Esercizi svolti · Scheda 1

Conversioni di unità e notazione scientifica

Teoria usata: Multipli e sottomultipli Conversione di unità Notazione scientifica Cifre significative Cifre significative nei calcoli

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Esercizio 1

Un’auto viaggia in autostrada a $108 km/h$ e un ciclista a $7, 5 m/s$ . Esprimere la velocità dell’auto in $m/s$ e quella del ciclista in $km/h$ .

1 km = 1 0^{3} m, 1 h = 3600 s

v_{auto} = 108 \frac{km}{h} = 108 \cdot \frac{1 0 ^{3} m}{3600 s} = \frac{108}{3 , 6} m/s = 30 m/s

v_{bici} = 7, 5 \frac{m}{s} = 7, 5 \cdot \frac{1 0 ^{- 3} km}{\frac{1}{3600} h} = 7, 5 \cdot 3, 6 km/h = 27 km/h

Per la conversione di unità si sostituisce a ogni unità il suo valore nell’unità nuova. Un chilometro vale $1 0^{3} m$ e un’ora vale $3600 s$ , quindi un chilometro all’ora è $\frac{1000}{3600} m/s = \frac{1}{3 , 6} m/s$ , e per passare da $km/h$ a $m/s$ si divide per $3, 6$ . Nel verso opposto un metro vale $1 0^{- 3} km$ e un secondo vale $\frac{1}{3600} h$ , perciò si moltiplica per $3, 6$ . Quindi l’auto viaggia a $30 m/s$ e il ciclista a $27 km/h$ . Come controllo, una velocità espressa in $m/s$ è sempre un numero più piccolo della stessa velocità in $km/h$ , perché il metro al secondo è l’unità più grande.

Esercizio 2

La densità dell’alluminio è $2, 70 g/c m^{3}$ . Esprimerla in $kg/ m^{3}$ e calcolare la massa di un cubo pieno di alluminio con lo spigolo di $5, 0 cm$ .

1 g = 1 0^{- 3} kg, 1 c m^{3} = (1 0^{- 2} m)^{3} = 1 0^{- 6} m^{3}

ρ = 2, 70 \frac{g}{c m ^{3}} = 2, 70 \cdot \frac{1 0 ^{- 3} kg}{1 0 ^{- 6} m ^{3}} = 2, 70 \cdot 1 0^{3} kg/ m^{3}

V = ℓ^{3} = (5, 0 \cdot 1 0^{- 2} m)^{3} = 1, 25 \cdot 1 0^{- 4} m^{3}

m = ρ V = 2, 70 \cdot 1 0^{3} kg/ m^{3} \cdot 1, 25 \cdot 1 0^{- 4} m^{3} = 0, 3375 kg \approx 0, 34 kg

Il centimetro cubo è il cubo del centimetro, quindi il fattore di conversione $1 0^{- 2}$ va elevato al cubo e dà $1 0^{- 6} m^{3}$ . Dividendo $1 0^{- 3}$ per $1 0^{- 6}$ si ottiene $1 0^{3}$ , perciò la densità in unità SI è $2, 70 \cdot 1 0^{3} kg/ m^{3}$ . Il volume del cubo è il cubo dello spigolo espresso in metri, e la massa è il prodotto della densità per il volume, dalla definizione $ρ = \frac{m}{V}$ . Lo spigolo $5, 0 cm$ ha due cifre significative, e in un prodotto il risultato ha le cifre del dato meno preciso, quindi la massa del cubo è $0, 34 kg$ .

Esercizio 3

Un rubinetto eroga $12$ litri d’acqua al minuto. Esprimere la portata in $m^{3} /s$ e calcolare il tempo necessario per riempire una vasca da $0, 18 m^{3}$ .

1 L = 1 d m^{3} = 1 0^{- 3} m^{3}, 1 min = 60 s

q = 12 \frac{L}{min} = \frac{12 \cdot 1 0 ^{- 3} m ^{3}}{60 s} = 2, 0 \cdot 1 0^{- 4} m^{3} /s

t = \frac{V}{q} = \frac{0 , 18 m ^{3}}{2 , 0 \cdot 1 0 ^{- 4} m ^{3} /s} = 9, 0 \cdot 1 0^{2} s = 15 min

Il litro è il decimetro cubo, e poiché $1 dm = 1 0^{- 1} m$ si ha $1 L = 1 0^{- 3} m^{3}$ . La portata è il volume che esce nell’unità di tempo, quindi si convertono separatamente il volume e il tempo e si esegue il quoziente. Il tempo di riempimento è il volume della vasca diviso per la portata; nel quoziente i metri cubi si semplificano e resta il secondo, come deve accadere per un tempo. La vasca si riempie in $9, 0 \cdot 1 0^{2} s$ , cioè in un quarto d’ora.

Esercizio 4

La distanza media tra la Terra e il Sole è $1, 496 \cdot 1 0^{11} m$ e la luce si propaga nel vuoto a $3, 00 \cdot 1 0^{8} m/s$ . Calcolare il tempo che la luce impiega per arrivare dal Sole alla Terra, in secondi e in minuti, con il numero corretto di cifre significative.

t = \frac{d}{c}

t = \frac{1 , 496 \cdot 1 0 ^{11} m}{3 , 00 \cdot 1 0 ^{8} m/s} = \frac{1 , 496}{3 , 00} \cdot 1 0^{11 - 8} s = 0, 4987 \cdot 1 0^{3} s \approx 4, 99 \cdot 1 0^{2} s

t = \frac{498 , 7 s}{60 s/min} \approx 8, 31 min

La luce si muove a velocità costante, quindi il tempo è la distanza divisa per la velocità. In notazione scientifica si dividono i coefficienti, $\frac{1 , 496}{3 , 00} = 0, 4987$ , e si sottraggono gli esponenti di dieci, $11 - 8 = 3$ . Il coefficiente $0, 4987$ è minore di $1$ , perciò si riscrive il risultato come $4, 987 \cdot 1 0^{2} s$ . I dati hanno quattro e tre cifre significative, e in un quoziente vale il dato meno preciso, quindi il tempo è $4, 99 \cdot 1 0^{2} s$ . Per la conversione in minuti si usa il valore non arrotondato $498, 7 s$ e si arrotonda solo alla fine, ottenendo circa $8, 31 min$ ; il fattore $60 s/min$ è esatto e non limita le cifre.