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Theory

Multipli, divisori, numeri primi, MCD e mcm

Che cosa sono multipli e divisori, come si riconosce senza fare la divisione se un numero è divisibile per 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11 e 25, che cosa sono i numeri primi, come si scompone un numero in fattori primi e come si calcolano massimo comune divisore e minimo comune multiplo, anche nei problemi con piastrelle, turni e confezioni.

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Multipli e divisori
Criteri di divisibilità
Numeri primi e composti
Scomposizione in fattori primi
Massimo comune divisore
Minimo comune multiplo
Numeri primi tra loro
Problemi con MCD e mcm

Multipli e divisori

Siano $a$ e $b$ due numeri naturali, con $b$ diverso da $0$ . Il numero $a$ è multiplo di $b$ se si ottiene moltiplicando $b$ per un numero naturale, cioè se $a = b \cdot k$ per un opportuno numero naturale $k$ . In questo caso si dice anche che $b$ è un divisore di $a$ , oppure che $a$ è divisibile per $b$ .

In altre parole, $b$ è un divisore di $a$ quando la divisione $a : b$ ha resto $0$ . Per esempio $35 = 7 \cdot 5$ , quindi $35$ è multiplo di $7$ , e $7$ è un divisore di $35$ . Invece $35$ non è multiplo di $4$ , perché $35 : 4$ dà quoziente $8$ e resto $3$ , dato che $4 \cdot 8 + 3 = 35$ .

I multipli di 3

I multipli di $3$ si ottengono moltiplicando $3$ per $0$ , $1$ , $2$ , $3$ e così via:

0, \quad 3, \quad 6, \quad 9, \quad 12, \quad 15, \quad 18, \quad \dots

L’elenco continua senza fine, perché si può sempre moltiplicare per un numero più grande. Sulla retta dei numeri i multipli di $3$ si trovano partendo da $0$ e avanzando ogni volta di $3$ unità.

I multipli di

3

fino a

18

sulla retta dei numeri: due multipli vicini distano

3

unità

I divisori di 12

I divisori di un numero diverso da $0$ sono invece in numero finito, perché nessun divisore supera il numero stesso. Per trovare i divisori di $12$ si cercano le coppie di numeri che moltiplicati danno $12$ :

12 = 1 \cdot 12, \qquad 12 = 2 \cdot 6, \qquad 12 = 3 \cdot 4 .

Quindi i divisori di $12$ sono $1, 2, 3, 4, 6, 12$ . Le stesse coppie sono i lati dei rettangoli che si possono costruire con $12$ quadratini uguali.

Con

12

quadratini uguali si costruiscono tre rettangoli, con lati

12

1

6

2

4

3

: i lati sono i divisori di

12

I numeri 0 e 1

Il numero $1$ è un divisore di ogni numero naturale $a$ , perché $a = 1 \cdot a$ . Ogni numero $a$ diverso da $0$ è divisore di sé stesso, per lo stesso motivo. Il numero $0$ è multiplo di ogni numero $b$ , perché $0 = b \cdot 0$ . Lo zero invece non è divisore di alcun numero, perché la divisione per $0$ non ha significato, come si è visto nell’argomento sui numeri naturali.

Somma e differenza di multipli

Se due numeri sono multipli di $b$ , allora anche la loro somma è multipla di $b$ , e lo stesso vale per la loro differenza (il numero maggiore meno il minore).

Per esempio $12 = 3 \cdot 4$ e $18 = 3 \cdot 6$ sono multipli di $3$ . Per la proprietà distributiva si ha $12 + 18 = 3 \cdot 4 + 3 \cdot 6 = 3 \cdot (4 + 6) = 3 \cdot 10$ , quindi anche $30$ è multiplo di $3$ . Allo stesso modo $18 - 12 = 3 \cdot (6 - 4) = 3 \cdot 2 = 6$ . Questa proprietà è la ragione per cui valgono i criteri di divisibilità.

