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Theory

Monomi, polinomi e prodotti notevoli

Come si usano le lettere al posto dei numeri, che cosa sono monomi e polinomi, come si sommano, si moltiplicano e si dividono, e quali sono i prodotti notevoli, con il loro significato come somme di aree.

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Lettere al posto dei numeri
Monomi
Operazioni con i monomi
Polinomi
Somma e prodotto di polinomi
Quadrato di un binomio e somma per differenza
Quadrato di un trinomio e cubo di un binomio
Divisione di un polinomio per un monomio

Lettere al posto dei numeri

1. Espressione letterale

Un’espressione letterale è un’espressione in cui alcuni numeri sono indicati con lettere, per esempio $2a + 2b$ oppure $x^2 - 3x$ . In altre parole, ogni lettera tiene il posto di un numero che non si è ancora scelto. Il calcolo con le espressioni letterali si chiama calcolo letterale.

Un rettangolo con i lati lunghi $a$ e $b$ ha due lati lunghi $a$ e due lati lunghi $b$ . Il suo perimetro è quindi $2p = 2a + 2b$ , e questa formula vale per ogni rettangolo. Con le lettere si scrive una volta sola un calcolo che si ripete con numeri diversi.

Un rettangolo di lati

a

b

ha perimetro

2 p = 2 a + 2 b

; con

a = 5

cm e

b = 3

cm il perimetro è

2 p = 16

2. Valore di un'espressione letterale

Quando al posto di ogni lettera si mette un numero, l’espressione letterale diventa un’espressione numerica. Il suo risultato si chiama valore dell’espressione per quei numeri. Nel perimetro del rettangolo, con $a = 5$ cm e $b = 3$ cm, si ottiene

2p = 2 \cdot 5 + 2 \cdot 3 = 10 + 6 = 16 \text{ cm} .

Tra un numero e una lettera, e tra due lettere, il segno di moltiplicazione di solito non si scrive. Quindi $2a$ indica $2 \cdot a$ e $ab$ indica $a \cdot b$ . Quando si sostituiscono i numeri, il punto $\cdot$ si scrive di nuovo.

Valore con un numero negativo

Si calcola il valore di $3x^2 - x$ per $x = -2$ . Al posto di $x$ si scrive $(-2)$ , così il segno meno resta dentro la potenza:

\begin{aligned} 3 \cdot (-2)^2 - (-2) &= 3 \cdot 4 + 2 \\[6pt] &= 12 + 2 = 14 . \end{aligned}

La potenza si calcola prima della moltiplicazione, come nell’ordine delle operazioni. Il quadrato $(-2)^2$ vale $4$ , perché il prodotto di due numeri negativi è positivo, e $-(-2)$ vale $+2$ , perché l’opposto di $-2$ è $2$ .

Attenzione

Per $x = -2$ il valore di $x^2$ è $(-2)^2 = 4$ . La scrittura $-2^2$ indica invece un altro numero, che vale $-4$ , perché la potenza si calcola prima del segno meno.

Lettere al denominatore

Una divisione per zero non ha significato. Perciò, quando una lettera compare al denominatore di una frazione, si escludono i valori che rendono nullo il denominatore. Per $\dfrac{5}{x - 3}$ si richiede $x - 3 \neq 0$ , cioè $x \neq 3$ . Per $x = 4$ l’espressione vale $\dfrac{5}{4 - 3} = \dfrac{5}{1} = 5$ , mentre per $x = 3$ l’espressione non ha valore.

Monomi

1. Monomio

Un monomio è un’espressione letterale formata soltanto da moltiplicazioni tra numeri e lettere, in cui le lettere hanno per esponente numeri naturali. Sono monomi $5x$ , $-3a^2b$ e $\dfrac{1}{2}xy^3$ . In altre parole, in un monomio compaiono solo prodotti e potenze delle lettere, senza somme, sottrazioni o lettere al denominatore. Per questo motivo $x + y$ e $\dfrac{3}{x}$ sono espressioni letterali che non sono monomi.

I polinomi, che si studiano dopo i monomi, sono somme di monomi. Il monomio $4a$ , per esempio, è il perimetro di un quadrato di lato $a$ , e per $a = 6$ cm vale $24$ cm.

