Esercizi svolti · Scheda 1

Autovalori e autospazi di matrici di ordine 2

Teoria usata: Polinomio caratteristico Autovalori come radici del polinomio caratteristico Traccia, determinante e autovalori Autospazio Calcolo di un autospazio Molteplicità algebrica e geometrica

Vai a: Esercizio 1 Esercizio 2 Esercizio 3

Esercizio 1

Determinare autovalori e autospazi della matrice

A = (1141) .

p_{A} (λ) = 1 - λ 1 4 1 - λ = (1 - λ)^{2} - 4 = λ^{2} - 2 λ - 3 = (λ - 3) (λ + 1)

λ_{1} = 3, λ_{2} = - 1

A - 3 I_{2} = (- 2 1 4 - 2) R_{1} \to R_{1} + 2 R_{2} (01 0 - 2) ⟹ x - 2 y = 0 ⟹ V_{3} = ⟨(2, 1)⟩

A + I_{2} = (2142) R_{1} \to R_{1} - 2 R_{2} (0102) ⟹ x + 2 y = 0 ⟹ V_{- 1} = ⟨(- 2, 1)⟩

A (21) = (63) = 3 (21), A (- 2 1) = (2 - 1) = - 1 \cdot (- 2 1)

y = \dfrac{x}{2}

y = \dfrac{-x}{2}

Gli autospazi

V_{3}

V_{- 1}

sono le rette per l'origine generate da

u = (2, 1)

e da

w = (- 2, 1)

Il polinomio caratteristico si ottiene sottraendo $λ$ agli elementi della diagonale e calcolando il determinante di ordine $2$ . Il polinomio $λ^{2} - 2 λ - 3$ ha radici $3$ e $- 1$ , e il controllo con traccia e determinante conferma il risultato, poiché $3 + (- 1) = 2 = tr A$ e $3 \cdot (- 1) = - 3 = det A$ . Per ogni autovalore si risolve il sistema omogeneo con matrice $A - λ I_{2}$ : le due righe di questa matrice sono proporzionali, perché il suo determinante è nullo, quindi il sistema si riduce a una sola equazione. Dall’equazione $x - 2 y = 0$ si ottiene $x = 2 y$ , e con $y = 1$ si trova il generatore $(2, 1)$ ; dall’equazione $x + 2 y = 0$ si ottiene il generatore $(- 2, 1)$ . La verifica finale $A v = λ v$ conferma che i due vettori sono autovettori. Entrambi gli autospazi hanno dimensione $1$ .

Esercizio 2

Determinare autovalori e autospazi della matrice

A = (66 - 2 - 1) .

tr A = 5, det A = - 6 + 12 = 6

p_{A} (λ) = λ^{2} - 5 λ + 6 = (λ - 2) (λ - 3)

A - 2 I_{2} = (46 - 2 - 3) ⟹ 2 x - y = 0 ⟹ V_{2} = ⟨(1, 2)⟩

A - 3 I_{2} = (36 - 2 - 4) ⟹ 3 x - 2 y = 0 ⟹ V_{3} = ⟨(2, 3)⟩

A (12) = (24), A (23) = (69)

Per una matrice di ordine $2$ il polinomio caratteristico si scrive direttamente come $λ^{2} - (tr A) λ + det A$ , quindi sono sufficienti traccia e determinante. Le radici di $λ^{2} - 5 λ + 6$ sono $2$ e $3$ . La matrice $A - 2 I_{2}$ ha la seconda riga uguale alla prima moltiplicata per $\frac{3}{2}$ , perciò il sistema si riduce all’equazione $4 x - 2 y = 0$ , cioè $2 x - y = 0$ , e il generatore con $x = 1$ è $(1, 2)$ . Allo stesso modo la matrice $A - 3 I_{2}$ dà l’equazione $3 x - 2 y = 0$ , soddisfatta da $(2, 3)$ . Le verifiche mostrano che $A (1, 2) = 2 (1, 2)$ e $A (2, 3) = 3 (2, 3)$ , quindi $V_{2} = ⟨(1, 2)⟩$ e $V_{3} = ⟨(2, 3)⟩$ .

Esercizio 3

Determinare autovalori, autospazi e molteplicità algebrica e geometrica degli autovalori della matrice

A = (3 - 1 11) .

p_{A} (λ) = (3 - λ) (1 - λ) + 1 = λ^{2} - 4 λ + 4 = (λ - 2)^{2}

λ = 2, m_{a} (2) = 2

A - 2 I_{2} = (1 - 1 1 - 1) R_{2} \to R_{2} + R_{1} (1010), rk (A - 2 I_{2}) = 1

m_{g} (2) = 2 - 1 = 1, x + y = 0 ⟹ V_{2} = ⟨(1, - 1)⟩

Il polinomio caratteristico è un quadrato perfetto, quindi la matrice ha l’unico autovalore $2$ , radice doppia: $m_{a} (2) = 2$ . La molteplicità geometrica è la dimensione dell’autospazio, cioè $2 - rk (A - 2 I_{2})$ . La matrice $A - 2 I_{2}$ non è nulla e ha le righe opposte, perciò il suo rango è $1$ e $m_{g} (2) = 1$ . L’autospazio è la retta $x + y = 0$ , generata da $(1, - 1)$ ; infatti $A (1, - 1) = (2, - 2) = 2 (1, - 1)$ . In questo caso $m_{g} (2) = 1 < 2 = m_{a} (2)$ , quindi gli autovettori di $A$ stanno tutti su una sola retta e non esiste una base di $R^{2}$ formata da autovettori di $A$ .