Esercizi svolti · Scheda 1

Pressioni e forze nei liquidi in quiete

Teoria usata: Legge di Stevino Pressione assoluta e pressione relativa Pressione Forza su una parete verticale

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Esercizio 1

Un subacqueo si trova a $25, 0 m$ di profondità in mare. La densità dell’acqua di mare è $1025 kg/ m^{3}$ e la pressione atmosferica è $p_{0} = 1, 013 \cdot 1 0^{5} Pa$ . Calcolare la pressione relativa e la pressione assoluta alla profondità del subacqueo.

p - p_{0} = ρ g h, p = p_{0} + ρ g h

p - p_{0} = 1025 \cdot 9, 81 \cdot 25, 0 Pa = 2, 51 \cdot 1 0^{5} Pa

p = 1, 013 \cdot 1 0^{5} Pa + 2, 51 \cdot 1 0^{5} Pa = 3, 53 \cdot 1 0^{5} Pa

L’acqua di mare è in quiete e si tratta come un liquido incomprimibile, con densità uniforme; inoltre la sua superficie libera è a contatto con l’aria alla pressione $p_{0}$ . Le ipotesi della legge di Stevino sono quindi soddisfatte, e alla profondità $h$ la pressione supera quella atmosferica di $ρ g h$ . Questa differenza è la pressione relativa, e vale $2, 51 \cdot 1 0^{5} Pa$ . La pressione assoluta si ottiene aggiungendo $p_{0}$ , perciò il subacqueo è sottoposto alla pressione assoluta di $3, 53 \cdot 1 0^{5} Pa$ , circa tre volte e mezzo quella atmosferica.

Come controllo dell’ordine di grandezza, ogni $10 m$ d’acqua aggiungono circa $1 atm$ ; a $25 m$ la pressione assoluta è quindi circa $3, 5 atm$ , e infatti $\frac{3 , 53 \cdot 1 0 ^{5}}{1 , 013 \cdot 1 0 ^{5}} \approx 3, 48$ .

Esercizio 2

La parete verticale di una vasca contiene un oblò circolare di raggio $r = 0, 20 m$ , il cui centro si trova $3, 0 m$ sotto la superficie libera dell’acqua. All’esterno della vasca c’è aria alla pressione atmosferica. Calcolare la forza risultante che agisce sull’oblò.

p - p_{0} = ρ g h, F = \overset{p}{ˉ}_{rel} A

\overset{p}{ˉ}_{rel} = ρ g h_{c}, A = π r^{2} ⟹ F = ρ g h_{c} π r^{2}

F = 1000 \cdot 9, 81 \cdot 3, 0 \cdot π \cdot (0, 20)^{2} N = 3, 7 \cdot 1 0^{3} N

Sulla faccia interna dell’oblò agisce la pressione dell’acqua, sulla faccia esterna la pressione atmosferica. Poiché la pressione assoluta dell’acqua è $p_{0} + ρ g h$ , il contributo di $p_{0}$ si annulla con quello dell’aria esterna, quindi la forza risultante si calcola con la sola pressione relativa $ρ g h$ . Tutte le forze di pressione sono perpendicolari all’oblò, che è piano, perciò si sommano come numeri, e la forza risultante è la pressione relativa media moltiplicata per l’area.

La pressione relativa cresce linearmente con la profondità e l’oblò è simmetrico rispetto alla retta orizzontale che passa per il centro. A ogni striscia orizzontale alla profondità $h_{c} + z$ corrisponde quindi una striscia della stessa area alla profondità $h_{c} - z$ , e la media delle pressioni sulle due strisce è $ρ g h_{c}$ . Perciò la pressione media sull’oblò è quella del centro, e la forza risultante vale $3, 7 \cdot 1 0^{3} N$ , diretta verso l’esterno della vasca.

Il dato del raggio ha due cifre significative, quindi il risultato si scrive con due cifre.

Esercizio 3

Un recipiente cilindrico, con il fondo di area $0, 50 m^{2}$ , contiene $0, 60 m$ d’acqua e sopra di essa uno strato di olio alto $0, 40 m$ , di densità $800 kg/ m^{3}$ ; i due liquidi non si mescolano. Calcolare la pressione relativa sulla superficie di separazione tra olio e acqua e sul fondo, e la forza che i liquidi esercitano sul fondo in più rispetto a quella dovuta all’atmosfera.