2. Forma normale, coefficiente e parte letterale

Un monomio è in forma normale quando contiene un solo numero, scritto davanti, e ogni lettera compare una volta sola. Il numero si chiama coefficiente e il prodotto delle lettere si chiama parte letterale. Per esempio il monomio $2a \cdot 3ab$ in forma normale è $6a^2b$ , perché $2 \cdot 3 = 6$ e $a \cdot a = a^2$ . Il coefficiente di $6a^2b$ è $6$ e la parte letterale è $a^2b$ .

Il monomio $x$ ha coefficiente $1$ e il monomio $-x$ ha coefficiente $-1$ . Un numero da solo, come $7$ , è un monomio senza parte letterale. Un monomio con coefficiente $0$ vale $0$ per ogni valore delle lettere e si chiama monomio nullo.

3. Grado di un monomio

Il grado di un monomio rispetto a una lettera è l’esponente di quella lettera. Il grado del monomio, detto anche grado complessivo, è la somma degli esponenti di tutte le sue lettere. In altre parole, il grado è il numero delle lettere che si moltiplicano nel monomio, contate con le ripetizioni. Per $4x^3y^2$ :

il grado rispetto a $x$ è $3$ ;
il grado rispetto a $y$ è $2$ ;
il grado complessivo è $3 + 2 = 5$ , perché $x^3y^2 = x \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y$ contiene cinque lettere.

Una lettera scritta senza esponente ha esponente $1$ , quindi $7ab$ ha grado $2$ . Un numero diverso da zero, come $9$ , è un monomio di grado $0$ . Il grado serve a ordinare i termini di un polinomio e a distinguere i tipi di equazione, come si vede nell’argomento sulle equazioni di primo grado.

4. Monomi simili

Due monomi in forma normale sono simili se hanno la stessa parte letterale. I monomi $3x^2y$ , $-x^2y$ e $\dfrac{2}{5}x^2y$ sono simili, perché la parte letterale è sempre $x^2y$ . I monomi $3x^2y$ e $3xy^2$ hanno lo stesso coefficiente e lo stesso grado, eppure non sono simili, perché nel primo è al quadrato la lettera $x$ e nel secondo la lettera $y$ .

Due monomi simili si dicono opposti se hanno coefficienti opposti, come $5ab$ e $-5ab$ . La somma di due monomi si scrive come un solo monomio solo se i monomi sono simili, per la regola della somma di monomi.

Operazioni con i monomi

1. Somma di monomi simili

La somma di due o più monomi simili è un monomio simile a loro, che ha per coefficiente la somma dei coefficienti. Per esempio

3x^2 + 5x^2 = 8x^2 , \qquad 7ab - 9ab = -2ab .

La regola segue dalla proprietà distributiva, perché $3x^2 + 5x^2 = (3 + 5) \cdot x^2$ . In altre parole, $3$ volte un numero più $5$ volte lo stesso numero fanno $8$ volte quel numero. Con $x = 2$ si ha infatti $3 \cdot 4 + 5 \cdot 4 = 12 + 20 = 32$ e $8 \cdot 4 = 32$ .

La somma di due monomi non simili, come $3x^2$ e $5x$ , resta indicata come $3x^2 + 5x$ . La somma di due monomi opposti è $0$ ; per esempio $4y - 4y = 0$ .

2. Prodotto di monomi

Il prodotto di due monomi è un monomio che ha per coefficiente il prodotto dei coefficienti e in cui ogni lettera ha per esponente la somma dei suoi esponenti nei due fattori. Per esempio

\begin{aligned} \left( 2a^2b \right) \cdot \left( -3ab^4 \right) &= 2 \cdot (-3) \cdot a^2 \cdot a \cdot b \cdot b^4 \\[6pt] &= -6a^3b^5 . \end{aligned}

Le proprietà commutativa e associativa della moltiplicazione permettono di scrivere vicini i numeri e le lettere uguali. Poi la prima proprietà delle potenze dà $a^2 \cdot a = a^{2 + 1} = a^3$ e $b \cdot b^4 = b^{1 + 4} = b^5$ , e il segno del coefficiente si determina con la regola dei segni. Il grado del prodotto è la somma dei gradi dei fattori; nell’esempio i fattori hanno grado $3$ e $5$ , e il prodotto ha grado $8$ .

