This page is not yet available in English: it is shown in Italian. Italiano
Theory
Numeri naturali e ordine delle operazioni
Che cosa sono i numeri naturali e come si scrivono con le cifre, come si chiamano i termini delle quattro operazioni, come si esegue la divisione con resto, quali proprietà hanno le operazioni, che cos'è una potenza e in quale ordine si calcola un'espressione con le parentesi.
On this page
I numeri naturali e il loro ordine
1. Numeri naturali
I numeri che si usano per contare gli oggetti si chiamano numeri naturali. Il primo è lo zero, che indica l’assenza di oggetti, e poi si prosegue aggiungendo ogni volta un’unità:
I puntini indicano che l’elenco continua senza fine. La raccolta di tutti i numeri naturali si chiama insieme dei numeri naturali e si indica con il simbolo .
Ogni numero naturale ha un successivo, che si ottiene aggiungendo . Il successivo di è e il successivo di è . Poiché si può sempre aggiungere , non esiste un numero naturale più grande di tutti gli altri. Ogni numero naturale diverso da ha anche un precedente, che si ottiene togliendo . Il precedente di è , mentre lo zero non ha un precedente tra i numeri naturali.
2. Ordine tra numeri naturali
Dati due numeri naturali diversi, il minore è quello che si incontra prima contando a partire da , e l’altro è il maggiore. Si scrive , che si legge ” è minore di ”, oppure , che si legge ” è maggiore di ”. La punta del simbolo è sempre rivolta verso il numero minore. Per esempio e .
I simboli e si leggono “minore o uguale” e “maggiore o uguale”. La scrittura indica che è minore di oppure è uguale a , quindi è uno dei numeri , , , , , .
L’ordine permette di disporre una lista di numeri dal più piccolo al più grande, come si fa con i prezzi o con i punteggi. I numeri , , e , messi in ordine crescente, diventano .
3. Retta dei numeri
I numeri naturali si rappresentano su una retta. Si sceglie un punto per lo e un segmento come unità di misura; poi, partendo da , si riporta l’unità verso destra tante volte quante servono. Al primo passo si trova il punto del numero , al secondo passo quello del numero , e così via. La freccia indica il verso in cui i numeri crescono.
Su questa retta dei numeri il numero minore si trova sempre a sinistra del maggiore. La distanza tra i punti di due numeri, contata in passi, è la differenza tra il maggiore e il minore.
Il sistema decimale posizionale
Sistema decimale posizionale
Per scrivere i numeri si usano dieci simboli, detti cifre:
Dieci unità formano una decina, dieci decine formano un centinaio e dieci centinaia formano un migliaio. In un numero scritto con più cifre, la cifra più a destra conta le unità, quella alla sua sinistra conta le decine, poi vengono le centinaia e le migliaia. Il valore di una cifra dipende quindi dal posto che occupa, e per questo il sistema si chiama posizionale. Si chiama decimale perché si raggruppa a dieci a dieci.
Nel numero la cifra vale centinaia, la cifra vale decine e la cifra vale unità, perciò
Con sole dieci cifre si scrive così qualsiasi numero naturale, per quanto grande.
Lettura delle cifre di un numero
Nel numero ci sono migliaia, centinaia, decine e unità:
I numeri con più di quattro cifre si scrivono separando le cifre a gruppi di tre da destra, con un piccolo spazio, come in e in . Lo spazio serve a leggere meglio il numero e non cambia il suo valore.
Attenzione
Lo zero dentro un numero indica che in quella posizione non ci sono unità, decine o centinaia, e non si può togliere. Il numero ha centinaia, decine e unità, quindi vale . Il numero ha invece decine e unità e vale , che è molto meno.
Confronto tra numeri scritti con le cifre
Il sistema posizionale permette di confrontare due numeri senza contare. Tra due numeri con un diverso numero di cifre è maggiore quello che ha più cifre, perché per esempio ogni numero di quattro cifre vale almeno , mentre ogni numero di tre cifre vale al più . Se i due numeri hanno lo stesso numero di cifre, si confrontano le cifre partendo da sinistra, e il maggiore è quello che ha la cifra maggiore nella prima posizione in cui le cifre sono diverse. Per esempio , perché le migliaia e le centinaia sono uguali e nelle decine è maggiore di .
