Esercizi svolti · Scheda 3

Cadute libere e lanci verticali

Teoria usata: Legge della caduta dei gravi Leggi del lancio verticale Tempo di salita e altezza massima Relazione tra velocità e spostamento Problemi di incontro

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Esercizio 1

Un sasso viene lasciato cadere da fermo da un ponte e tocca l’acqua dopo $2, 5 s$ . Trascurando la resistenza dell’aria, calcolare l’altezza del ponte sull’acqua e la velocità con cui il sasso tocca l’acqua.

Si orienta l’asse $y$ verso il basso con l’origine nel punto di partenza, quindi $a = + g$ ; i dati sono $v_{0} = 0$ e $t = 2, 5 s$ .

y (t) = \frac{1}{2} g t^{2}, v (t) = g t

h = \frac{1}{2} g t^{2} = \frac{1}{2} \cdot 9, 81 m/ s^{2} \cdot (2, 5 s)^{2} = 30, 7 m

v = g t = 9, 81 m/ s^{2} \cdot 2, 5 s = 24, 5 m/s

La resistenza dell’aria è trascurabile, quindi per la legge della caduta dei gravi il sasso si muove con accelerazione costante $g$ diretta verso il basso. Con l’asse orientato verso il basso l’accelerazione è positiva e le leggi del moto uniformemente accelerato, con $v_{0} = 0$ e $y_{0} = 0$ , si riducono a $y = \frac{1}{2} g t^{2}$ e $v = g t$ . Il ponte è alto $30, 7 m$ e il sasso tocca l’acqua a $24, 5 m/s$ . Come controllo, la relazione $v = 2 g h = 2 \cdot 9, 81 \cdot 30, 7 m/s$ dà lo stesso valore.

Esercizio 2

Una palla viene lanciata verticalmente verso l’alto dal suolo con velocità $19, 6 m/s$ . Trascurando la resistenza dell’aria e usando $g = 9, 8 m/ s^{2}$ , calcolare l’altezza massima, l’istante in cui la palla torna al suolo e gli istanti in cui si trova a $15 m$ di quota, con le velocità corrispondenti.

Si orienta l’asse $y$ verso l’alto con l’origine al suolo e $t = 0$ all’istante del lancio; i dati sono $y_{0} = 0$ , $v_{0} = 19, 6 m/s$ , $h = 15 m$ .

y (t) = v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2}, v (t) = v_{0} - g t

t_{s} = \frac{v _{0}}{g} = \frac{19 , 6 m/s}{9 , 8 m/ s ^{2}} = 2, 0 s, h_{m a x} = \frac{v _{0}^{2}}{2 g} = \frac{( 19 , 6 m/s ) ^{2}}{2 \cdot 9 , 8 m/ s ^{2}} = 19, 6 m

y (t) = 0 ⟺ t (v_{0} - \frac{1}{2} g t) = 0 ⟹ t_{v} = \frac{2 v _{0}}{g} = 4, 0 s

\frac{1}{2} g t^{2} - v_{0} t + h = 0 ⟺ t_{1, 2} = \frac{v _{0} \mp v _{0}^{2} - 2 g h}{g}

v_{0}^{2} - 2 g h = 384, 16 - 294 m/s = 9, 50 m/s

t_{1} = \frac{19 , 6 - 9 , 50}{9 , 8} s = 1, 03 s, t_{2} = \frac{19 , 6 + 9 , 50}{9 , 8} s = 2, 97 s

v (t_{1, 2}) = v_{0} - g t_{1, 2} = \pm v_{0}^{2} - 2 g h = \pm 9, 50 m/s

y = \dfrac{98}{5} t - 4{,}9 t^{2}

Quota della palla,

y (t) = 19, 6 t - 4, 9 t^{2}

: il massimo

19, 6 m

è all'istante

2 s

, e la retta

y = 15

è attraversata negli istanti

1, 03 s

2, 97 s

, simmetrici rispetto a

t = 2 s

Si applicano le leggi del lancio verticale con l’asse verso l’alto, quindi con accelerazione $- g$ . Nel punto più alto la velocità si annulla, e le formule del tempo di salita e dell’altezza massima danno $2, 0 s$ e $19, 6 m$ . La palla torna al suolo quando $y (t) = 0$ ; l’equazione ha la soluzione $t = 0$ , che è il lancio, e la soluzione $t_{v} = 4, 0 s$ , il doppio del tempo di salita come prevede la simmetria del moto.

