Esercizi svolti · Scheda 1

Moti rettilinei uniformi e problemi di incontro

Teoria usata: Moto rettilineo uniforme Velocità media Problemi di incontro Sistema di riferimento

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Esercizio 1

Un ciclista percorre su una strada rettilinea i primi $12 km$ alla velocità costante di $24 km/h$ e i successivi $12 km$ alla velocità costante di $16 km/h$ . Calcolare la velocità media sull’intero percorso, in $km/h$ e in $m/s$ .

Si orienta l’asse nel verso del moto; il ciclista non inverte mai il moto, quindi lo spostamento totale è $2 d$ , con $d = 12 km$ .

t_{1} = \frac{d}{v _{1}}, t_{2} = \frac{d}{v _{2}}, v_{m} = \frac{2 d}{t _{1} + t _{2}}

v_{m} = \frac{2 d}{\frac{d}{v _{1}} + \frac{d}{v _{2}}} = \frac{2 v _{1} v _{2}}{v _{1} + v _{2}}

v_{m} = \frac{2 \cdot 24 \cdot 16}{24 + 16} km/h = 19, 2 km/h = \frac{19 , 2}{3 , 6} m/s = 5, 33 m/s

In ciascun tratto il moto è uniforme, perciò il tempo impiegato è il rapporto tra la lunghezza del tratto e la velocità: $t_{1} = 0, 50 h$ e $t_{2} = 0, 75 h$ . La velocità media è lo spostamento totale diviso il tempo totale, quindi vale $\frac{24 km}{1 , 25 h}$ . Poiché i due tratti hanno la stessa lunghezza, $d$ si semplifica e il risultato dipende solo dalle due velocità. Perciò la velocità media vale $19, 2 km/h$ , cioè $5, 33 m/s$ , e risulta minore della media aritmetica $20 km/h$ , perché il ciclista impiega più tempo nel tratto più lento. Come controllo, il risultato è compreso tra le due velocità ed è più vicino a quella minore.

Esercizio 2

Su una strada rettilinea l’automobile $A$ parte dal punto $P$ alla velocità costante di $90 km/h$ ; nello stesso istante l’automobile $B$ parte dal punto $Q$ , distante $1200 m$ da $P$ , e va verso $A$ alla velocità costante di $72 km/h$ . Determinare dopo quanto tempo e a quale distanza da $P$ le due automobili si incrociano.

Si sceglie l’asse $x$ con l’origine in $P$ e il verso positivo da $P$ verso $Q$ , e $t = 0$ all’istante della partenza; i dati sono $v_{A} = 25 m/s$ , $v_{B} = 20 m/s$ , $D = 1200 m$ .

x_{A} (t) = v_{A} t, x_{B} (t) = D - v_{B} t

x_{A} (t) = x_{B} (t) ⟺ v_{A} t = D - v_{B} t ⟺ t = \frac{D}{v _{A} + v _{B}}

x = v_{A} t = \frac{v _{A} D}{v _{A} + v _{B}}

t = \frac{1200 m}{45 m/s} = 26, 67 s \approx 26, 7 s, x = 25 m/s \cdot 26, 67 s = 667 m

Leggi orarie

x_{A} (t) = 25 t

x_{B} (t) = 1200 - 20 t

, in metri: le rette si intersecano all'istante

t = 26, 7 s

nella posizione

x = 667 m

Le due automobili vanno descritte nello stesso sistema di riferimento. Con l’asse orientato da $P$ verso $Q$ , l’automobile $B$ si muove nel verso negativo, quindi la sua velocità è $- v_{B}$ e la sua legge oraria è $D - v_{B} t$ . Le automobili si incrociano quando occupano la stessa posizione, perciò si impone $x_{A} (t) = x_{B} (t)$ , che è un’equazione di primo grado in $t$ . La soluzione $t = \frac{D}{v _{A} + v _{B}}$ mostra che la distanza iniziale si riduce alla velocità $v_{A} + v_{B}$ . Le automobili si incrociano dopo $26, 7 s$ a $667 m$ da $P$ . Come controllo, $x_{B} = 1200 m - 20 m/s \cdot 26, 67 s = 667 m$ , lo stesso valore.

Esercizio 3

Un autobus parte da una fermata e viaggia su una strada rettilinea alla velocità costante di $15 m/s$ . Dalla stessa fermata, $40 s$ dopo, parte un’automobile che percorre la stessa strada alla velocità costante di $25 m/s$ . Determinare l’istante e la posizione in cui l’automobile raggiunge l’autobus.

Si sceglie l’asse $x$ con l’origine nella fermata e il verso del moto, e $t = 0$ alla partenza dell’autobus; i dati sono $v_{b} = 15 m/s$ , $v_{a} = 25 m/s$ , $t_{0} = 40 s$ .

x_{b} (t) = v_{b} t, x_{a} (t) = v_{a} (t - t_{0}) per t \geq t_{0}

v_{b} t = v_{a} (t - t_{0}) ⟺ t = \frac{v _{a} t _{0}}{v _{a} - v _{b}}

t = \frac{25 m/s \cdot 40 s}{10 m/s} = 100 s, x = v_{b} t = 15 m/s \cdot 100 s = 1500 m

L’automobile parte con un ritardo $t_{0}$ , quindi nella sua legge oraria compare $t - t_{0}$ , e la legge vale solo da $t_{0}$ in poi. L’incontro è la soluzione di $x_{b} (t) = x_{a} (t)$ ; l’equazione ha soluzione positiva perché $v_{a} > v_{b}$ , cioè perché l’automobile è più veloce. La soluzione $t = 100 s$ è maggiore di $t_{0}$ , quindi è accettabile. Perciò l’automobile raggiunge l’autobus all’istante $t = 100 s$ , a $1500 m$ dalla fermata. Come controllo, alla partenza dell’automobile l’autobus si trova a $600 m$ , e poiché questa distanza diminuisce di $10 m$ al secondo si annulla dopo $60 s$ , cioè a $t = 40 s + 60 s = 100 s$ .