Addizione e sottrazione
1. Addizione
L’addizione riunisce due quantità in una sola. I numeri che si sommano si chiamano addendi e il risultato si chiama somma:
Sulla retta dei numeri sommare vuol dire fare passi verso destra. La somma di due numeri naturali è sempre un numero naturale. Per esempio, se in un cesto ci sono mele e se ne aggiungono , nel cesto ci sono mele.
2. Sottrazione
La sottrazione è l’operazione inversa dell’addizione. Dati due numeri e , con , la differenza è il numero che, sommato a , dà . Il primo numero si chiama minuendo, il secondo sottraendo e il risultato differenza:
Sulla retta dei numeri sottrarre vuol dire fare passi verso sinistra. La sottrazione serve a togliere una quantità da un’altra e a trovare quanto manca. Se un libro ha pagine e se ne sono lette , restano da leggere pagine, perché .
La prova della sottrazione
La definizione dà anche un modo di controllare il risultato, detto prova. Si calcola . La prova consiste nel sommare la differenza al sottraendo, e infatti , che è il minuendo. Se la somma non avesse dato , la sottrazione sarebbe stata sbagliata.
Attenzione
Tra i numeri naturali la sottrazione si può eseguire solo se . Per esempio non è un numero naturale, perché nessun numero naturale sommato a dà . Per eseguire anche queste sottrazioni servono i numeri negativi, che si studiano nell’argomento sui numeri relativi.
Moltiplicazione e divisione
1. Moltiplicazione
La moltiplicazione è un’addizione ripetuta di addendi uguali. Il prodotto indica la somma di addendi uguali a :
I numeri che si moltiplicano si chiamano fattori e il risultato si chiama prodotto. Il segno della moltiplicazione è il punto , che si legge “per”. La moltiplicazione serve a contare oggetti disposti a gruppi uguali, per esempio file da quadretti, oppure confezioni da bottiglie, che sono bottiglie.
2. Divisione
La divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione. Dati due numeri e , con , il quoziente è il numero che, moltiplicato per , dà . Il primo numero si chiama dividendo, il secondo divisore e il risultato quoziente:
Il segno si legge “diviso”. La divisione serve a ripartire una quantità in parti uguali. Se caramelle si dividono tra bambini, ciascuno ne riceve . Quando il quoziente è un numero naturale, come in questo caso, la divisione si dice esatta.
3. Divisione con resto
Una divisione tra numeri naturali non è sempre esatta. Per esempio caramelle non si dividono in parti uguali tra bambini, perché nessun numero naturale moltiplicato per dà . In questo caso si cerca quante volte il divisore sta nel dividendo e quanto avanza.
Dati due numeri naturali e , con , esistono e sono unici due numeri naturali e tali che
Il numero si chiama quoziente e il numero si chiama resto. Il resto è minore del divisore perché, se fosse uguale o maggiore, il divisore starebbe nel dividendo ancora una volta. La divisione è esatta quando il resto è .
Per si ha e . Il numero supera , quindi il sta volte nel e il quoziente è . Il resto è , che è minore di . Perciò
e ogni bambino riceve caramelle, mentre ne avanzano .
Una divisione con resto nella vita quotidiana
Un gruppo di persone deve salire su alcuni pulmini da posti. Si esegue la divisione . Poiché e , il quoziente è e il resto è , quindi
Sette pulmini si riempiono e restano persone. Per portare anche queste due persone serve un altro pulmino, perciò i pulmini necessari sono . Perciò, a seconda della domanda, la risposta a un problema di questo tipo è il quoziente oppure il quoziente aumentato di .
Proprietà delle operazioni
1. Proprietà commutativa
In un’addizione e in una moltiplicazione si può cambiare l’ordine dei termini senza cambiare il risultato. Per tutti i numeri naturali e valgono
Per esempio e . Per la moltiplicazione si guarda il rettangolo di quadretti per righe oppure per colonne. Visto per righe è formato da file da quadretti, e visto per colonne è formato da colonne da quadretti, quindi e contano gli stessi quadretti. La proprietà permette di scegliere l’ordine più comodo. Il prodotto si calcola come , cioè .
