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Theory
Equazioni di primo grado e problemi
Che cos'è un'equazione e come si controlla una soluzione, come si risolvono con i principi di equivalenza le equazioni di primo grado intere, con le frazioni e fratte, quando un'equazione è impossibile o indeterminata, come si ricavano le formule inverse e come si risolve un problema con un'equazione.
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Uguaglianze ed equazioni
1. Uguaglianza e identità
Un’uguaglianza è una scrittura formata da due espressioni separate dal segno . L’espressione a sinistra del segno si chiama primo membro, quella a destra si chiama secondo membro. Un’uguaglianza tra numeri può essere vera o falsa. Per esempio è vera, mentre è falsa, perché .
Un’uguaglianza tra espressioni con le lettere che è vera per ogni valore delle lettere si chiama identità. In parole semplici, un’identità resta vera qualunque numero si metta al posto delle lettere. Per esempio è un’identità, per la proprietà distributiva. Con i due membri valgono entrambi , e con valgono entrambi .
2. Equazione
Un’equazione è un’uguaglianza tra due espressioni in cui compare un numero sconosciuto. Il numero sconosciuto si chiama incognita e si indica di solito con la lettera . In parole semplici, un’equazione è un’uguaglianza in cui si cerca quale numero mettere al posto di perché l’uguaglianza sia vera.
Nell’equazione il primo membro è e il secondo membro è . Con il primo membro vale , quindi l’uguaglianza è falsa. Con il primo membro vale , quindi l’uguaglianza è vera.
3. Soluzione e verifica
Una soluzione di un’equazione è un numero che, messo al posto dell’incognita, rende vera l’uguaglianza. Risolvere un’equazione vuol dire trovare tutte le sue soluzioni. Il controllo di una soluzione si chiama verifica. Si sostituisce il numero in entrambi i membri, si calcolano i due valori e si controlla che siano uguali.
Per l’equazione il numero è una soluzione, perché . Il numero non è una soluzione, perché e è diverso da . La verifica serve a controllare il risultato alla fine di ogni esercizio.
Verifica con l'incognita in entrambi i membri
Si controlla se è soluzione dell’equazione . Il primo membro vale . Il secondo membro vale . I due valori sono uguali, quindi è una soluzione.
Con il primo membro vale e il secondo vale . I due valori sono diversi, perciò non è una soluzione.
Principi di equivalenza
1. Equazioni equivalenti
Due equazioni sono equivalenti se hanno le stesse soluzioni. Per esempio e sono equivalenti, perché entrambe hanno come unica soluzione il numero .
Per risolvere un’equazione la si trasforma in equazioni equivalenti sempre più semplici. Si arriva così a una scrittura come , in cui la soluzione si legge subito. Le trasformazioni permesse sono descritte dai due principi di equivalenza.
L'immagine della bilancia
Un’equazione si può pensare come una bilancia a due piatti in equilibrio. Sul piatto di sinistra c’è il primo membro, su quello di destra c’è il secondo, e l’equilibrio corrisponde al segno . Nell’equazione ogni scatola pesa chilogrammi e ogni quadratino pesa kg.
La bilancia resta in equilibrio se si fa la stessa cosa su entrambi i piatti. Si possono togliere pesi da kg a sinistra e a destra. Sul piatto di sinistra restano le due scatole e su quello di destra restano kg, quindi l’equazione diventa .
Ora si può dimezzare il contenuto di entrambi i piatti. A sinistra resta una scatola e a destra restano kg, perciò ogni scatola pesa kg e la soluzione è .
2. Primo principio di equivalenza
Se si aggiunge o si toglie lo stesso numero, oppure la stessa espressione con la , a entrambi i membri di un’equazione, si ottiene un’equazione equivalente.
Il principio serve a far sparire un numero da un membro. Nell’equazione si aggiunge a entrambi i membri, e si ottiene , cioè .
Dimostrazione
Si ragiona sull’equazione e sulla sua soluzione . Con i due membri sono lo stesso numero, perché . Aggiungendo a due numeri uguali si ottengono ancora due numeri uguali, quindi è anche soluzione di . Il ragionamento vale per qualunque soluzione e per qualunque numero aggiunto.
Si può anche tornare indietro, perché togliendo dai due membri della nuova equazione si ritrova quella di partenza. Perciò anche ogni soluzione della nuova equazione è soluzione di quella di partenza, e le due equazioni sono equivalenti.
