Calcolo di potenze

Theory used: Potenza Sistema decimale posizionale

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Esercizio 1

Calcola le potenze $3^4$ , $2^5$ , $10^4$ , $1^9$ , $0^5$ , $6^1$ .

3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81

2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32

10^4 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10\,000

1^9 = 1 , \qquad 0^5 = 0 , \qquad 6^1 = 6

L’esponente indica quante volte la base compare come fattore. Per $3^4$ si moltiplica $3$ per sé stesso quattro volte, e i prodotti parziali sono $3 \cdot 3 = 9$ , poi $9 \cdot 3 = 27$ e $27 \cdot 3 = 81$ . Per $2^5$ i prodotti parziali sono $4$ , $8$ , $16$ e $32$ .

La potenza $10^4$ si scrive con la cifra $1$ seguita da quattro zeri, perché ogni fattore $10$ aggiunge uno zero. La potenza $1^9$ vale $1$ , perché un prodotto di fattori tutti uguali a $1$ vale $1$ . La potenza $0^5$ vale $0$ , perché un prodotto con un fattore $0$ vale $0$ . Infine $6^1 = 6$ , perché per definizione una potenza con esponente $1$ è uguale alla base.

Esercizio 2

Scrivi come potenza e calcola: $7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7$ e $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

\begin{aligned} 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 &= 7^4 \\[6pt] &= 49 \cdot 49 \\[6pt] &= 2\,401 \end{aligned}

\begin{aligned} 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 &= 2^6 \\[6pt] &= 8 \cdot 8 \\[6pt] &= 64 \end{aligned}

Nel primo prodotto il fattore $7$ compare quattro volte, quindi la base è $7$ e l’esponente è $4$ , cioè il prodotto è $7^4$ . Per calcolarlo si raggruppano i fattori a due a due, per la proprietà associativa. Ogni coppia dà $7 \cdot 7 = 49$ . Per la proprietà distributiva $49 \cdot 49 = 49 \cdot (50 - 1) = 49 \cdot 50 - 49$ . Poiché $49 \cdot 100 = 4\,900$ e $50$ è la metà di $100$ , si ha $49 \cdot 50 = 2\,450$ , quindi $49 \cdot 49 = 2\,450 - 49 = 2\,401$ .

Nel secondo prodotto il fattore $2$ compare sei volte, quindi il prodotto è $2^6$ . Raggruppando i fattori a tre a tre si ha $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ per ciascun gruppo, perciò $2^6 = 8 \cdot 8 = 64$ .

Esercizio 3

Stabilisci quale numero è maggiore: $2^5$ oppure $5^2$ ; $4^3$ oppure $3^4$ .

2^5 = 32 , \qquad 5^2 = 25 \qquad \Longrightarrow \qquad 2^5 > 5^2

4^3 = 64 , \qquad 3^4 = 81 \qquad \Longrightarrow \qquad 4^3 < 3^4

Per confrontare due potenze si calcolano i loro valori. Si ha $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$ e $5^2 = 5 \cdot 5 = 25$ . Poiché $32 > 25$ , la potenza $2^5$ è maggiore di $5^2$ , anche se le due potenze usano gli stessi numeri $2$ e $5$ scambiati tra base ed esponente.

Allo stesso modo $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$ e $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$ . Poiché $64 < 81$ , questa volta è maggiore la potenza $3^4$ . Scambiare la base con l’esponente cambia quindi il valore della potenza, e per stabilire quale delle due potenze è maggiore se ne calcolano i valori.

Esercizio 4

Scrivi il numero $30\,708$ usando le potenze di $10$ .

\begin{aligned} 30\,708 &= 30\,000 + 700 + 8 \\[6pt] &= 3 \cdot 10\,000 + 7 \cdot 100 + 8 \\[6pt] &= 3 \cdot 10^4 + 7 \cdot 10^2 + 8 \end{aligned}

Partendo da destra, la cifra $8$ è al posto delle unità, la cifra $0$ è al posto delle decine, la cifra $7$ è al posto delle centinaia, la cifra $0$ è al posto delle migliaia e la cifra $3$ è al posto delle decine di migliaia. Le cifre $0$ non danno alcun contributo, quindi $30\,708 = 30\,000 + 700 + 8$ .

Poi si scrive ogni valore come cifra per una potenza di $10$ . Poiché $10\,000 = 10^4$ e $100 = 10^2$ , si ottiene $30\,708 = 3 \cdot 10^4 + 7 \cdot 10^2 + 8$ . L’esponente di ogni potenza di $10$ è il numero di cifre che stanno a destra della cifra considerata.