Pressione relativa

p

(in

kPa

) in funzione della profondità

h

(in centimetri): nell'acqua, più densa, la retta ha pendenza maggiore che nell'olio

p_{1} = p_{0} + ρ_{o} g h_{o}, p_{2} = p_{1} + ρ_{a} g h_{a}

p_{1} - p_{0} = ρ_{o} g h_{o}, p_{2} - p_{0} = ρ_{o} g h_{o} + ρ_{a} g h_{a}, F = (p_{2} - p_{0}) A

p_{1} - p_{0} = 800 \cdot 9, 81 \cdot 0, 40 Pa = 3, 14 \cdot 1 0^{3} Pa

p_{2} - p_{0} = 3, 14 \cdot 1 0^{3} Pa + 1000 \cdot 9, 81 \cdot 0, 60 Pa = 3, 14 \cdot 1 0^{3} Pa + 5, 89 \cdot 1 0^{3} Pa = 9, 03 \cdot 1 0^{3} Pa

F = 9, 03 \cdot 1 0^{3} Pa \cdot 0, 50 m^{2} = 4, 5 \cdot 1 0^{3} N

La legge di Stevino vale all’interno di ciascun liquido, ciascuno con la propria densità. Nell’olio si parte dalla superficie libera, dove la pressione è $p_{0}$ , e si scende di $h_{o} = 0, 40 m$ , quindi sulla superficie di separazione la pressione relativa è $ρ_{o} g h_{o}$ . La pressione è continua attraverso la superficie di separazione, perciò nell’acqua si riparte da $p_{1}$ e si scende di altri $h_{a} = 0, 60 m$ con la densità dell’acqua. Il grafico mostra due tratti rettilinei: il secondo ha pendenza $ρ_{a} g$ , maggiore della pendenza $ρ_{o} g$ del primo.

Il fondo è orizzontale, quindi su di esso la pressione è uniforme e la forza è il prodotto della pressione per l’area. La pressione atmosferica agisce anche sotto il fondo del recipiente, perciò la forza dovuta ai liquidi si calcola con la pressione relativa e vale $4, 5 \cdot 1 0^{3} N$ . Come controllo, il risultato coincide con il peso dei due liquidi, $(800 \cdot 0, 40 + 1000 \cdot 0, 60) \cdot 0, 50 \cdot 9, 81 \approx 4, 5 \cdot 1 0^{3} N$ , come deve essere per un recipiente a pareti verticali.

Esercizio 4

Una diga ha la parete verticale rettangolare, larga $20, 0 m$ , e il bacino è pieno d’acqua fino all’altezza di $12, 0 m$ sopra la base della parete. Calcolare la pressione relativa alla base della parete e il modulo della forza risultante che l’acqua esercita sulla diga.

p (z) - p_{0} = ρ g z, d F = ρ g z w d z

F = \int_{0}^{H} ρ g z w d z = \frac{1}{2} ρ g w H^{2}

p (H) - p_{0} = 1000 \cdot 9, 81 \cdot 12, 0 Pa = 1, 18 \cdot 1 0^{5} Pa

F = \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot 9, 81 \cdot 20, 0 \cdot (12, 0)^{2} N = 1, 41 \cdot 1 0^{7} N

Si misura la profondità $z$ verso il basso a partire dalla superficie libera. Per la legge di Stevino la pressione relativa alla profondità $z$ è $ρ g z$ , quindi alla base della parete, dove $z = H = 12, 0 m$ , vale $1, 18 \cdot 1 0^{5} Pa$ . La pressione atmosferica agisce sia sull’acqua sia sul lato asciutto della diga, perciò non contribuisce alla forza risultante.

La pressione cambia con la profondità, quindi la parete si divide in strisce orizzontali di altezza $d z$ e area $w d z$ , sulle quali la pressione si considera costante. Le forze sulle strisce sono tutte perpendicolari alla parete e hanno lo stesso verso, perciò il modulo della risultante è l’integrale dei loro moduli. Il calcolo dà la forza su una parete verticale $\frac{1}{2} ρ g w H^{2}$ , cioè $1, 41 \cdot 1 0^{7} N$ , un valore pari al peso di circa millequattrocento tonnellate.

Come controllo, la pressione relativa media è quella a metà altezza, $\frac{1 , 18 \cdot 1 0 ^{5}}{2} Pa = 5, 89 \cdot 1 0^{4} Pa$ , e moltiplicata per l’area bagnata $240 m^{2}$ dà di nuovo $1, 41 \cdot 1 0^{7} N$ .