Criteri di divisibilità

1. Divisibilità per 2, 5 e 10

Un numero naturale è divisibile:

per $2$ se la sua ultima cifra è $0$ , $2$ , $4$ , $6$ oppure $8$ ;
per $5$ se la sua ultima cifra è $0$ oppure $5$ ;
per $10$ se la sua ultima cifra è $0$ .

Un criterio di divisibilità è una regola che dice se una divisione ha resto $0$ senza eseguirla. I numeri divisibili per $2$ si chiamano pari, gli altri dispari. Per esempio $4\,358$ è pari, perché termina con $8$ , mentre non è divisibile per $5$ né per $10$ . Il numero $1\,275$ è divisibile per $5$ , perché termina con $5$ , e non per $2$ .

La regola vale perché un numero è formato dalle sue decine più la cifra delle unità. Per esempio $4\,358 = 435 \cdot 10 + 8$ , e $435 \cdot 10$ è multiplo di $10$ , quindi anche di $2$ e di $5$ . Perciò la divisibilità dipende soltanto dall’ultima cifra.

2. Divisibilità per 4 e per 25

Un numero naturale con almeno tre cifre è divisibile:

per $4$ se il numero formato dalle sue ultime due cifre è divisibile per $4$ ;
per $25$ se termina con $00$ , $25$ , $50$ oppure $75$ .

Il motivo è lo stesso del criterio precedente, con le centinaia al posto delle decine. Il numero $7\,316$ si scrive $73 \cdot 100 + 16$ , e $100 = 4 \cdot 25$ è multiplo di $4$ e di $25$ . Poiché $16 = 4 \cdot 4$ , il numero $7\,316$ è divisibile per $4$ . Invece $16$ non è multiplo di $25$ , perciò $7\,316$ non è divisibile per $25$ . Il numero $3\,450$ è divisibile per $25$ , perché termina con $50$ .

Attenzione

Per il $4$ si guardano le ultime due cifre. Il numero $34$ termina con $4$ , ma non è divisibile per $4$ , perché $34 : 4$ dà quoziente $8$ e resto $2$ .

3. Divisibilità per 3 e per 9

Un numero naturale è divisibile per $3$ se la somma delle sue cifre è divisibile per $3$ , ed è divisibile per $9$ se la somma delle sue cifre è divisibile per $9$ .

Per esempio $5\,742$ ha somma delle cifre $5 + 7 + 4 + 2 = 18$ . Poiché $18$ è multiplo di $9$ , il numero $5\,742$ è divisibile per $9$ , e quindi anche per $3$ . Il numero $1\,204$ ha somma delle cifre $7$ , che non è multiplo di $3$ , perciò $1\,204$ non è divisibile per $3$ .

Dimostrazione

L’idea è scrivere il numero separando le sue cifre. Per $5\,742$ si ha

\begin{aligned} 5\,742 &= 5 \cdot 1000 + 7 \cdot 100 + 4 \cdot 10 + 2 \\[6pt] &= 5 \cdot (999 + 1) + 7 \cdot (99 + 1) + 4 \cdot (9 + 1) + 2 \\[6pt] &= (5 \cdot 999 + 7 \cdot 99 + 4 \cdot 9) + (5 + 7 + 4 + 2) . \end{aligned}

I numeri $9$ , $99$ e $999$ sono multipli di $9$ , quindi il primo gruppo di addendi è multiplo di $9$ e anche di $3$ . Il secondo gruppo è la somma delle cifre, cioè $18$ . Per la proprietà della somma di multipli, se anche $18$ è multiplo di $9$ allora tutto il numero è multiplo di $9$ . Se invece la somma delle cifre non è multipla di $9$ , il numero non lo è, perché altrimenti la somma delle cifre, che è la differenza tra il numero e il primo gruppo, sarebbe multipla di $9$ . Lo stesso ragionamento vale con $3$ al posto di $9$ .

4. Divisibilità per 11

Si numerano le cifre di un numero da destra, partendo dalle unità, che occupano il posto $1$ . Il numero è divisibile per $11$ se la differenza tra la somma delle cifre di posto dispari e la somma delle cifre di posto pari (la maggiore meno la minore) è $0$ oppure un multiplo di $11$ .

