Factoring and algebraic fractions

Scomponi in fattori il polinomio

$$10x^4-5x^3+15x^2.$$

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$5x^2(2x^2-x+3)$.

Scomponi in fattori il polinomio

$$x^3+4x^2+3x+12.$$

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$(x+4)(x^2+3)$; il fattore $x^2+3$ è irriducibile.

Scomponi in fattori il binomio

$$9x^2-49.$$

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$(3x+7)(3x-7)$.

Scomponi in fattori il trinomio

$$9x^2+30x+25.$$

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$(3x+5{)}^2$.

Scomponi in fattori il trinomio

$$x^2-2x-15.$$

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$(x+3)(x-5)$.

Scomponi in fattori il binomio

$$x^3+64.$$

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$(x+4)(x^2-4x+16)$; il falso quadrato $x^2-4x+16$ è irriducibile.

Scomponi in fattori il polinomio

$$3x^3-12x.$$

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$3x(x+2)(x-2)$.

Calcola il MCD e il mcm dei polinomi $x^2-1$ e $x^2+2x+1$.

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$\mathrm{MCD}=x+1$ e $\mathrm{mcm}=(x-1)(x+1{)}^2$.

Scrivi le condizioni di esistenza e semplifica la frazione

$$\frac{x^2-4}{x^2-2x}.$$

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Per $x\ne 0$ e $x\ne 2$ la frazione è uguale a $\frac{x+2}{x}$.

Scrivi le condizioni di esistenza e calcola

$$\frac{3}{x+2}-\frac{1}{x-2}.$$

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Per $x\ne -2$ e $x\ne 2$ il risultato è $\frac{2(x-4)}{(x+2)(x-2)}$.

Il pavimento di una stanza è un quadrato di lato $65\mathrm{dm}$. Al centro c’è un tappeto quadrato di lato $35\mathrm{dm}$. Calcola con la differenza di quadrati l’area del pavimento che resta scoperta.

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$65^2-35^2=100\cdot 30=3000\mathrm{d}{\mathrm{m}}^2$.

Un’aiuola quadrata ha area $x^2+8x+16$, in ${\mathrm{m}}^2$, con $x>0$. Scrivi la misura del lato e calcola il perimetro dell’aiuola per $x=6$.

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Il lato misura $x+4$; per $x=6$ il lato è $10\mathrm{m}$ e il perimetro è $40\mathrm{m}$.

Un rettangolo ha area $x^2+2x-15$, in $\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$, e un lato che misura $x-3$, in $\mathrm{cm}$, con $x>3$. Trova la misura dell’altro lato e calcola il perimetro per $x=7$.

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L’altro lato misura $x+5$; per $x=7$ i lati sono $4\mathrm{cm}$ e $12\mathrm{cm}$ e il perimetro è $32\mathrm{cm}$.

Una spesa di $300$ euro si divide in parti uguali tra $x$ amici, con $x$ numero naturale maggiore di zero. Scrivi come una sola frazione algebrica la differenza tra la quota di ciascuno con $x$ amici e la quota di ciascuno con $x+5$ amici, e calcolala per $x=20$.

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La differenza è $\frac{300}{x}-\frac{300}{x+5}=\frac{1500}{x(x+5)}$ euro; per $x=20$ vale $3$ euro.