Esercizi svolti · Scheda 1

Momenti d'inerzia e teorema di Steiner

Teoria usata: Momento d'inerzia Momenti d'inerzia di corpi omogenei Teorema di Steiner

Vai a: Esercizio 1 Esercizio 2 Esercizio 3 Esercizio 4

Esercizio 1

Tre masse puntiformi sono fissate a un’asta rigida di massa trascurabile lunga $1, 2 m$ : due masse di $2, 0 kg$ agli estremi e una massa di $1, 0 kg$ nel punto medio. Calcolare il momento d’inerzia del sistema rispetto all’asse perpendicolare all’asta passante per il punto medio $C$ e rispetto all’asse parallelo passante per un estremo $A$ , e verificare il secondo risultato con il teorema di Steiner.

I_{C} = i \sum m_{i} R_{i}^{2} = 2, 0 \cdot 0, 6 0^{2} + 1, 0 \cdot 0^{2} + 2, 0 \cdot 0, 6 0^{2} = 1, 44 kg \cdot m^{2}

I_{A} = 2, 0 \cdot 0^{2} + 1, 0 \cdot 0, 6 0^{2} + 2, 0 \cdot 1, 2^{2} = 0, 36 + 2, 88 = 3, 24 kg \cdot m^{2}

M = 2, 0 + 1, 0 + 2, 0 = 5, 0 kg, I_{C} + M d^{2} = 1, 44 + 5, 0 \cdot 0, 6 0^{2} = 3, 24 kg \cdot m^{2}

Per masse puntiformi il momento d’inerzia è la somma dei prodotti di ogni massa per il quadrato della sua distanza dall’asse. Rispetto all’asse per il punto medio le due masse esterne distano $0, 60 m$ , mentre quella centrale sta sull’asse e non contribuisce. Rispetto all’asse per l’estremo $A$ la massa in $A$ non contribuisce, quella centrale dista $0, 60 m$ e l’altra $1, 2 m$ . Le masse sono disposte simmetricamente rispetto al punto medio, quindi il centro di massa è $C$ e il teorema di Steiner si applica con $d = 0, 60 m$ ; il risultato coincide con il calcolo diretto. Il momento d’inerzia rispetto all’estremo è più del doppio, perché la massa di $2, 0 kg$ più lontana dista il doppio e contribuisce con il quadrato della distanza.

Esercizio 2

Un’asta omogenea di massa $M = 3, 0 kg$ e lunghezza $L = 0, 80 m$ ruota attorno a un asse perpendicolare all’asta passante per un punto a $0, 20 m$ da un estremo. Calcolare il momento d’inerzia rispetto a questo asse.

I_{C} = \frac{1}{12} M L^{2} = \frac{1}{12} \cdot 3, 0 \cdot 0, 8 0^{2} = 0, 16 kg \cdot m^{2}

d = \frac{L}{2} - 0, 20 m = 0, 40 - 0, 20 = 0, 20 m

I = I_{C} + M d^{2} = 0, 16 + 3, 0 \cdot 0, 2 0^{2} = 0, 16 + 0, 12 = 0, 28 kg \cdot m^{2}

controllo: \int_{- 0, 20}^{0, 60} \frac{M}{L} x^{2} d x = 3, 75 \cdot \frac{0 , 6 0 ^{3} + 0 , 2 0 ^{3}}{3} = 0, 28 kg \cdot m^{2}

Il centro di massa dell’asta omogenea è il punto medio, a $0, 40 m$ da ciascun estremo, e il momento d’inerzia rispetto all’asse perpendicolare per il centro si legge nella tabella dei corpi omogenei. L’asse assegnato è parallelo a questo e dista $0, 20 m$ dal centro, quindi per il teorema di Steiner basta aggiungere $M d^{2}$ . Il controllo calcola lo stesso momento d’inerzia per integrazione: con l’origine sull’asse, l’asta occupa l’intervallo da $- 0, 20 m$ a $0, 60 m$ e la densità lineare è $\frac{M}{L} = 3, 75 kg/m$ . Il momento d’inerzia è $0, 28 kg \cdot m^{2}$ , compreso tra il valore rispetto al centro, $0, 16 kg \cdot m^{2}$ , e quello rispetto all’estremo, $\frac{1}{3} M L^{2} = 0, 64 kg \cdot m^{2}$ , come deve essere per un asse intermedio.

