Esercizi svolti · Scheda 3

Diagonalizzazione con la matrice diagonalizzante

Teoria usata: Procedura di diagonalizzazione Diagonalizzabilità e basi di autovettori Criterio di diagonalizzabilità Autovalori reali distinti Calcolo di un autospazio

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Esercizio 1

Stabilire se la matrice

A = (2123)

è diagonalizzabile e, in caso affermativo, determinare $P$ invertibile e $D$ diagonale tali che $P^{- 1} A P = D$ .

p_{A} (λ) = λ^{2} - 5 λ + 4 = (λ - 1) (λ - 4)

A - I_{2} = (1122) ⟹ x + 2 y = 0 ⟹ V_{1} = ⟨(- 2, 1)⟩

A - 4 I_{2} = (- 2 1 2 - 1) ⟹ x - y = 0 ⟹ V_{4} = ⟨(1, 1)⟩

P = (- 2 1 11), D = (1004), P^{- 1} = \frac{1}{3} (- 1 1 12)

A P = (- 2 1 44) = P D

Traccia e determinante valgono $5$ e $4$ , quindi il polinomio caratteristico è $λ^{2} - 5 λ + 4$ , con radici $1$ e $4$ . La matrice ha due autovalori reali distinti, perciò è diagonalizzabile senza ulteriori verifiche. Le colonne di $P$ sono un generatore per ciascun autospazio, e la diagonale di $D$ contiene gli autovalori nello stesso ordine: la prima colonna $(- 2, 1)$ è relativa a $1$ , la seconda $(1, 1)$ è relativa a $4$ . La matrice $P$ è invertibile, poiché $det P = - 2 - 1 = - 3 \neq = 0$ , e la sua inversa si ottiene scambiando gli elementi della diagonale principale, cambiando segno agli altri due e dividendo per il determinante. Il controllo $A P = P D$ conferma il risultato senza dover calcolare il prodotto $P^{- 1} A P$ .

Esercizio 2

Diagonalizzare la matrice

A = 10 - 2 214104 .

p_{A} (λ) = (1 - λ) 1 - λ - 2 1 4 - λ = (1 - λ) [(1 - λ) (4 - λ) + 2] = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 6) = (1 - λ) (λ - 2) (λ - 3)

A - I_{3} = 00 - 2 204103 ⟹ {2 y + z = 0 - 2 x + 4 y + 3 z = 0 ⟹ {z = - 2 y x = - y ⟹ V_{1} = ⟨(1, - 1, 2)⟩

A - 2 I_{3} = - 1 0 - 2 2 - 1 4 102 ⟹ {y = 0 x = z ⟹ V_{2} = ⟨(1, 0, 1)⟩

A - 3 I_{3} = - 2 0 - 2 2 - 2 4 101 ⟹ {y = 0 z = 2 x ⟹ V_{3} = ⟨(1, 0, 2)⟩

P = 1 - 1 2 101102, D = 100020003

A P = 1 - 1 2 202306 = P D

La seconda riga di $A - λ I_{3}$ contiene il solo elemento $1 - λ$ , quindi lo sviluppo di Laplace lungo quella riga dà subito il fattore $1 - λ$ moltiplicato per un determinante di ordine $2$ . Il trinomio $λ^{2} - 5 λ + 6$ ha radici $2$ e $3$ , perciò gli autovalori sono $1$ , $2$ , $3$ , distinti, e la matrice è diagonalizzabile. Per $λ = 1$ la prima equazione dà $z = - 2 y$ ; sostituendo nella seconda si ottiene $- 2 x + 4 y - 6 y = 0$ , cioè $x = - y$ , e con $y = - 1$ si trova $(1, - 1, 2)$ . Per $λ = 2$ e $λ = 3$ la seconda riga dà $y = 0$ , e la prima riga diventa rispettivamente $- x + z = 0$ e $- 2 x + z = 0$ . Le colonne di $P$ sono i tre generatori nell’ordine degli autovalori $1, 2, 3$ ; il prodotto $A P$ ha come colonne gli stessi vettori moltiplicati per $1$ , $2$ e $3$ , quindi coincide con $P D$ .

Esercizio 3

Stabilire se la matrice

A = 301211 - 2 00

è diagonalizzabile e, in caso affermativo, determinare una matrice diagonalizzante.

p_{A} (λ) = (1 - λ) 3 - λ 1 - 2 - λ = (1 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 2) = (1 - λ) (λ - 1) (λ - 2) = (1 - λ)^{2} (2 - λ)

m_{a} (1) = 2, m_{a} (2) = 1

A - I_{3} = 201201 - 2 0 - 1, rk (A - I_{3}) = 1, m_{g} (1) = 3 - 1 = 2 = m_{a} (1)

x + y - z = 0 ⟹ (x, y, x + y) = x (1, 0, 1) + y (0, 1, 1) ⟹ V_{1} = ⟨(1, 0, 1), (0, 1, 1)⟩

A - 2 I_{3} = 101 2 - 1 1 - 2 0 - 2 ⟹ {y = 0 x = 2 z ⟹ V_{2} = ⟨(2, 0, 1)⟩

P = 101011201, D = 100010002, det P = - 1

Lo sviluppo lungo la seconda riga dà il fattore $1 - λ$ , e il trinomio $λ^{2} - 3 λ + 2$ ha di nuovo la radice $1$ , oltre a $2$ : l’autovalore $1$ è quindi doppio. Per il criterio di diagonalizzabilità occorre verificare che $m_{g} (1) = 2$ . La matrice $A - I_{3}$ ha la prima riga doppia della terza e la seconda nulla, perciò ha rango $1$ e l’autospazio $V_{1}$ ha dimensione $2$ , uguale alla molteplicità algebrica; l’autovalore $2$ è semplice e non richiede verifiche. La matrice è dunque diagonalizzabile. Una base di $V_{1}$ si ottiene dall’equazione $z = x + y$ ponendo prima $x = 1, y = 0$ e poi $x = 0, y = 1$ . Per $λ = 2$ la seconda riga dà $y = 0$ e la prima diventa $x - 2 z = 0$ . Poiché $det P = - 1 \neq = 0$ , le tre colonne formano una base di $R^{3}$ di autovettori, come garantisce il criterio.