Per esempio, in $8\,294$ le cifre di posto dispari sono $4$ e $2$ , con somma $6$ , e quelle di posto pari sono $9$ e $8$ , con somma $17$ . La differenza è $17 - 6 = 11$ , quindi $8\,294$ è divisibile per $11$ ; infatti $8\,294 = 11 \cdot 754$ . Nel numero $5\,203$ le due somme sono $3 + 2 = 5$ e $0 + 5 = 5$ , con differenza $0$ , perciò anche $5\,203$ è divisibile per $11$ , e infatti $5\,203 = 11 \cdot 473$ . La regola si giustifica come quella del $9$ , usando il fatto che $10 = 11 - 1$ , $100 = 99 + 1$ e $1000 = 1001 - 1$ , dove $99$ e $1001 = 11 \cdot 91$ sono multipli di $11$ .

Numeri primi e composti

1. Numeri primi e numeri composti

Un numero naturale maggiore di $1$ si dice primo se ha esattamente due divisori, cioè $1$ e sé stesso. Un numero maggiore di $1$ che ha altri divisori si dice composto.

Per esempio $7$ è primo, perché i suoi unici divisori sono $1$ e $7$ . Il numero $15$ è composto, perché è divisibile anche per $3$ e per $5$ . Il numero $1$ non è primo né composto, perché ha un solo divisore. I numeri primi servono a costruire tutti gli altri numeri con la moltiplicazione, come si vede nella scomposizione in fattori primi.

2. Crivello di Eratostene

Il crivello di Eratostene è un metodo per trovare tutti i numeri primi fino a un numero fissato. Si scrivono i numeri da $2$ in poi e si ripetono due passi:

si prende il primo numero dell’elenco che non è cancellato, e quel numero è primo;
si cancellano tutti i suoi multipli successivi.

Fino a $50$ si cancellano i multipli di $2$ (cioè $4$ , $6$ , $8$ , …), poi i multipli di $3$ ( $9$ , $15$ , $21$ , …, perché quelli pari sono già cancellati), poi quelli di $5$ e di $7$ . Dopo il $7$ non resta nulla da cancellare, perché il primo multiplo di $11$ non ancora cancellato sarebbe $11 \cdot 11 = 121$ , che supera $50$ . I numeri rimasti sono i primi minori di $50$ :

2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ 37,\ 41,\ 43,\ 47 .

Il crivello di Eratostene fino a

50

: le caselle colorate sono i numeri primi

3. Come si riconosce un numero primo

Per stabilire se un numero $n$ è primo si divide $n$ per i numeri primi $2$ , $3$ , $5$ , $7$ , $11$ , … in ordine. Ci si ferma quando si arriva a un numero primo che, moltiplicato per sé stesso, supera $n$ , e quel numero non si prova. Se nessuna delle divisioni eseguite ha resto $0$ , il numero $n$ è primo.

La prova si ferma lì per questo motivo. Se $n$ è composto, si scrive come prodotto di due fattori maggiori di $1$ , $n = a \cdot b$ con $a$ minore o uguale a $b$ . Allora $a \cdot a$ non supera $a \cdot b = n$ . Un fattore primo $p$ di $a$ non supera $a$ , quindi neanche $p \cdot p$ supera $n$ , e perciò $p$ si trova tra i numeri provati. Poiché $p$ divide $a$ e $a$ divide $n$ , la divisione di $n$ per $p$ ha resto $0$ . Per esempio, per $89$ si provano $2$ , $3$ , $5$ e $7$ , dato che $11 \cdot 11 = 121$ supera $89$ . Nessuna di queste divisioni ha resto $0$ , quindi $89$ è primo. Per $91$ la prova con $7$ dà $91 = 7 \cdot 13$ , perciò $91$ è composto.

Scomposizione in fattori primi

Ogni numero naturale maggiore di $1$ si scrive come prodotto di numeri primi, e questo prodotto è unico, a meno dell’ordine dei fattori. I fattori uguali si raccolgono in una potenza, per esempio $2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$ .