3. Regola del trasporto
In un’equazione un termine si può spostare da un membro all’altro cambiandogli il segno. In parole semplici, un termine che passa dall’altra parte del segno cambia segno.
La regola viene dal primo principio. Nell’equazione si aggiunge a entrambi i membri e si toglie a entrambi i membri:
Il termine è sparito dal primo membro ed è comparso come nel secondo. Il termine è sparito dal secondo membro ed è comparso come nel primo. Con la regola si scrive subito la seconda riga, senza passare dalla prima.
4. Secondo principio di equivalenza
Se si moltiplicano o si dividono entrambi i membri di un’equazione per lo stesso numero diverso da zero, si ottiene un’equazione equivalente.
Il principio vale perché due numeri uguali, moltiplicati per lo stesso numero, danno ancora due numeri uguali; dividendo poi per quel numero si torna all’equazione di partenza. Serve a eliminare il numero che moltiplica la . Dall’equazione , dividendo entrambi i membri per , si ottiene .
Quattro equazioni risolte con i principi
- Nell’equazione si toglie da entrambi i membri, quindi .
- Nell’equazione si dividono entrambi i membri per , quindi .
- Nell’equazione si moltiplicano entrambi i membri per , quindi .
- Nell’equazione si dividono entrambi i membri per , quindi . La verifica dà , per la regola dei segni.
Attenzione
Moltiplicare entrambi i membri per zero non dà un’equazione equivalente. L’equazione ha come unica soluzione il numero . Moltiplicando per si ottiene , cioè , che è vera per ogni . Per esempio è soluzione della nuova equazione e non di quella di partenza.
Equazioni intere di primo grado
1. Equazione intera di primo grado
Un’equazione si dice intera se l’incognita non compare in nessun denominatore. Un’equazione intera è di primo grado se, svolti i calcoli, si può scrivere nella forma
dove e sono numeri. In parole semplici, dopo i calcoli la compare solo con esponente .
Per esempio è un’equazione intera di primo grado. L’equazione contiene , ma è anch’essa di primo grado, perché il termine compare in entrambi i membri e con il primo principio si toglie. L’equazione invece non è intera, perché la sta al denominatore.
2. Risoluzione di un'equazione intera
Un’equazione intera di primo grado si risolve in quattro passaggi.
- Si svolgono i prodotti, con la proprietà distributiva e i prodotti notevoli.
- Con la regola del trasporto si portano i termini con la al primo membro e i numeri al secondo.
- Si sommano i termini simili e si arriva alla forma .
- Se , si dividono entrambi i membri per con il secondo principio, e si ottiene .
Per esempio, per l’equazione si ha
La verifica dà e , quindi l’equazione ha soluzione .
Equazione con i prodotti
Si risolve . Con la proprietà distributiva si svolgono i prodotti, poi si trasportano i termini:
La verifica dà al primo membro e al secondo, quindi l’equazione ha soluzione .
Equazione con un prodotto notevole
Si risolve . Il quadrato di un binomio è , come si è visto nell’argomento sui monomi e polinomi. Quindi
Nel secondo passaggio il termine è stato tolto da entrambi i membri con il primo principio. La verifica dà e .
Soluzione negativa o frazionaria
La soluzione può essere un numero negativo o una frazione. Si risolve :
Il quoziente di due numeri negativi è positivo, per la regola dei segni. La verifica dà e .
Attenzione
Un segno meno davanti a un’espressione cambia il segno di ogni termine dell’espressione. Nell’equazione si ha , quindi , cioè e . Chi scrive trova , che non supera la verifica, perché mentre .
Le soluzioni viste su un grafico
Ogni membro di un’equazione di primo grado, come oppure , si può disegnare come una retta, nel modo descritto nell’argomento sul piano cartesiano e la retta. La soluzione è il valore di in cui le due rette si incontrano, perché in quel punto i due membri hanno lo stesso valore.
Equazioni con le frazioni
Eliminazione dei denominatori
Se in un’equazione intera compaiono frazioni con denominatori numerici, si moltiplicano tutti i termini di entrambi i membri per il minimo comune multiplo dei denominatori. Il minimo comune multiplo è diverso da zero, quindi per il secondo principio l’equazione ottenuta è equivalente a quella di partenza, e non contiene più frazioni.
