Esercizi svolti · Scheda 1

Lavori di forze costanti

Teoria usata: Lavoro di una forza costante Segno del lavoro Lavoro della risultante Lavoro del peso

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Esercizio 1

Una cassa viene trascinata per $d = 8, 0 m$ su un pavimento orizzontale da una fune che forma un angolo $θ = 2 5^{\circ}$ con l’orizzontale. La tensione della fune è costante e vale $T = 120 N$ . Calcolare il lavoro compiuto dalla tensione, dal peso e dalla reazione normale.

L_{T} = T \cdot s = T d cos θ, L_{P} = 0, L_{N} = 0

L_{T} = 120 \cdot 8, 0 \cdot cos 2 5^{\circ} J = 960 \cdot 0, 906 J \approx 870 J

La tensione è costante e lo spostamento è rettilineo, quindi si applica la definizione di lavoro di una forza costante: il prodotto scalare tra forza e spostamento, uguale al prodotto dei moduli per il coseno dell’angolo compreso. L’angolo tra la fune e lo spostamento orizzontale è $2 5^{\circ}$ , e il suo coseno è positivo, perciò la tensione compie lavoro positivo. Il peso è verticale e la normale è verticale, mentre lo spostamento è orizzontale; poiché entrambe le forze formano un angolo retto con lo spostamento, il loro lavoro è nullo. Il risultato $870 J$ ha due cifre significative, come i dati $8, 0 m$ e $2 5^{\circ}$ .

Esercizio 2

Una slitta di massa $m = 15 kg$ viene tirata per $d = 12 m$ su una pista orizzontale innevata da una forza costante $F = 80 N$ inclinata di $θ = 3 0^{\circ}$ verso l’alto rispetto all’orizzontale. Il coefficiente di attrito dinamico tra slitta e neve è $μ_{d} = 0, 10$ . Calcolare il lavoro di ciascuna forza e il lavoro totale.

Forze sulla slitta:

F

inclinata di

θ = 3 0^{\circ}

, la normale

N

, il peso

P

e l'attrito

f

opposto allo spostamento, che avviene verso destra

{N + F sin θ - m g = 0 f = μ_{d} N ⟹ f = μ_{d} (m g - F sin θ)

L_{F} = F d cos θ, L_{f} = - μ_{d} (m g - F sin θ) d, L_{P} = L_{N} = 0

N L_{F} L_{f} L_{tot} = (15 \cdot 9, 81 - 80 \cdot 0, 50) N = (147, 15 - 40) N = 107, 15 N = 80 \cdot 12 \cdot cos 3 0^{\circ} J \approx 831, 4 J = - 0, 10 \cdot 107, 15 \cdot 12 J \approx - 128, 6 J = L_{F} + L_{f} + L_{P} + L_{N} \approx 702, 8 J \approx 7, 0 \cdot 1 0^{2} J

Per calcolare l’attrito serve la reazione normale. La slitta non si muove in verticale, quindi la somma delle componenti verticali delle forze è nulla; la forza $F$ ha una componente verticale $F sin θ$ rivolta verso l’alto, perciò la normale è minore del peso, $N = m g - F sin θ$ . L’attrito dinamico ha modulo $μ_{d} N$ ed è opposto allo spostamento, quindi forma con esso un angolo di $18 0^{\circ}$ e compie lavoro negativo. Il peso e la normale sono perpendicolari allo spostamento e compiono lavoro nullo. Per il lavoro della risultante, il lavoro totale è la somma dei quattro lavori; con due cifre significative, come i dati, vale $7, 0 \cdot 1 0^{2} J$ .

Esercizio 3

Un blocco di massa $m = 4, 0 kg$ viene spinto per $d = 3, 0 m$ verso l’alto lungo un piano inclinato di $α = 3 0^{\circ}$ da una forza $F = 40 N$ parallela al piano. Il coefficiente di attrito dinamico è $μ_{d} = 0, 25$ . Calcolare il lavoro della forza $F$ , del peso, della normale, dell’attrito e il lavoro totale.

Il blocco sale lungo il piano:

F

è parallela al piano verso l'alto, l'attrito

f

è parallelo al piano verso il basso

L_{F} = F d, L_{P} = - m g d sin α, L_{N} = 0, L_{f} = - μ_{d} m g cos α d

L_{F} L_{P} L_{f} L_{tot} = 40 \cdot 3, 0 J = 120 J = - 4, 0 \cdot 9, 81 \cdot 3, 0 \cdot 0, 50 J \approx - 58, 9 J = - 0, 25 \cdot 4, 0 \cdot 9, 81 \cdot 0, 866 \cdot 3, 0 J \approx - 25, 5 J = (120 - 58, 9 - 25, 5) J \approx 35, 7 J

La forza $F$ è parallela allo spostamento e concorde, quindi il suo lavoro è il prodotto dei moduli. Il peso forma con lo spostamento un angolo di $9 0^{\circ} + 3 0^{\circ} = 12 0^{\circ}$ , e $cos 12 0^{\circ} = - sin 3 0^{\circ}$ ; in modo equivalente, il blocco sale del dislivello $d sin α = 1, 5 m$ , perciò per il lavoro del peso si ha $L_{P} = - m g d sin α$ . La normale è perpendicolare al piano e non compie lavoro. Nella direzione perpendicolare al piano non c’è moto e $F$ non ha componenti in quella direzione, quindi $N = m g cos α$ e l’attrito ha modulo $μ_{d} m g cos α$ ; è opposto allo spostamento e compie lavoro negativo. Il lavoro totale, somma dei quattro contributi, è positivo, quindi il blocco accelera mentre sale.