La condizione $y (t) = 15 m$ è un’equazione di secondo grado con discriminante positivo, perché $15 m$ è minore dell’altezza massima; perciò la palla si trova a quella quota due volte, in salita a $1, 03 s$ e in discesa a $2, 97 s$ . Sostituendo nella legge della velocità si ottengono velocità opposte, $+ 9, 50 m/s$ in salita e $- 9, 50 m/s$ in discesa; lo stesso modulo segue dalla relazione $v^{2} = v_{0}^{2} - 2 g h$ , che non contiene il tempo.

Esercizio 3

Dal tetto di un edificio alto $25 m$ si lancia una palla verticalmente verso l’alto con velocità $8, 0 m/s$ . Trascurando la resistenza dell’aria, calcolare la quota massima raggiunta rispetto al suolo, l’istante in cui la palla tocca il suolo e la velocità con cui lo tocca.

Si orienta l’asse $y$ verso l’alto con l’origine al suolo; i dati sono $y_{0} = 25 m$ e $v_{0} = 8, 0 m/s$ .

y (t) = y_{0} + v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2}, v (t) = v_{0} - g t

h_{m a x} = y_{0} + \frac{v _{0}^{2}}{2 g} = 25 m + \frac{( 8 , 0 m/s ) ^{2}}{2 \cdot 9 , 81 m/ s ^{2}} = 28, 3 m

v_{f}^{2} = v_{0}^{2} + 2 g y_{0} ⟹ v_{f} = - v_{0}^{2} + 2 g y_{0} = - 64 + 490, 5 m/s = - 23, 548 m/s \approx - 23, 5 m/s

v_{f} = v_{0} - g t_{f} ⟹ t_{f} = \frac{v _{0} - v _{f}}{g} = \frac{8 , 0 + 23 , 548}{9 , 81} s = 3, 22 s

Il moto è un lancio verticale da una quota iniziale $y_{0} > 0$ . La quota massima è la quota di partenza aumentata del dislivello $\frac{v _{0}^{2}}{2 g}$ che la palla risale, quindi $28, 3 m$ . Per la velocità d’arrivo si usa la relazione tra velocità e spostamento, con spostamento $0 - y_{0} = - y_{0}$ e accelerazione $- g$ , che dà $v_{f}^{2} = v_{0}^{2} + 2 g y_{0}$ ; si sceglie la radice negativa perché all’arrivo la palla si muove verso il basso. Il tempo di volo si ricava poi dalla legge della velocità. La palla tocca il suolo dopo $3, 22 s$ con velocità di modulo $23, 5 m/s$ , diretta verso il basso. Come controllo, la soluzione positiva dell’equazione $y (t) = 0$ , cioè di $4, 905 t^{2} - 8, 0 t - 25 = 0$ , è $t = 3, 22 s$ .

Esercizio 4

Una pietra viene lasciata cadere da ferma da una torre alta $45 m$ . Nello stesso istante, dalla base della torre, si lancia una seconda pietra verticalmente verso l’alto con velocità $20 m/s$ . Trascurando la resistenza dell’aria, determinare l’istante e la quota in cui le due pietre si incontrano e le loro velocità in quell’istante.

Si orienta l’asse $y$ verso l’alto con l’origine alla base della torre; i dati sono $H = 45 m$ e $v_{0} = 20 m/s$ .

y_{1} (t) = H - \frac{1}{2} g t^{2}, y_{2} (t) = v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2}

y_{1} (t) = y_{2} (t) ⟺ H = v_{0} t ⟺ t = \frac{H}{v _{0}} = \frac{45 m}{20 m/s} = 2, 25 s

y = H - \frac{1}{2} g t^{2} = 45 m - \frac{1}{2} \cdot 9, 81 m/ s^{2} \cdot (2, 25 s)^{2} = 20, 2 m

v_{1} = - g t = - 22, 1 m/s, v_{2} = v_{0} - g t = 20 m/s - 22, 1 m/s = - 2, 1 m/s

Le due pietre hanno la stessa accelerazione $- g$ e si descrivono nello stesso sistema di riferimento. Nell’equazione dell’incontro i termini $- \frac{1}{2} g t^{2}$ compaiono in entrambi i membri e si cancellano, quindi l’istante dell’incontro è lo stesso che si avrebbe senza gravità, e la distanza iniziale $H$ diminuisce alla velocità relativa costante $v_{0}$ . Le pietre si incontrano dopo $2, 25 s$ a $20, 2 m$ di quota. La soluzione è accettabile perché la quota è positiva, cioè l’incontro avviene prima che la prima pietra tocchi il suolo. In quell’istante entrambe le velocità sono negative, perciò anche la seconda pietra sta già scendendo, in accordo con il fatto che il suo tempo di salita, $\frac{v _{0}}{g} = 2, 04 s$ , è minore di $2, 25 s$ .