Il prodotto di due monomi si può leggere come l’area di un rettangolo. Un rettangolo di lati $3x$ e $2x$ si divide in quadrati di lato $x$ .

Il rettangolo di lati

3 x

2 x

è formato da

6

quadrati di lato

x

, quindi la sua area è

3 x \cdot 2 x = 6 x^{2}

3. Potenza di un monomio

La potenza di un monomio si ottiene elevando a quella potenza il coefficiente e moltiplicando per l’esponente della potenza l’esponente di ogni lettera. Per esempio

\left( -2x^3y \right)^2 = (-2)^2 \cdot \left( x^3 \right)^2 \cdot y^2 = 4x^6y^2 .

La regola segue dalle proprietà delle potenze $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ e $\left( a^m \right)^n = a^{m \cdot n}$ . Lo stesso risultato si trova scrivendo il prodotto per esteso, perché $\left( -2x^3y \right) \cdot \left( -2x^3y \right) = 4x^6y^2$ per la regola del prodotto di monomi. Con esponente dispari il segno meno del coefficiente resta, quindi $\left( -a^2 \right)^3 = -a^6$ .

4. Quoziente di monomi

Sia $B$ un monomio diverso da zero, con le lettere diverse da zero. Se ogni lettera di $B$ compare anche nel monomio $A$ , con esponente maggiore o uguale, allora il quoziente $\dfrac{A}{B}$ è un monomio. Il suo coefficiente è il quoziente dei coefficienti, e ogni lettera ha per esponente la differenza dei suoi esponenti. Per esempio, per $x \neq 0$ e $y \neq 0$ ,

\frac{12x^5y^3}{4x^2y} = \frac{12}{4} \cdot x^{5 - 2} \cdot y^{3 - 1} = 3x^3y^2 .

Una lettera che ha lo stesso esponente nei due monomi non compare nel quoziente, perché $\dfrac{a^2}{a^2} = a^0 = 1$ ; per esempio $\dfrac{6a^2b}{2a^2} = 3b$ per $a \neq 0$ . La divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione, e infatti $3x^3y^2 \cdot 4x^2y = 12x^5y^3$ . Quando una lettera del divisore ha esponente più alto, come in $\dfrac{x^2}{x^5}$ , il quoziente è una frazione algebrica, studiata nell’argomento sulla scomposizione in fattori.

Un'espressione con i monomi

Si semplifica, per $x \neq 0$ e $y \neq 0$ , l’espressione $\dfrac{\left( 2x^2y \right)^3}{4x^4y} - 3x^2y^2$ .

\begin{aligned} \frac{\left( 2x^2y \right)^3}{4x^4y} - 3x^2y^2 &= \frac{8x^6y^3}{4x^4y} - 3x^2y^2 \\[6pt] &= 2x^2y^2 - 3x^2y^2 \\[6pt] &= -x^2y^2 . \end{aligned}

Come nelle espressioni numeriche, prima si calcola la potenza, poi la divisione e infine la sottrazione. I monomi $2x^2y^2$ e $3x^2y^2$ sono simili, quindi la loro differenza è il monomio con coefficiente $2 - 3 = -1$ .

Polinomi

1. Polinomio

Un polinomio è una somma di monomi, che si chiamano termini del polinomio. I segni meno fanno parte dei coefficienti, quindi $2x^2 - 3x + 1$ è la somma dei monomi $2x^2$ , $-3x$ e $1$ . Un polinomio con due termini si chiama binomio, con tre termini trinomio, con quattro termini quadrinomio. Anche un monomio si considera un polinomio, con un solo termine.

Il valore di un polinomio si calcola come quello di ogni espressione letterale. Per $x = 2$ il trinomio $2x^2 - 3x + 1$ vale $2 \cdot 4 - 3 \cdot 2 + 1 = 8 - 6 + 1 = 3$ .