Scomporre un numero in fattori primi significa scriverlo in questa forma. Per esempio $60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$ . Se si parte da $60 = 6 \cdot 10$ oppure da $60 = 4 \cdot 15$ si ottengono sempre gli stessi fattori, perché $6 \cdot 10 = 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5$ e $4 \cdot 15 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$ . La scomposizione serve per calcolare il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo, e per semplificare le frazioni, come si vede nell’argomento sulle frazioni.

Schema in colonna

La scomposizione si esegue con uno schema in colonna. Si scrive il numero a sinistra di una linea verticale. A destra si scrive il più piccolo numero primo che lo divide, e sotto il numero si scrive il quoziente. Si ripete con il quoziente finché si arriva a $1$ . Per $360$ :

\begin{array}{r|l} 360 & 2 \\ 180 & 2 \\ 90 & 2 \\ 45 & 3 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{array}

I fattori primi sono i numeri della colonna di destra, quindi $360 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$ . Per scegliere il divisore a ogni riga si usano i criteri di divisibilità. Il numero $360$ termina con $0$ , quindi è pari. Il numero $45$ è dispari e ha somma delle cifre $9$ , quindi è divisibile per $3$ .

Scomposizione di 1 386

\begin{array}{r|l} 1386 & 2 \\ 693 & 3 \\ 231 & 3 \\ 77 & 7 \\ 11 & 11 \\ 1 & \end{array}

Il numero $1\,386$ è pari, quindi si divide per $2$ e si ottiene $693$ . La somma delle cifre di $693$ è $18$ , quindi $693$ è divisibile per $3$ e $693 : 3 = 231$ . Anche $231$ ha somma delle cifre multipla di $3$ , cioè $6$ , e $231 : 3 = 77$ . Infine $77 = 7 \cdot 11$ , perciò $1\,386 = 2 \cdot 3^2 \cdot 7 \cdot 11$ .

Massimo comune divisore

Un divisore comune di due o più numeri è un numero che li divide tutti. Il massimo comune divisore di due o più numeri è il più grande dei loro divisori comuni. Il massimo comune divisore di $a$ e $b$ si indica con $\operatorname{MCD}(a, b)$ .

Per esempio i divisori di $12$ sono $1, 2, 3, 4, 6, 12$ e i divisori di $18$ sono $1, 2, 3, 6, 9, 18$ . I divisori comuni sono $1, 2, 3, 6$ , quindi $\operatorname{MCD}(12, 18) = 6$ . Il massimo comune divisore serve quando si dividono quantità diverse in parti uguali, le più grandi possibili.

Calcolo del MCD con la scomposizione

Il massimo comune divisore di due o più numeri è il prodotto dei soli fattori primi comuni a tutte le scomposizioni, ciascuno preso con l’esponente minore.

Per esempio $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$ e $84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$ . I fattori comuni sono $2$ e $3$ ; il $2$ compare con esponente $2$ in entrambi e il $3$ con esponente $1$ . Quindi

\operatorname{MCD}(60, 84) = 2^2 \cdot 3 = 12 .

Con i numeri grandi questo metodo evita di scrivere gli elenchi completi dei divisori.

Dimostrazione

Un divisore di $60$ si ottiene moltiplicando alcuni dei fattori primi di $60$ . Per esempio $10 = 2 \cdot 5$ e $12 = 2^2 \cdot 3$ sono divisori di $60$ . Un divisore di $60$ quindi contiene solo i fattori $2$ , $3$ e $5$ , con il $2$ al più due volte. Un divisore comune di $60$ e di $84$ può contenere soltanto i fattori presenti in entrambe le scomposizioni, cioè $2$ e $3$ , e ciascuno non più volte di quante compare nel numero che ne ha meno. Il più grande si ottiene prendendo tutti questi fattori, cioè $2^2 \cdot 3 = 12$ .

MCD di tre numeri

Si calcola $\operatorname{MCD}(90, 150, 210)$ . Le scomposizioni sono

90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5, \qquad 150 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2, \qquad 210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 .

