Esercizi svolti · Scheda 3

Conservazione dell'energia nei moti di rotazione

Teoria usata: Energia cinetica di rotazione Energia potenziale gravitazionale di un corpo rigido Conservazione dell'energia meccanica Lavoro e potenza nelle rotazioni Momenti d'inerzia di corpi omogenei

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Esercizio 1

Un disco omogeneo di massa $M = 4, 0 kg$ e raggio $R = 0, 20 m$ ruota senza attrito attorno al proprio asse, orizzontale. Un filo inestensibile e di massa trascurabile avvolto sul bordo sostiene un blocco di massa $m = 1, 0 kg$ ; il filo non scivola. Il sistema parte da fermo. Calcolare con la conservazione dell’energia la velocità del blocco e la velocità angolare del disco quando il blocco è sceso di $h = 2, 0 m$ .

m g h = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} I ω^{2}, I = \frac{1}{2} M R^{2}, ω = \frac{v}{R}

m g h = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} M R^{2} \cdot \frac{v ^{2}}{R ^{2}} = \frac{1}{2} (m + \frac{M}{2}) v^{2}

v = \frac{2 m g h}{m + \frac{M}{2}} = \frac{2 \cdot 1 , 0 \cdot 9 , 81 \cdot 2 , 0}{1 , 0 + 2 , 0} m/s = 3, 62 m/s

ω = \frac{v}{R} = \frac{3 , 617}{0 , 20} rad/s = 18, 1 rad/s

L’asse è privo di attrito e il filo non scivola, quindi le reazioni dei vincoli non compiono lavoro e l’unica forza che compie lavoro è il peso del blocco; per la conservazione dell’energia meccanica l’energia potenziale persa dal blocco diventa energia cinetica del blocco e del disco. Il disco ruota attorno a un asse fisso, perciò la sua energia cinetica è $\frac{1}{2} I ω^{2}$ , e la velocità del blocco è uguale alla velocità del bordo, $v = ω R$ . Il raggio si semplifica, e il disco contribuisce come una massa aggiuntiva $\frac{M}{2}$ . Il blocco arriva con $v = 3, 62 m/s$ . Come controllo, la dinamica dà $a = \frac{m g}{m + \frac{M}{2}} = 3, 27 m/ s^{2}$ e $v^{2} = 2 ah = 13, 1 m^{2} / s^{2}$ , in accordo con il risultato.

Esercizio 2

Un’asta omogenea di lunghezza $L = 1, 5 m$ è incernierata senza attrito a un estremo $O$ e può oscillare in un piano verticale. Viene lasciata ferma quando forma un angolo di $6 0^{\circ}$ con la verticale discendente. Calcolare la velocità angolare dell’asta e la velocità dell’estremo libero quando l’asta passa per la verticale.

Dalla posizione iniziale alla verticale, tratteggiata, il centro di massa scende di

Δ h = \frac{L}{2} (1 - cos 6 0^{\circ}) = \frac{L}{4}

Δ h = \frac{L}{2} (1 - cos 6 0^{\circ}) = \frac{L}{4} = 0, 375 m

M g \frac{L}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} M L^{2} ω^{2} ⟹ ω = \frac{3 g}{2 L}

ω = \frac{3 \cdot 9 , 81}{2 \cdot 1 , 5} rad/s = 3, 13 rad/s, v = ω L = 3, 132 \cdot 1, 5 m/s = 4, 70 m/s

La cerniera è priva di attrito, quindi la sua reazione non compie lavoro, e il peso è l’unica forza che lavora; perciò l’energia meccanica si conserva. Per l’energia potenziale di un corpo rigido conta solo la quota del centro di massa, che sta nel punto medio dell’asta. Nella posizione iniziale il centro di massa è a $\frac{L}{2} cos 6 0^{\circ}$ sotto la cerniera, nella posizione verticale a $\frac{L}{2}$ , quindi scende di $\frac{L}{4}$ . L’asta ruota attorno all’asse fisso per $O$ , perciò la sua energia cinetica è $\frac{1}{2} I_{O} ω^{2}$ con $I_{O} = \frac{1}{3} M L^{2}$ . La massa si semplifica, e la velocità dell’estremo è $ω L$ perché l’estremo dista $L$ dall’asse. In verticale l’asta ha $ω = 3, 13 rad/s$ e l’estremo libero $v = 4, 70 m/s$ .