Attenzione
La sottrazione e la divisione non hanno la proprietà commutativa. Per esempio , mentre non è nemmeno un numero naturale; allo stesso modo , mentre non è un numero naturale.
2. Proprietà associativa
In un’addizione di tre o più addendi si possono sommare due addendi vicini e sostituirli con la loro somma, senza cambiare il risultato. Lo stesso vale per i fattori di una moltiplicazione. Per tutti i numeri naturali , , valgono
Insieme alla proprietà commutativa, questa proprietà permette di raggruppare i termini nel modo più comodo per il calcolo a mente. Per esempio
dove si è scambiato con e poi si è calcolato per primo il prodotto .
3. Proprietà distributiva
Per moltiplicare un numero per una somma si può moltiplicare il numero per ciascun addendo e poi sommare i prodotti. Per tutti i numeri naturali , , vale
e, quando , vale anche . La moltiplicazione si dice distributiva rispetto all’addizione e alla sottrazione.
La proprietà serve a fare a mente le moltiplicazioni, scomponendo un fattore in una somma o in una differenza. Per esempio
Letta da destra a sinistra, la stessa uguaglianza permette di raccogliere un fattore comune, come in . Nel calcolo letterale questo passaggio si chiama raccoglimento e si usa nell’argomento sulla scomposizione in fattori.
Dimostrazione
Si giustifica la proprietà con un rettangolo di quadretti, nel caso . Il rettangolo ha file, e ogni fila contiene quadretti, quindi contiene quadretti.
Si divide poi il rettangolo con una linea verticale, dopo le prime colonne. La parte di sinistra ha file da quadretti, cioè quadretti, e la parte di destra ha file da quadretti, cioè quadretti. Le due parti insieme formano tutto il rettangolo, perciò i quadretti sono anche .
I due conteggi riguardano gli stessi quadretti, quindi . Lo stesso ragionamento vale per un rettangolo di file da quadretti, con qualsiasi numero di file e di colonne.
4. Elemento neutro
Il numero è l’elemento neutro dell’addizione e il numero è l’elemento neutro della moltiplicazione. Questo vuol dire che, per ogni numero naturale ,
Aggiungere zero oggetti non cambia la quantità, e gruppi da un oggetto contengono oggetti. Per esempio e . Valgono anche e , come in e .
5. Lo zero nella moltiplicazione e nella divisione
- Per ogni numero naturale vale , perché gruppi da zero oggetti non contengono alcun oggetto. Per esempio .
- Per ogni numero naturale vale , perché . Se caramelle si dividono tra bambini, ognuno riceve caramelle.
- La divisione non si può eseguire, cioè la divisione per zero non ha significato. Se , nessun numero moltiplicato per dà , perché ogni numero moltiplicato per dà ; per esempio non ha risultato. Se , ogni numero moltiplicato per dà , quindi il quoziente non è un numero determinato.
Dalla prima regola segue che un prodotto vale se uno dei fattori è ; per esempio , senza bisogno di altri calcoli. Inoltre un prodotto di fattori tutti diversi da è diverso da , come . Le due regole insieme formano la legge di annullamento del prodotto, che si usa nell’argomento sulla scomposizione in fattori per trovare le condizioni di esistenza.
Potenze
Potenza
Una potenza è una moltiplicazione di fattori tutti uguali, scritta in forma breve. Se e sono numeri naturali, con , la potenza è il prodotto di fattori uguali ad :
Il numero si chiama base e il numero , scritto in alto e più piccolo, si chiama esponente. L’esponente indica quante volte la base compare come fattore. Si pone inoltre . Per esempio
La potenza si legge “due alla terza”. Una potenza con esponente si chiama anche quadrato e una potenza con esponente si chiama cubo, perché è il numero di quadretti di un quadrato con quadretti per lato e è il numero di cubetti di un cubo con cubetti per spigolo.