I fattori comuni a tutti e tre sono $2$ , $3$ e $5$ . Il $7$ compare solo in $210$ , quindi non entra nel MCD. L’esponente minore del $3$ è $1$ , perché $3$ compare con esponente $1$ in $150$ e in $210$ ; per lo stesso motivo anche il $5$ si prende con esponente $1$ . Perciò $\operatorname{MCD}(90, 150, 210) = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$ .

Minimo comune multiplo

Un multiplo comune di due o più numeri è un numero che è multiplo di tutti. Il minimo comune multiplo di due o più numeri diversi da $0$ è il più piccolo dei loro multipli comuni diversi da $0$ . Il minimo comune multiplo di $a$ e $b$ si indica con $\operatorname{mcm}(a, b)$ .

Per esempio i multipli di $4$ sono $0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, \dots$ e i multipli di $6$ sono $0, 6, 12, 18, 24, \dots$ . I multipli comuni diversi da $0$ sono $12, 24, 36, \dots$ , quindi $\operatorname{mcm}(4, 6) = 12$ . Si esclude lo $0$ perché è multiplo di ogni numero. I multipli comuni trovati sono proprio i multipli di $12$ , e in generale i multipli comuni di due o più numeri sono i multipli del loro minimo comune multiplo. Il minimo comune multiplo serve per gli eventi che si ripetono a intervalli regolari e per sommare le frazioni, come si vede nell’argomento sulle frazioni.

I multipli di

4

(sopra) e i multipli di

6

(sotto): i primi multipli comuni diversi da

0

sono

12

24

, e il più piccolo è

mcm (4, 6) = 12

1. Calcolo del mcm con la scomposizione

Il minimo comune multiplo di due o più numeri è il prodotto di tutti i fattori primi delle scomposizioni, comuni e non comuni, ciascuno preso una sola volta con l’esponente maggiore.

Con $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$ e $84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$ i fattori che compaiono sono $2$ , $3$ , $5$ e $7$ . Il $2$ ha esponente massimo $2$ e gli altri hanno esponente $1$ . Quindi

\operatorname{mcm}(60, 84) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 420 .

Dimostrazione

Un multiplo di $60$ deve contenere nella sua scomposizione tutti i fattori di $60$ , cioè $2^2$ , $3$ e $5$ . Un multiplo di $84$ deve contenere $2^2$ , $3$ e $7$ . Un multiplo comune deve quindi contenere $2^2$ , $3$ , $5$ e $7$ , e il più piccolo è quello che non contiene altri fattori, cioè $2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 420$ . Infatti $420 = 60 \cdot 7$ e $420 = 84 \cdot 5$ .

2. Prodotto di MCD e mcm

Per due numeri naturali $a$ e $b$ diversi da $0$ vale

\operatorname{MCD}(a, b) \cdot \operatorname{mcm}(a, b) = a \cdot b .

Per $60$ e $84$ si ha $12 \cdot 420 = 5\,040$ e anche $60 \cdot 84 = 5\,040$ . La regola vale perché ogni fattore primo compare nel MCD con l’esponente minore e nel mcm con l’esponente maggiore, quindi nel prodotto compare con la somma dei due esponenti, come nel prodotto $a \cdot b$ . Il fattore $5$ , per esempio, compare in $60$ e non in $84$ ; nel MCD non c’è e nel mcm compare una volta, come in $60 \cdot 84$ . La regola permette di controllare i calcoli, oppure di trovare il mcm dal MCD. Per esempio $\operatorname{MCD}(12, 18) = 6$ , quindi $\operatorname{mcm}(12, 18) = \dfrac{12 \cdot 18}{6} = 36$ .

Attenzione

La regola vale per due numeri. Per tre numeri il prodotto di MCD e mcm in generale è diverso dal prodotto dei numeri. Con $2$ , $4$ e $8$ si ha $\operatorname{MCD} = 2$ e $\operatorname{mcm} = 8$ , quindi $2 \cdot 8 = 16$ , mentre $2 \cdot 4 \cdot 8 = 64$ .

Numeri primi tra loro

Due numeri naturali si dicono primi tra loro se il loro massimo comune divisore è $1$ , cioè se l’unico divisore comune è $1$ .

