Esercizi svolti · Scheda 3

Corpi galleggianti e frazione immersa

Teoria usata: Condizione di galleggiamento Principio di Archimede Densità

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Esercizio 1

Un cubo di legno omogeneo, di lato $20, 0 cm$ e densità $600 kg/ m^{3}$ , galleggia in acqua con due facce orizzontali. Calcolare la frazione del volume immersa, l’altezza della parte immersa e la spinta di Archimede.

S = ρ_{a} V_{imm} g, P = ρ_{c} V g, S = P

\frac{V _{imm}}{V} = \frac{ρ _{c}}{ρ _{a}}, h_{imm} = \frac{ρ _{c}}{ρ _{a}} L, S = ρ_{c} L^{3} g

\frac{V _{imm}}{V} = \frac{600}{1000} = 0, 600, h_{imm} = 0, 600 \cdot 20, 0 cm = 12, 0 cm

S = 600 \cdot (0, 200)^{3} \cdot 9, 81 N = 47, 1 N

La densità del legno è minore di quella dell’acqua, quindi per la condizione di galleggiamento il cubo galleggia. In equilibrio le uniche forze verticali sono il peso, applicato nel baricentro, e la spinta, applicata nel centro di spinta, perciò hanno lo stesso modulo. Dall’uguaglianza $ρ_{a} V_{imm} g = ρ_{c} V g$ si ricava che la frazione immersa è il rapporto tra le densità, e vale $0, 600$ .

Il cubo ha le facce orizzontali, quindi la parte immersa è un parallelepipedo con la stessa base del cubo; il volume immerso è proporzionale all’altezza immersa, che è perciò il $60 %$ del lato, cioè $12, 0 cm$ . La spinta è uguale al peso del cubo, che si calcola dalla densità e dal volume $L^{3}$ espresso in metri cubi; la spinta vale $47, 1 N$ , ed è uguale al peso del cubo.

Esercizio 2

Un iceberg galleggia in mare con $50, 0 m^{3}$ del suo volume fuori dall’acqua. Le densità del ghiaccio e dell’acqua di mare sono $917 kg/ m^{3}$ e $1025 kg/ m^{3}$ . Calcolare il volume totale e la massa dell’iceberg.

\frac{V _{imm}}{V} = \frac{ρ _{g}}{ρ _{m}} ⟹ \frac{V _{em}}{V} = 1 - \frac{ρ _{g}}{ρ _{m}} = \frac{ρ _{m} - ρ _{g}}{ρ _{m}}

V = \frac{ρ _{m}}{ρ _{m} - ρ _{g}} V_{em}, m = ρ_{g} V

V = \frac{1025}{1025 - 917} \cdot 50, 0 m^{3} = \frac{1025}{108} \cdot 50, 0 m^{3} = 474, 5 m^{3} \approx 475 m^{3}

m = 917 kg/ m^{3} \cdot 474, 5 m^{3} = 4, 35 \cdot 1 0^{5} kg

Il ghiaccio è meno denso dell’acqua di mare, quindi l’iceberg galleggia e per la condizione di galleggiamento la frazione immersa è il rapporto tra le densità. La frazione emersa è il complemento a uno, $\frac{108}{1025} \approx 0, 105$ . Il volume emerso è noto, perciò il volume totale si ottiene dividendo il volume emerso per la frazione emersa, e risulta circa nove volte e mezza il volume visibile. La massa è il prodotto della densità del ghiaccio per il volume totale, calcolato con il valore non arrotondato $474, 5 m^{3}$ .

Esercizio 3

Una zattera ha massa $120 kg$ e volume complessivo $0, 400 m^{3}$ . Calcolare il carico massimo che la zattera può portare in acqua dolce senza andare sotto il pelo dell’acqua, e quante persone di $75 kg$ può trasportare.

S_{m a x} = ρ_{a} V g, (m + m_{c}) g \leq ρ_{a} V g

m_{c} \leq ρ_{a} V - m

m_{c, m a x} = 1000 \cdot 0, 400 kg - 120 kg = 280 kg, \frac{280}{75} \approx 3, 7

La spinta cresce con il volume immerso, quindi raggiunge il valore massimo $ρ_{a} V g$ quando la zattera è immersa per intero. La zattera con il carico galleggia finché il peso complessivo non supera questa spinta massima; il fattore $g$ si semplifica e la condizione diventa una disuguaglianza tra masse. Il carico massimo è quindi $280 kg$ .

Il numero di persone deve essere intero e il prodotto per $75 kg$ non deve superare $280 kg$ ; poiché $3 \cdot 75 = 225$ e $4 \cdot 75 = 300$ , la zattera porta al massimo tre persone.

Esercizio 4

In un recipiente uno strato d’olio di densità $800 kg/ m^{3}$ e spessore $10 cm$ galleggia sopra l’acqua. Un cubo omogeneo di lato $10, 0 cm$ e densità $900 kg/ m^{3}$ viene posato nel recipiente e si dispone in equilibrio con due facce orizzontali. Calcolare quale frazione del volume del cubo si trova nell’acqua e quale nell’olio.

Il cubo resta a cavallo della superficie di separazione: metà del volume è nell'acqua e metà nell'olio

S = ρ_{a} V_{a} g + ρ_{o} V_{o} g, V_{a} + V_{o} = V, S = ρ_{c} V g

ρ_{a} x + ρ_{o} (1 - x) = ρ_{c}, x = \frac{V _{a}}{V} ⟹ x = \frac{ρ _{c} - ρ _{o}}{ρ _{a} - ρ _{o}}

x = \frac{900 - 800}{1000 - 800} = \frac{100}{200} = 0, 50, 1 - x = 0, 50

La densità del cubo è maggiore di quella dell’olio e minore di quella dell’acqua. Nell’olio da solo il cubo affonderebbe, nell’acqua da sola galleggerebbe, quindi si ferma a cavallo della superficie di separazione, con la base inferiore nell’acqua e la faccia superiore nell’olio. Lo strato d’olio è spesso $10 cm$ , abbastanza da coprire la parte superiore del cubo, perciò il cubo è completamente immerso nei due liquidi.

Il principio di Archimede si applica a ciascuna parte: la parte nell’acqua riceve la spinta $ρ_{a} V_{a} g$ e la parte nell’olio la spinta $ρ_{o} V_{o} g$ , e la spinta totale è il peso dei due liquidi spostati. In equilibrio la spinta totale è uguale al peso del cubo; dividendo per $V g$ si ottiene un’equazione di primo grado nella frazione $x$ immersa nell’acqua. Il risultato è $x = 0, 50$ , quindi il cubo sta per metà nell’acqua e metà nell’olio, cioè con $5, 0 cm$ in ciascun liquido.