Esercizi svolti · Scheda 3

Moti circolari uniformi

Teoria usata: Velocità angolare Periodo e frequenza Accelerazione centripeta

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Esercizio 1

Un’automobilina giocattolo percorre a velocità scalare costante una pista circolare di raggio $R = 1, 5 m$ e compie $12$ giri in $30 s$ . Calcolare frequenza, periodo, velocità angolare, velocità scalare e accelerazione centripeta.

f = \frac{N}{Δ t}, T = \frac{1}{f}, ω = 2 π f, v = ω R, a_{n} = ω^{2} R = \frac{v ^{2}}{R}

f = \frac{12}{30 s} = 0, 40 Hz, T = \frac{1}{0 , 40 Hz} = 2, 5 s

ω = 2 π \cdot 0, 40 s^{- 1} = 2, 51 rad/s, v = 2, 51 rad/s \cdot 1, 5 m = 3, 77 m/s

a_{n} = (2, 51 rad/s)^{2} \cdot 1, 5 m = 9, 47 m/ s^{2}

Pista di raggio

1, 5 m

: la velocità è tangente e l'accelerazione centripeta è diretta verso il centro (vettori non in scala con le distanze)

La velocità scalare è costante, quindi il moto è circolare uniforme e i giri sono tutti percorsi nello stesso tempo. La frequenza è il numero di giri al secondo e il periodo è il suo reciproco. In un giro l’angolo descritto è $2 π rad$ , perciò la velocità angolare è $2 π f$ , e la velocità scalare si ottiene moltiplicando per il raggio. L’accelerazione non è nulla, perché la direzione della velocità cambia continuamente, ed è l’accelerazione centripeta $ω^{2} R = 9, 47 m/ s^{2}$ , di poco inferiore a $g$ . Come controllo, $\frac{v ^{2}}{R} = \frac{3 , 7 7 ^{2}}{1 , 5} m/ s^{2} = 9, 47 m/ s^{2}$ .

Esercizio 2

Si assimili la Terra a una sfera di raggio $R_{T} = 6, 37 \cdot 1 0^{6} m$ che compie una rotazione completa attorno al proprio asse in $T = 24 h = 8, 64 \cdot 1 0^{4} s$ . Calcolare la velocità angolare della Terra e la velocità scalare e l’accelerazione centripeta di un punto dell’equatore e di un punto alla latitudine di $4 5^{\circ}$ .

ω = \frac{2 π}{T}, r = R_{T} cos λ, v = ω r, a_{n} = ω^{2} r

ω = \frac{2 π}{8 , 64 \cdot 1 0 ^{4} s} = 7, 27 \cdot 1 0^{- 5} rad/s

λ = 0^{\circ}, r = R_{T} : v = 463 m/s, a_{n} = ω^{2} R_{T} = 0, 0337 m/ s^{2}

λ = 4 5^{\circ}, r = R_{T} cos 4 5^{\circ} = 4, 50 \cdot 1 0^{6} m : v = 328 m/s, a_{n} = 0, 0238 m/ s^{2}

Tutti i punti della Terra ruotano con la stessa velocità angolare, perché la Terra è trattata come un corpo rigido che compie un giro in $24 h$ . Ogni punto descrive però una circonferenza attorno all’asse terrestre, e il raggio di questa circonferenza è la distanza del punto dall’asse, $r = R_{T} cos λ$ alla latitudine $λ$ . All’equatore $r = R_{T}$ , quindi la velocità scalare è $463 m/s$ e l’accelerazione centripeta è $0, 0337 m/ s^{2}$ , circa lo $0, 34 %$ di $g$ . Alla latitudine di $4 5^{\circ}$ il raggio è minore di un fattore $cos 4 5^{\circ}$ , perciò velocità e accelerazione centripeta diminuiscono dello stesso fattore. L’accelerazione centripeta dovuta alla rotazione terrestre è quindi piccola rispetto a $g$ , e per questo nella maggior parte dei problemi si trascura.

Esercizio 3

In una centrifuga da laboratorio una provetta si trova a $r = 10 cm$ dall’asse di rotazione. Calcolare la frequenza di rotazione, in hertz e in giri al minuto, per cui l’accelerazione centripeta della provetta è $1000$ volte $g$ , e la velocità scalare corrispondente.

a_{n} = ω^{2} r = 1000 g ⟹ ω = \frac{1000 g}{r}, f = \frac{ω}{2 π}, v = ω r

ω = \frac{1000 \cdot 9 , 81 m/ s ^{2}}{0 , 10 m} = 313 rad/s

f = \frac{313 rad/s}{2 π} = 49, 8 Hz = 49, 8 \cdot 60 giri al minuto \approx 2990 giri al minuto

v = 313 rad/s \cdot 0, 10 m = 31, 3 m/s

La provetta si muove di moto circolare uniforme, quindi la sua accelerazione è l’accelerazione centripeta $ω^{2} r$ . Imponendo che sia uguale a $1000 g$ si ottiene un’equazione nella sola incognita $ω$ , che ha la soluzione positiva $ω = 313 rad/s$ . La frequenza è il numero di giri al secondo, $\frac{ω}{2 π} = 49, 8 Hz$ , e moltiplicando per $60$ si ottengono circa $2990$ giri al minuto. Poiché $a_{n} = ω^{2} r$ , a parità di velocità angolare l’accelerazione cresce in proporzione alla distanza dall’asse, e una provetta posta a $5 cm$ avrebbe accelerazione $500 g$ . Come controllo, $\frac{v ^{2}}{r} = \frac{31 , 3 ^{2}}{0 , 10} m/ s^{2} = 9, 80 \cdot 1 0^{3} m/ s^{2}$ , che è $1000 g$ entro gli arrotondamenti.