Per esempio $8 = 2^3$ e $15 = 3 \cdot 5$ sono primi tra loro, perché le loro scomposizioni non hanno fattori comuni. Invece $14 = 2 \cdot 7$ e $21 = 3 \cdot 7$ non sono primi tra loro, perché $\operatorname{MCD}(14, 21) = 7$ . Per due numeri primi tra loro il MCD vale $1$ , quindi per la regola del prodotto di MCD e mcm si ha $\operatorname{mcm}(a, b) = a \cdot b$ . Per esempio $\operatorname{mcm}(8, 15) = 120$ .

Attenzione

Due numeri primi tra loro possono essere entrambi composti. Il numero $8$ e il numero $15$ sono composti, eppure sono primi tra loro. Due numeri primi diversi, come $5$ e $13$ , sono invece sempre primi tra loro, perché ciascuno ha come divisori solo $1$ e sé stesso.

Numeri consecutivi

Due numeri consecutivi, come $27$ e $28$ , sono sempre primi tra loro. Un divisore comune di $27$ e $28$ divide anche la loro differenza, per la proprietà della differenza di multipli, e la differenza è $28 - 27 = 1$ . Poiché l’unico divisore di $1$ è $1$ , il MCD vale $1$ . Infatti $27 = 3^3$ e $28 = 2^2 \cdot 7$ non hanno fattori comuni.

Problemi con MCD e mcm

Problemi con il MCD

Il massimo comune divisore risponde ai problemi in cui quantità diverse si dividono in parti uguali, le più grandi possibili, senza avanzi.

Un pavimento rettangolare misura $480$ cm per $360$ cm e si vuole coprire con piastrelle quadrate uguali, le più grandi possibili, senza tagliarle. Il lato della piastrella deve essere un divisore di $480$ , così che le piastrelle stiano in un numero intero lungo il lato lungo, e anche un divisore di $360$ , per il lato corto. Il lato massimo è quindi $\operatorname{MCD}(480, 360)$ . Poiché $480 = 2^5 \cdot 3 \cdot 5$ e $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$ , si ha

\operatorname{MCD}(480, 360) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 120 .

Le piastrelle hanno lato $120$ cm. Ne stanno $480 : 120 = 4$ lungo il lato lungo e $360 : 120 = 3$ lungo il lato corto, quindi servono $4 \cdot 3 = 12$ piastrelle.

Il pavimento di

480

cm per

360

cm coperto da

4 \cdot 3 = 12

piastrelle quadrate di lato

MCD (480, 360) = 120

Allo stesso modo, con $36$ penne e $48$ matite si preparano al massimo $\operatorname{MCD}(36, 48) = 12$ astucci uguali, ciascuno con $36 : 12 = 3$ penne e $48 : 12 = 4$ matite.

Problemi con il mcm

Il minimo comune multiplo risponde ai problemi in cui due o più eventi si ripetono a intervalli regolari e si chiede quando si ripresentano insieme, oppure quando si cerca la quantità più piccola che si può formare con confezioni di misure diverse.

Luca fa il turno di notte ogni $6$ giorni e Sara ogni $10$ giorni, e stanotte lavorano entrambi. I turni di Luca cadono dopo $6, 12, 18, 24, 30, \dots$ giorni, cioè nei multipli di $6$ ; quelli di Sara nei multipli di $10$ . Il primo giorno in cui lavorano di nuovo insieme è quindi il più piccolo multiplo comune. Poiché $6 = 2 \cdot 3$ e $10 = 2 \cdot 5$ , si ha $\operatorname{mcm}(6, 10) = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$ , e il prossimo turno comune è fra $30$ giorni.

Giorni dei turni di notte di Luca (ogni

6

giorni) e di Sara (ogni

10

giorni): tornano a coincidere dopo

mcm (6, 10) = 30

giorni

Il mcm è maggiore o uguale a ciascuno dei numeri dati e il MCD è minore o uguale. Questo fatto permette di controllare se il risultato di un problema ha senso.

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