Esercizio 3

Un disco omogeneo di massa $M = 4, 0 kg$ e raggio $R = 0, 25 m$ ruota attorno a un asse perpendicolare al disco passante per un punto del bordo. Calcolare il momento d’inerzia e confrontarlo con quello di un anello sottile con la stessa massa e lo stesso raggio, rispetto a un asse analogo.

I_{disco} = \frac{1}{2} M R^{2} + M R^{2} = \frac{3}{2} M R^{2} = \frac{3}{2} \cdot 4, 0 \cdot 0, 2 5^{2} = 0, 375 kg \cdot m^{2}

I_{anello} = M R^{2} + M R^{2} = 2 M R^{2} = 2 \cdot 4, 0 \cdot 0, 2 5^{2} = 0, 500 kg \cdot m^{2}

L’asse passa per il bordo ed è parallelo all’asse di simmetria, che contiene il centro di massa; la distanza tra i due assi è il raggio $R$ . Per il teorema di Steiner al momento d’inerzia rispetto al centro, $\frac{1}{2} M R^{2}$ per il disco e $M R^{2}$ per l’anello, si aggiunge $M R^{2}$ . L’anello ha momento d’inerzia maggiore, perché nel disco parte della massa sta vicino al centro, mentre nell’anello tutta la massa sta alla distanza $R$ dal centro.

Esercizio 4

Un pendolo è formato da un’asta omogenea di massa $1, 2 kg$ e lunghezza $L = 0, 90 m$ , incernierata a un estremo $O$ , e da un disco omogeneo di massa $2, 0 kg$ e raggio $0, 10 m$ saldato all’altro estremo, con il centro del disco nell’estremo dell’asta. Il disco giace nel piano di oscillazione e l’asse di rotazione passa per $O$ , perpendicolare a quel piano. Calcolare il momento d’inerzia del pendolo rispetto all’asse.

Il pendolo visto lungo l'asse di rotazione per

O

: l'asta lunga

0, 90 m

e il disco di raggio

0, 10 m

con il centro nell'estremo

I_{asta} = \frac{1}{3} m_{a} L^{2} = \frac{1}{3} \cdot 1, 2 \cdot 0, 9 0^{2} = 0, 324 kg \cdot m^{2}

I_{disco} = \frac{1}{2} m_{d} R^{2} + m_{d} L^{2} = \frac{1}{2} \cdot 2, 0 \cdot 0, 1 0^{2} + 2, 0 \cdot 0, 9 0^{2} = 0, 010 + 1, 62 = 1, 63 kg \cdot m^{2}

I_{O} = I_{asta} + I_{disco} = 0, 324 + 1, 63 = 1, 95 kg \cdot m^{2}

Il momento d’inerzia è additivo, quindi si calcolano separatamente i contributi dell’asta e del disco rispetto allo stesso asse per $O$ . Per l’asta l’asse passa per un estremo, e il valore $\frac{1}{3} m_{a} L^{2}$ si legge nella tabella dei corpi omogenei. Per il disco l’asse è parallelo all’asse di simmetria e dista $L$ dal centro, perciò si applica il teorema di Steiner. Il momento d’inerzia del pendolo è $1, 95 kg \cdot m^{2}$ . Come controllo, trattando il disco come una massa puntiforme posta a distanza $L$ si otterrebbe $1, 944 kg \cdot m^{2}$ , quindi il termine $\frac{1}{2} m_{d} R^{2}$ cambia il risultato di circa lo $0, 5%$ , perché il raggio del disco è piccolo rispetto alla lunghezza dell’asta.