Calcoli con le proprietà delle operazioni

Theory used: Proprietà commutativa Proprietà associativa Proprietà distributiva Elemento neutro

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Esercizio 1

Calcola $36 + 58 + 64 + 42$ raggruppando gli addendi in modo comodo.

\begin{aligned} 36 + 58 + 64 + 42 &= (36 + 64) + (58 + 42) \\[6pt] &= 100 + 100 \\[6pt] &= 200 \end{aligned}

Le unità di $36$ e di $64$ danno $6 + 4 = 10$ , e lo stesso accade per $58$ e $42$ , perché $8 + 2 = 10$ . Ciascuna coppia dà quindi una somma che termina con $0$ , e si sommano per prime. Per la proprietà commutativa si scambia l’ordine di $58$ e $64$ , e per la proprietà associativa si raggruppano gli addendi a due a due.

Si ottiene $36 + 64 = 100$ e $58 + 42 = 100$ , perciò la somma è $100 + 100 = 200$ .

Esercizio 2

Calcola $4 \cdot 13 \cdot 25$ e $5 \cdot 17 \cdot 2 \cdot 3$ .

\begin{aligned} 4 \cdot 13 \cdot 25 &= 13 \cdot (4 \cdot 25) \\[6pt] &= 13 \cdot 100 \\[6pt] &= 1\,300 \end{aligned}

\begin{aligned} 5 \cdot 17 \cdot 2 \cdot 3 &= (5 \cdot 2) \cdot (17 \cdot 3) \\[6pt] &= 10 \cdot 51 \\[6pt] &= 510 \end{aligned}

Nel primo prodotto i fattori $4$ e $25$ danno $100$ , e moltiplicare per $100$ è immediato. Per la proprietà commutativa si porta $13$ al primo posto, e per la proprietà associativa si calcola per primo $4 \cdot 25 = 100$ . Il prodotto è quindi $13 \cdot 100 = 1\,300$ .

Nel secondo prodotto i fattori $5$ e $2$ danno $10$ . Per le proprietà commutativa e associativa si raggruppano $5$ con $2$ e $17$ con $3$ . Si ha $5 \cdot 2 = 10$ e $17 \cdot 3 = 51$ , perciò il prodotto è $10 \cdot 51 = 510$ .

Esercizio 3

Calcola a mente, con la proprietà distributiva, $15 \cdot 21$ e $8 \cdot 99$ .

\begin{aligned} 15 \cdot 21 &= 15 \cdot (20 + 1) \\[6pt] &= 15 \cdot 20 + 15 \cdot 1 \\[6pt] &= 300 + 15 = 315 \end{aligned}

\begin{aligned} 8 \cdot 99 &= 8 \cdot (100 - 1) \\[6pt] &= 8 \cdot 100 - 8 \cdot 1 \\[6pt] &= 800 - 8 = 792 \end{aligned}

Il fattore $21$ si scrive come $20 + 1$ . Per la proprietà distributiva il prodotto di $15$ per la somma $20 + 1$ è la somma dei prodotti $15 \cdot 20$ e $15 \cdot 1$ . Si ha $15 \cdot 20 = 300$ , perché $15 \cdot 2 = 30$ e poi si moltiplica per $10$ ; inoltre $15 \cdot 1 = 15$ , perché $1$ è l’elemento neutro della moltiplicazione. Quindi $15 \cdot 21 = 315$ .

Il fattore $99$ si scrive come $100 - 1$ , e la proprietà distributiva vale anche per la differenza. Si ha $8 \cdot 100 = 800$ e $8 \cdot 1 = 8$ , perciò $8 \cdot 99 = 800 - 8 = 792$ .

Esercizio 4

Calcola raccogliendo il fattore comune: $23 \cdot 7 + 23 \cdot 3$ e $45 \cdot 12 - 45 \cdot 2$ .

\begin{aligned} 23 \cdot 7 + 23 \cdot 3 &= 23 \cdot (7 + 3) \\[6pt] &= 23 \cdot 10 = 230 \end{aligned}

\begin{aligned} 45 \cdot 12 - 45 \cdot 2 &= 45 \cdot (12 - 2) \\[6pt] &= 45 \cdot 10 = 450 \end{aligned}

Nella prima espressione i due prodotti hanno il fattore $23$ in comune. La proprietà distributiva, letta da destra a sinistra, permette di raccogliere questo fattore, quindi $23 \cdot 7 + 23 \cdot 3$ è uguale a $23$ per la somma $7 + 3$ . Poiché $7 + 3 = 10$ , il valore è $23 \cdot 10 = 230$ .

Nella seconda espressione il fattore comune è $45$ e tra i due prodotti c’è una sottrazione. Raccogliendo $45$ si ottiene $45 \cdot (12 - 2) = 45 \cdot 10 = 450$ . Senza raccoglimento il conto sarebbe stato $540 - 90 = 450$ , perché $45 \cdot 12 = 540$ e $45 \cdot 2 = 90$ , con lo stesso risultato e moltiplicazioni più lunghe.