Moti con conservazione dell'energia meccanica

Trascurando l’attrito dell’aria, sul sasso agisce solo il peso, che è una forza conservativa, quindi per la conservazione dell’energia meccanica l’energia meccanica al momento del lancio è uguale a quella all’arrivo al suolo. Si sceglie la quota zero al suolo; all’inizio l’energia è la somma di $\frac{1}{2}m{v}_0^2$ e di $mgh$, all’arrivo è solo cinetica. La massa si semplifica e si ricava $v\approx 18,9m/s$. Nell’equazione compare solo il modulo $v_0$, e non l’angolo di lancio, perciò il modulo della velocità d’arrivo non dipende dalla direzione del lancio; dalla direzione dipendono invece la traiettoria, il tempo di volo e il punto di arrivo. Come caso limite, con $v_0=0$ si ritrova la caduta libera, $v=\sqrt{2gh}$.

La guida è liscia, quindi la sua reazione è sempre perpendicolare alla guida e alla velocità, e non compie lavoro. L’unica forza che compie lavoro è il peso, perciò l’energia meccanica si conserva. In $A$ l’energia è solo potenziale, perché la velocità è trascurabile; in $B$ e in $C$ è la somma di energia cinetica e potenziale. Il dislivello tra $A$ e $B$ è $12\mathrm{m}$ e quello tra $A$ e $C$ è $6,0\mathrm{m}$. La velocità in un punto dipende solo dal dislivello rispetto al punto di partenza, e non dalla forma della guida tra i due punti. In $C$ il carrello è più lento che in $B$, perché è risalito di $6,0\mathrm{m}$ trasformando una parte dell’energia cinetica in energia potenziale.

La tensione del filo è diretta lungo il filo, mentre la velocità della pallina è tangente alla circonferenza descritta, quindi le due sono perpendicolari e la tensione non compie lavoro. Perciò si conserva l’energia meccanica, con il solo peso che compie lavoro. Tra la posizione iniziale e il punto più basso la pallina scende del dislivello $\ell -\ell \cos {\theta }_0$, perché a filo inclinato si trova a una distanza verticale $\ell \cos {\theta }_0$ sotto il punto di sospensione.

La tensione non si ricava dall’energia, dato che non compie lavoro, e si ottiene con il secondo principio della dinamica lungo la direzione radiale. Nel punto più basso la pallina percorre una circonferenza di raggio $\ell$, quindi la risultante di tensione e peso è la forza centripeta $m\frac{v^2}{\ell }$, diretta verso l’alto. Sostituendo $v^2$ ottenuto dall’energia si trova $T=2mg\approx 9,8\mathrm{N}$, il doppio del peso.

Nel punto più alto $C$ il carrello è all’interno dell’anello, quindi la reazione della guida e il peso sono entrambi diretti verso il basso, cioè verso il centro, e la loro somma è la forza centripeta. Il carrello resta a contatto con la guida finché la reazione è positiva o nulla; le due condizioni vanno soddisfatte insieme, e insieme danno $v_C^2\ge gR$. La velocità minima corrisponde a $N_C=0$, quando il peso da solo fornisce la forza centripeta.

La guida è liscia e la sua reazione non compie lavoro, quindi si conserva l’energia meccanica tra la partenza e il punto $C$, che si trova a quota $2R$. Sostituendo la condizione su $v_C^2$ si ottiene $h\ge \frac{5}{2}R$, cioè un’altezza minima di $10\mathrm{m}$. Nel punto più basso $B$ il carrello è sceso di $h$, perciò $v_B^2=2gh=5gR$; qui la reazione è rivolta verso l’alto, verso il centro, e il peso verso il basso. Dal secondo principio lungo la direzione radiale si ricava $N_B=6mg$, sei volte il peso, indipendentemente dal raggio dell’anello.