Per esempio, nell’equazione
il minimo comune multiplo dei denominatori è . Poiché e , si ottiene
La verifica dà .
Numeratori con più termini
Si risolve
Il minimo comune multiplo dei denominatori è . Moltiplicando per , il primo termine diventa e il secondo diventa . Il moltiplica entrambi i termini del numeratore . Il segno meno davanti alla frazione cambia poi il segno di entrambi i termini:
L’ultimo passaggio si ottiene moltiplicando entrambi i membri per . La verifica dà .
Attenzione
Il minimo comune multiplo moltiplica anche i termini senza denominatore. Nell’equazione chi scrive trova . La verifica mostra l’errore, perché , che è diverso da .
Equazioni determinate, impossibili e indeterminate
Svolti i calcoli, un’equazione di primo grado assume la forma . Si presentano tre casi.
- Se , l’equazione è determinata. Ha una sola soluzione, .
- Se e , l’equazione è impossibile. Si ha , e il primo membro vale per ogni , quindi non è mai uguale a . L’equazione non ha soluzioni.
- Se e , l’equazione è indeterminata. Si ha , che è vera per ogni , quindi ogni numero è soluzione. In questo caso l’equazione di partenza è un’identità.
Per esempio è determinata e ha soluzione , l’equazione è impossibile e l’equazione è indeterminata.
Un'equazione impossibile
Si risolve :
L’equazione è impossibile. Con il primo membro vale e il secondo vale ; con valgono e . Il primo membro supera sempre il secondo di .
Un'equazione indeterminata
Si risolve :
L’equazione è indeterminata, e ogni numero è soluzione. Con i due membri valgono entrambi , e con valgono entrambi .
Attenzione
Un’equazione con soluzione è determinata. Nell’equazione si ottiene , quindi . La verifica dà . L’equazione ha la soluzione , mentre un’equazione impossibile non ha alcuna soluzione.
Equazioni fratte
1. Equazione fratta
Un’equazione si dice fratta se l’incognita compare in almeno un denominatore. Per esempio
è un’equazione fratta. Una frazione con lo zero al denominatore non ha significato. Perciò, come si è visto nell’argomento sulla scomposizione in fattori, si scrivono le condizioni di esistenza, cioè le condizioni che rendono diversi da zero tutti i denominatori. In parole semplici, le condizioni di esistenza dicono quali numeri si possono mettere al posto di .
2. Risoluzione di un'equazione fratta
Un’equazione fratta si risolve in quattro passaggi.
- Si scrivono le condizioni di esistenza.
- Si moltiplicano entrambi i membri per il minimo comune multiplo dei denominatori, che con le condizioni di esistenza è diverso da zero. Si ottiene un’equazione intera.
- Si risolve l’equazione intera.
- Si confronta la soluzione con le condizioni di esistenza. Una soluzione che rende nullo un denominatore si scarta, cioè non è accettabile.
Per l’equazione i denominatori sono e , e devono essere diversi da zero insieme:
Moltiplicando entrambi i membri per si ottiene
Il numero è diverso da e da , quindi è accettabile. La verifica dà e .
Attenzione
La soluzione dell’equazione intera può essere un valore escluso. Nell’equazione la condizione di esistenza è . Moltiplicando per si ottiene , che è proprio il valore escluso. Messo nell’equazione di partenza, il numero dà , che non ha significato. Perciò la soluzione si scarta e l’equazione fratta è impossibile.
Un denominatore da scomporre
Si risolve
Per la differenza di quadrati , quindi il minimo comune multiplo dei denominatori è . Questo prodotto vale zero se vale zero uno dei due fattori, perciò le condizioni di esistenza sono
Moltiplicando entrambi i membri per , il primo termine diventa , il secondo diventa e il secondo membro diventa :
Il numero soddisfa le condizioni di esistenza, quindi è accettabile. La verifica dà e .
Formule inverse
Formula inversa
Una formula è un’uguaglianza che lega tra loro alcune grandezze. Per esempio la velocità media di un viaggio è lo spazio percorso diviso per il tempo impiegato :
Quando si conoscono tutte le grandezze tranne una, quella sconosciuta si tratta come un’incognita e si ricava con i principi di equivalenza. La formula che si ottiene si chiama formula inversa. In parole semplici, una formula inversa dà direttamente la grandezza cercata.
