\circ} = (5, 0 - 4, 00 - 3, 46) m = - 2, 46 m

R_{y} = 5, 0 sin 0^{\circ} + 8, 0 sin 12 0^{\circ} + 4, 0 sin 21 0^{\circ} = (0 + 6, 93 - 2, 00) m = 4, 93 m

R = (- 2, 46)^{2} + 4, 9 3^{2} m \approx 5, 5 m, θ = arctan \frac{4 , 93}{- 2 , 46} + 18 0^{\circ} \approx 116, 6^{\circ}

- R = (2, 46 \overset{}{^} - 4, 93 \overset{}{^}) m, θ^{'} = 116, 6^{\circ} + 18 0^{\circ} = 296, 6^{\circ}

Ogni spostamento si scompone con le formule $d_{x} = d cos θ$ e $d_{y} = d sin θ$ , e la componente $x$ della somma è la somma delle componenti $x$ , allo stesso modo per $y$ . I coseni di $12 0^{\circ}$ e di $21 0^{\circ}$ sono negativi, quindi il secondo e il terzo spostamento riportano il robot verso sinistra, e la componente $R_{x}$ risulta negativa. Il vettore $R$ ha $R_{x} < 0$ e $R_{y} > 0$ , perciò sta nel secondo quadrante, e all’angolo fornito dall’arcotangente, $- 63, 4^{\circ}$ , si aggiungono $18 0^{\circ}$ . Lo spostamento che riporta il robot alla partenza annulla $R$ , quindi è il suo opposto: ha lo stesso modulo, $5, 5 m$ , e direzione $296, 6^{\circ}$ , cioè $63, 4^{\circ}$ sotto il semiasse positivo delle $x$ .