Esercizio 3

Un volano a forma di cilindro pieno omogeneo, di massa $50 kg$ e raggio $0, 40 m$ , viene portato da fermo a $3000 giri al minuto$ da un motore che eroga una potenza costante di $500 W$ . Trascurando gli attriti, calcolare l’energia cinetica finale del volano, il tempo necessario e il momento applicato dal motore alla velocità finale.

I = \frac{1}{2} M R^{2} = \frac{1}{2} \cdot 50 \cdot 0, 4 0^{2} = 4, 0 kg \cdot m^{2}, ω = 3000 \cdot \frac{2 π}{60} rad/s = 100 π rad/s = 314 rad/s

K = \frac{1}{2} I ω^{2} = \frac{1}{2} \cdot 4, 0 \cdot (100 π)^{2} J = 1, 97 \cdot 1 0^{5} J

W = P t = K ⟹ t = \frac{K}{P} = \frac{1 , 974 \cdot 1 0 ^{5}}{500} s = 395 s

P = τ_{z} ω ⟹ τ_{z} = \frac{P}{ω} = \frac{500}{314 , 2} N \cdot m = 1, 59 N \cdot m

L’energia cinetica di rotazione del volano dipende dal momento d’inerzia del cilindro pieno e dalla velocità angolare, convertita in $rad/s$ . Gli attriti sono trascurabili, quindi per il teorema dell’energia cinetica il lavoro del motore, indicato con $W$ per distinguerlo dal momento angolare, è uguale all’energia cinetica finale. La potenza è costante, perciò il lavoro è il prodotto della potenza per il tempo, e il volano raggiunge la velocità finale in $395 s$ , cioè in circa $6, 6$ minuti. Dalla relazione $P = τ_{z} ω$ segue che, a potenza costante, il momento del motore diminuisce quando la velocità angolare cresce, e alla velocità finale vale $1, 59 N \cdot m$ .

Esercizio 4

Un pendolo composto è formato da un’asta omogenea di massa $M = 1, 0 kg$ e lunghezza $L = 0, 60 m$ , incernierata senza attrito a un estremo, e da una pallina di massa $m = 0, 50 kg$ , di dimensioni trascurabili, fissata all’altro estremo. Il pendolo viene lasciato fermo in posizione orizzontale. Calcolare la velocità della pallina quando il pendolo passa per la verticale e confrontarla con la velocità di caduta libera dalla stessa altezza.

I_{O} = \frac{1}{3} M L^{2} + m L^{2} = \frac{1}{3} \cdot 1, 0 \cdot 0, 6 0^{2} + 0, 50 \cdot 0, 6 0^{2} = 0, 12 + 0, 18 = 0, 30 kg \cdot m^{2}

Δ U = M g \frac{L}{2} + m g L = (0, 30 + 0, 30) \cdot 9, 81 J = 5, 89 J

\frac{1}{2} I_{O} ω^{2} = Δ U ⟹ ω = \frac{2 Δ U}{I _{O}} = \frac{2 \cdot 5 , 886}{0 , 30} rad/s = 6, 26 rad/s

v = ω L = 6, 264 \cdot 0, 60 m/s = 3, 76 m/s, v_{libera} = 2 g L = 3, 43 m/s

Il pendolo è un corpo rigido che ruota attorno a un asse fisso privo di attrito, quindi l’energia meccanica si conserva. Il momento d’inerzia rispetto all’asse è la somma di quello dell’asta rispetto a un estremo e di quello della pallina, trattata come massa puntiforme a distanza $L$ . La perdita di energia potenziale è la somma dei contributi delle due parti, poiché il centro di massa dell’asta scende di $\frac{L}{2}$ e la pallina di $L$ . Uguagliando l’energia cinetica di rotazione alla perdita di energia potenziale si ottiene $ω$ , e la pallina, che dista $L$ dall’asse, ha velocità $ω L$ . La pallina arriva con $3, 76 m/s$ , più veloce che in caduta libera, perché l’asta, attraverso le forze interne, le cede parte dell’energia potenziale persa dai propri punti.