Le proprietà delle potenze, l’esponente e gli esponenti negativi si studiano nell’argomento sulle potenze e radici.
Potenze di 10, di 1 e di 0
- Una potenza di si scrive con la cifra seguita da tanti zeri quanti indica l’esponente. Per esempio e .
- Ogni potenza di base vale , perché ; per esempio .
- Ogni potenza di base e con esponente almeno vale , perché un prodotto con un fattore vale ; per esempio .
Con le potenze di si scrive in modo compatto il valore delle cifre di un numero. Per esempio .
Attenzione
L’esponente non è un fattore. La potenza vale , mentre . Allo stesso modo è diverso da .
Ordine delle operazioni
Espressione numerica
Un’espressione numerica è una sequenza di numeri legati dai segni delle operazioni, come . Calcolare l’espressione, oppure trovarne il valore, vuol dire eseguire tutte le operazioni fino a ottenere un solo numero. Per esempio l’espressione ha valore .
In un’espressione senza parentesi le operazioni si eseguono in questo ordine:
- le potenze;
- le moltiplicazioni e le divisioni, nell’ordine in cui compaiono da sinistra a destra;
- le addizioni e le sottrazioni, nell’ordine in cui compaiono da sinistra a destra.
La regola è una convenzione. Tutti la usano, e quindi ogni espressione ha un solo valore, lo stesso per chiunque la calcoli. Per esempio, nell’espressione si esegue prima la moltiplicazione e poi l’addizione, perciò il valore è . Nell’espressione che segue si calcola prima la potenza , poi la moltiplicazione e la divisione , e infine la sottrazione e l’addizione da sinistra a destra:
Attenzione
Le operazioni dello stesso livello si eseguono da sinistra a destra, anche quando la seconda sembra più comoda. Per esempio ; eseguendo per prima la moltiplicazione si otterrebbe , che è un valore sbagliato. Allo stesso modo , mentre eseguendo prima l’addizione si otterrebbe .
Espressioni con le parentesi
Le parentesi indicano le operazioni da eseguire per prime. Si usano tre tipi di parentesi: le tonde , le quadre e le graffe . Le tonde stanno all’interno delle quadre, e le quadre all’interno delle graffe. Un’espressione con le parentesi si calcola così:
- si calcolano le espressioni contenute nelle parentesi tonde;
- si calcolano le espressioni contenute nelle parentesi quadre, che a quel punto non contengono più parentesi tonde;
- si calcolano le espressioni contenute nelle parentesi graffe;
- si calcola l’espressione rimasta.
In ciascuna di queste espressioni si segue l’ordine delle operazioni. Quando l’espressione racchiusa da una coppia di parentesi si riduce a un solo numero, le parentesi si tolgono. Per esempio , mentre senza parentesi , quindi le due espressioni hanno valori diversi.
Un'espressione con tonde, quadre e graffe
Si calcola
Si parte dall’espressione racchiusa dalle tonde, . Nell’espressione , racchiusa dalle quadre, si esegue prima la moltiplicazione e poi l’addizione . Nell’espressione , racchiusa dalle graffe, si esegue prima la divisione e poi la sottrazione . Infine si moltiplica per :
Un'espressione che descrive una spesa
Al supermercato si comprano quaderni da euro e penne da euro, e si paga con una banconota da euro. La spesa è euro, e il resto è la differenza tra euro e la spesa. Poiché la spesa va sottratta tutta insieme, l’espressione si scrive dentro parentesi tonde:
Il resto è quindi di euro. Senza parentesi l’espressione vale , perché il costo delle penne verrebbe aggiunto invece di essere sottratto.
Le proprietà nel calcolo delle espressioni
Le proprietà delle operazioni permettono a volte di calcolare un’espressione con meno fatica, e il risultato è lo stesso che si ottiene con l’ordine delle operazioni. Per esempio, nell’espressione si può calcolare prima e poi , oppure si può applicare la proprietà distributiva, . Nell’espressione la proprietà commutativa e la proprietà associativa permettono di sommare per primi e , che danno , e poi .