Si moltiplicano entrambi i membri per , che è diverso da zero, e si ottiene . Poi si dividono entrambi i membri per , con , e si ottiene
Un treno percorre km alla velocità media di km/h. Il tempo impiegato è ore, cioè ore e minuti.
Altezza di un rettangolo
L’area di un rettangolo di base e altezza è . Dividendo entrambi i membri per , che è diverso da zero, si ottiene la formula inversa . Un rettangolo con area cm² e base cm ha quindi altezza cm.
Una formula con una quota fissa
Un taxi costa euro alla partenza più euro per ogni chilometro. Il costo di una corsa di chilometri è . Per ricavare si toglie da entrambi i membri e si ottiene . Poi si dividono entrambi i membri per :
Una corsa pagata euro è quindi lunga km. La verifica dà .
Dal testo all’equazione
Come si imposta un problema
Molti problemi della vita quotidiana si risolvono con un’equazione di primo grado. Il procedimento ha cinque passaggi.
- Si sceglie l’incognita. Di solito è la quantità richiesta, oppure una quantità da cui le altre si ricavano subito. Si scrive che cosa indica e con quale unità di misura.
- Si scrivono le altre quantità del testo usando .
- Si traduce in un’equazione la frase che lega le quantità.
- Si risolve l’equazione.
- Si controlla che la soluzione abbia senso nel problema e si scrive la risposta con una frase. Un numero di persone o di oggetti è un numero naturale, un’età è positiva, un prezzo e una lunghezza sono positivi.
Per esempio, se il triplo di un numero aumentato di dà , si indica con il numero e si scrive . Quindi e . La verifica dà .
Dalle parole ai simboli
Alcune espressioni ricorrono spesso nei testi dei problemi.
- Il doppio, il triplo e la metà di un numero sono , e .
- Un numero aumentato di è , un numero diminuito di è .
- La frase “Anna ha anni più di Bruno” diventa , e la frase “Anna ha il triplo degli anni di Bruno” diventa .
- Il di un numero è , come si è visto nell’argomento sui decimali e le percentuali.
Numeri consecutivi
Due numeri naturali si dicono consecutivi se il secondo è il primo aumentato di , come e . Tre numeri consecutivi si scrivono quindi , e .
Si cercano tre numeri consecutivi con somma . L’equazione è
I numeri sono , e , e infatti . Con somma si otterrebbe , quindi , che non è un numero naturale. Perciò nessuna terna di numeri naturali consecutivi ha somma .
Problemi di età, prezzi e percorsi
Problemi sulle età
Un padre ha anni e il figlio ne ha . Si cerca fra quanti anni il padre avrà il triplo dell’età del figlio. Si indica con il numero di anni. Fra anni il padre avrà anni e il figlio , perché le due età aumentano dello stesso numero. L’equazione è
Fra anni il padre avrà anni e il figlio , e infatti .
Problemi con i prezzi
Un gruppo compra biglietti per il cinema e spende euro. Un biglietto intero costa euro e un biglietto ridotto costa euro. Si indica con il numero dei biglietti interi, quindi i ridotti sono . La spesa per ogni tipo di biglietto è il numero dei biglietti per il prezzo di uno, perciò
Il numero è un numero naturale compreso tra e , quindi la soluzione ha senso. I biglietti interi sono e i ridotti sono ; infatti . Scegliendo come incognita il numero dei ridotti si ottiene un’equazione diversa con la stessa risposta.
Con lo stesso metodo si risolvono i problemi sugli sconti. Un paio di scarpe scontato del costa euro. Se è il prezzo di partenza, lo sconto è e il prezzo scontato è . Dall’equazione si ottiene euro.
Problemi sui percorsi
Due paesi A e B distano km. Anna parte a piedi da A verso B a km/h e, nello stesso momento, Bruno parte in bicicletta da B verso A a km/h. Si cerca dopo quanto tempo si incontrano. Si indica con il tempo in ore. Per la formula , in ore Anna percorre km e Bruno km. Quando si incontrano, la somma dei due tratti percorsi è uguale alla distanza tra i paesi, quindi
Si incontrano dopo di ora, cioè dopo minuti. Anna ha percorso km e Bruno km, e infatti .