Esercizi svolti · Scheda 2

Partenze e frenate con accelerazione costante

Teoria usata: Moto uniformemente accelerato Leggi del moto uniformemente accelerato Relazione tra velocità e spostamento Accelerazione media Moto rettilineo uniforme Problemi di incontro

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Esercizio 1

Un’automobile parte da ferma e raggiunge la velocità di $100 km/h$ in $8, 0 s$ con accelerazione costante. Calcolare l’accelerazione e lo spazio percorso in quel tempo.

Si orienta l’asse nel verso del moto, con l’origine nel punto di partenza e $t = 0$ alla partenza; i dati sono $v_{0} = 0$ , $v = 100 km/h = 27, 78 m/s$ , $t = 8, 0 s$ .

v = v_{0} + a t, x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

a = \frac{v}{t}, x = \frac{1}{2} \frac{v}{t} t^{2} = \frac{1}{2} v t

a = \frac{27 , 78 m/s}{8 , 0 s} = 3, 47 m/ s^{2}, x = \frac{1}{2} \cdot 27, 78 m/s \cdot 8, 0 s = 111 m

L’accelerazione è costante, quindi valgono le leggi del moto uniformemente accelerato con $v_{0} = 0$ . Dalla legge della velocità si ricava $a = \frac{v}{t}$ , dopo aver convertito la velocità in $m/s$ dividendo per $3, 6$ . Sostituendo $a$ nella legge oraria, lo spazio percorso diventa $\frac{1}{2} v t$ , cioè il prodotto della velocità media $\frac{v}{2}$ per il tempo. L’automobile accelera di $3, 47 m/ s^{2}$ e percorre $111 m$ . L’ordine di grandezza è ragionevole, perché l’accelerazione è circa un terzo di $g$ .

Esercizio 2

Un’automobile viaggia a $90 km/h$ quando il conducente vede un ostacolo fermo sulla strada. Il conducente reagisce dopo $0, 80 s$ , durante i quali l’automobile prosegue a velocità costante, e poi frena con decelerazione costante di modulo $5, 0 m/ s^{2}$ . Calcolare lo spazio di arresto e il tempo di arresto. Se l’ostacolo si trova a $70 m$ , stabilire con quale velocità l’automobile lo urta.

Si orienta l’asse nel verso del moto, con l’origine nel punto in cui il conducente vede l’ostacolo; i dati sono $v_{0} = 25 m/s$ , $t_{r} = 0, 80 s$ , $a = - 5, 0 m/ s^{2}$ .

d_{r} = v_{0} t_{r}, 0 = v_{0}^{2} + 2 a d_{f} ⟹ d_{f} = \frac{v _{0}^{2}}{2 ∣ a ∣}, t_{f} = \frac{v _{0}}{∣ a ∣}

d_{r} = 25 m/s \cdot 0, 80 s = 20 m, d_{f} = \frac{( 25 m/s ) ^{2}}{2 \cdot 5 , 0 m/ s ^{2}} = 62, 5 m

d = d_{r} + d_{f} = 82, 5 m, t = t_{r} + t_{f} = 0, 80 s + 5, 0 s = 5, 8 s

v_{1}^{2} = v_{0}^{2} + 2 a (L - d_{r}) ⟹ v_{1} = v_{0}^{2} - 2 ∣ a ∣ (L - d_{r})

v_{1} = 625 - 2 \cdot 5, 0 \cdot 50 m/s = 125 m/s = 11, 2 m/s

Il moto ha due fasi. Durante il tempo di reazione la velocità è costante, quindi il moto è uniforme e lo spazio percorso è $v_{0} t_{r}$ . Nella frenata l’accelerazione è costante, e poiché né il tempo è un dato né serve per trovare lo spazio, si usa la relazione tra velocità e spostamento con velocità finale nulla. Il tempo di frenata si ricava dalla legge della velocità imponendo $v = 0$ . Lo spazio di arresto è $82, 5 m$ e il tempo di arresto è $5, 8 s$ .

L’ostacolo a $70 m$ è più vicino dello spazio di arresto, quindi l’automobile lo raggiunge mentre sta ancora frenando, dopo aver percorso $L - d_{r} = 50 m$ in frenata. La stessa relazione, con lo spostamento di $50 m$ , dà la velocità all’urto, $11, 2 m/s$ , cioè circa $40 km/h$ .

Esercizio 3

Un’automobile è ferma a un semaforo. Quando scatta il verde parte con accelerazione costante $2, 0 m/ s^{2}$ , e nello stesso istante viene affiancata da un camion che procede alla velocità costante di $54 km/h$ . Determinare dopo quanto tempo e a quale distanza dal semaforo l’automobile raggiunge il camion, la velocità dell’automobile in quell’istante e la distanza massima tra i due veicoli prima del sorpasso.

Si sceglie l’origine nel semaforo, l’asse nel verso del moto e $t = 0$ alla partenza; i dati sono $a = 2, 0 m/ s^{2}$ e $v_{c} = 15 m/s$ .

x_{c} (t) = v_{c} t, x_{a} (t) = \frac{1}{2} a t^{2}

\frac{1}{2} a t^{2} = v_{c} t ⟺ t = 0 oppure t = \frac{2 v _{c}}{a}

t = \frac{2 \cdot 15 m/s}{2 , 0 m/ s ^{2}} = 15 s, x = v_{c} t = 225 m, v_{a} = a t = 2 v_{c} = 30 m/s

D (t) = x_{c} (t) - x_{a} (t) = v_{c} t - \frac{1}{2} a t^{2}, D^{'} (t) = v_{c} - a t = 0 ⟺ t = \frac{v _{c}}{a}

D_{m a x} = D (\frac{v _{c}}{a}) = \frac{v _{c}^{2}}{2 a} = \frac{( 15 m/s ) ^{2}}{2 \cdot 2 , 0 m/ s ^{2}} = 56 m

Leggi orarie del camion,

x_{c} = 15 t

, e dell'automobile,

x_{a} = t^{2}

, in metri: si incontrano all'istante

t = 15 s

; il segmento tratteggiato all'istante

t = 7, 5 s

è la distanza massima,

56 m

Il camion si muove di moto uniforme, l’automobile di moto uniformemente accelerato partendo da ferma, ed entrambi partono dal semaforo all’istante $t = 0$ . L’equazione dell’incontro ha la soluzione $t = 0$ , che corrisponde all’affiancamento iniziale, e la soluzione $t = 15 s$ , che è il sorpasso; in quell’istante i veicoli sono a $225 m$ dal semaforo e l’automobile viaggia a $30 m/s$ , il doppio del camion. Il risultato $v_{a} = 2 v_{c}$ si giustifica osservando che i due veicoli percorrono lo stesso spazio nello stesso tempo, quindi hanno la stessa velocità media, e la velocità media dell’automobile è $\frac{v _{a}}{2}$ .

Prima del sorpasso il camion precede l’automobile di $D (t)$ . La funzione $D$ è massima dove la sua derivata si annulla, cioè quando le due velocità sono uguali. Fino a quell’istante il camion è più veloce e la distanza aumenta, poi l’automobile diventa più veloce e la distanza diminuisce. Perciò la distanza massima si ha a $t = 7, 5 s$ e vale $56 m$ .