Tubi a U, barometri e manometri

Si sceglie come riferimento la quota della superficie di separazione tra olio e acqua. Il punto $A$, su questa superficie, e il punto $B$, alla stessa quota nell’altro ramo, stanno entrambi nell’acqua, che occupa con continuità il fondo del tubo. Per la legge di Stevino punti dello stesso liquido in quiete alla stessa quota hanno la stessa pressione, quindi $p_A=p_B$. Sopra $A$ c’è la colonna d’olio, sopra $B$ la colonna d’acqua, ed entrambe terminano con una superficie libera alla pressione $p_0$.

Uguagliando le due pressioni, $p_0$ e $g$ si semplificano e resta ${\rho }_o{h}_o={\rho }_a{h}_a$, quindi le altezze delle colonne sono inversamente proporzionali alle densità. L’olio è meno denso dell’acqua, perciò la sua colonna è più alta e la superficie libera dell’olio sta $1,8\mathrm{cm}$ più in alto di quella dell’acqua. La colonna d’acqua sopra la quota di $A$ è alta $10,2\mathrm{cm}$.

Il punto $A$ si prende sulla superficie di separazione perché sotto quella quota i due rami contengono lo stesso liquido; a una quota più alta, in un ramo c’è olio e nell’altro acqua, e l’uguaglianza delle pressioni non vale.

Nel tubo del barometro, sopra il mercurio, la pressione è trascurabile. Il punto del tubo alla quota della superficie della vaschetta ha la stessa pressione $p_0$ dell’aria che preme sulla vaschetta, perché le due posizioni sono alla stessa quota nello stesso liquido. Per la legge di Stevino tra la sommità della colonna, a pressione nulla, e quel punto, $h$ più in basso, la pressione cresce di ${\rho }_{\mathrm{Hg}}gh$, quindi $p_0={\rho }_{\mathrm{Hg}}gh$. L’altezza va espressa in metri prima della sostituzione.

In un barometro ad acqua la stessa pressione sostiene una colonna più alta, nel rapporto inverso delle densità; dal calcolo risulta una colonna di circa dieci metri. Come controllo, $\frac{13,6\cdot 10^3}{1000}\cdot 0,755\mathrm{m}\approx 10,3\mathrm{m}$. Nel conto intermedio si conserva una cifra in più di $p_0$ per non accumulare errori di arrotondamento.

La pressione del gas si considera uniforme nel serbatoio e nel tubo di collegamento, perché la densità del gas è trascurabile rispetto a quella del mercurio. Il gas preme quindi direttamente sulla superficie del mercurio nel ramo chiuso. Alla quota di questa superficie, nel ramo aperto, c’è un punto dello stesso mercurio, quindi con la stessa pressione $p_{\mathrm{gas}}$; sopra di esso la colonna di mercurio è alta $\Delta h$ e termina con la superficie libera alla pressione $p_0$.

Per la legge di Stevino si ha allora $p_{\mathrm{gas}}=p_0+\rho g\Delta h$. Il mercurio è più alto nel ramo aperto, quindi il gas ha pressione maggiore di quella atmosferica. Il manometro misura direttamente la pressione relativa $\rho g\Delta h$, e aggiungendo $p_0$ si ottiene la pressione assoluta.

La colonna d’acqua, ${\rho }_a{h}_a=1000\cdot 20,0$, pesa più della colonna d’olio, ${\rho }_o{h}_o=800\cdot 10,0$, a parità di sezione. Si suppone quindi che il mercurio sia più basso nel ramo sinistro, e si sceglie come riferimento la quota $A$ della superficie tra acqua e mercurio. Nel ramo destro, alla stessa quota, c’è un punto $B$ del mercurio; sopra $B$ ci sono un tratto di mercurio alto $\Delta$ e poi la colonna d’olio. Il mercurio occupa con continuità il fondo del tubo, quindi per la legge di Stevino $p_A=p_B$.

Uguagliando le due espressioni e semplificando $p_0$ e $g$ si ricava $\Delta$, che risulta positivo; quindi l’ipotesi iniziale è corretta, e il mercurio nel ramo destro sta $0,882\mathrm{cm}$ più in alto che nel ramo sinistro. Se il calcolo avesse dato $\Delta <0$, il mercurio sarebbe stato più alto nel ramo sinistro. Le altezze si possono lasciare in centimetri, perché le unità delle densità si semplificano nel rapporto e $\Delta$ risulta nella stessa unità delle altezze.