2. Riduzione dei termini simili

Un polinomio è ridotto quando non contiene termini simili. Per ridurlo si sommano tra loro i termini simili, e l’operazione si chiama riduzione dei termini simili. Per esempio

\begin{aligned} 4x^2 + 3x - x^2 + 5 - 7x &= \left( 4x^2 - x^2 \right) + (3x - 7x) + 5 \\[6pt] &= 3x^2 - 4x + 5 . \end{aligned}

Prima della riduzione il polinomio ha cinque termini, dopo ne ha tre. I due polinomi hanno lo stesso valore per ogni valore di $x$ , e il polinomio ridotto richiede meno calcoli. Per $x = 1$ , infatti, il primo vale $4 + 3 - 1 + 5 - 7 = 4$ e il secondo vale $3 - 4 + 5 = 4$ .

3. Grado di un polinomio

Il grado di un polinomio ridotto è il grado più alto tra quelli dei suoi termini. Il grado rispetto a una lettera è l’esponente più alto con cui compare quella lettera. Per $x^3y + 5x^2y^3 - 2y$ i termini hanno grado $4$ , $5$ e $1$ , quindi il polinomio ha grado $5$ . Il grado rispetto a $x$ è $3$ , e anche il grado rispetto a $y$ è $3$ .

Il grado si calcola dopo la riduzione. In $x^2 + 3x - x^2$ i termini $x^2$ e $-x^2$ sono opposti e hanno somma $0$ , quindi il polinomio ridotto è $3x$ e ha grado $1$ .

4. Polinomio ordinato e completo

Un polinomio in una sola lettera è ordinato secondo le potenze decrescenti se i termini sono scritti dal grado più alto al grado più basso. È completo se contiene tutte le potenze della lettera, dal grado del polinomio fino al grado $0$ . Il termine di grado $0$ , cioè il numero senza lettere, si chiama termine noto.

Il polinomio $5x^3 - 2x^2 + x - 4$ è ordinato e completo, con termine noto $-4$ .
Il polinomio $x^4 + 3x^2 - 1$ è ordinato e non è completo, perché non contiene termini con $x^3$ e con $x$ .

In un polinomio ordinato il grado si legge nel primo termine e il termine noto è l’ultimo. Per questo motivo i risultati dei calcoli con i polinomi si scrivono di solito in forma ordinata.

Somma e prodotto di polinomi

1. Somma e differenza di polinomi

Per sommare due polinomi si scrivono tutti i loro termini uno dopo l’altro e si riducono i termini simili. Per sottrarre un polinomio si cambia il segno di ogni suo termine e poi si somma. In altre parole, un segno più davanti a un polinomio lascia i segni dei suoi termini come sono, e un segno meno li cambia tutti. Con $A = 3x^2 - 2x + 1$ e $B = x^2 + 5x - 4$ si ha

\begin{aligned} A + B &= 3x^2 - 2x + 1 + x^2 + 5x - 4 \\[6pt] &= 4x^2 + 3x - 3 , \end{aligned}

\begin{aligned} A - B &= 3x^2 - 2x + 1 - x^2 - 5x + 4 \\[6pt] &= 2x^2 - 7x + 5 . \end{aligned}

Un segno meno davanti a un’espressione equivale a una moltiplicazione per $-1$ . Quindi, per la proprietà distributiva, il segno meno cambia il segno di ciascun termine dell’espressione.

Attenzione

In $10 - (x - 4)$ il segno meno cambia il segno di entrambi i termini $x$ e $-4$ , e si ottiene $10 - x + 4 = 14 - x$ . Cambiando solo il segno di $x$ si scriverebbe $10 - x - 4 = 6 - x$ , che è un’espressione diversa. Per $x = 2$ , infatti, $10 - (2 - 4) = 10 + 2 = 12$ , mentre $6 - 2 = 4$ .

2. Prodotto di un monomio per un polinomio

Per moltiplicare un monomio per un polinomio si moltiplica il monomio per ogni termine del polinomio e si sommano i prodotti ottenuti. La regola è la proprietà distributiva. Per esempio

\begin{aligned} 3x \left( 2x^2 - x + 4 \right) &= 3x \cdot 2x^2 + 3x \cdot (-x) + 3x \cdot 4 \\[6pt] &= 6x^3 - 3x^2 + 12x . \end{aligned}

Ogni prodotto si calcola con la regola del prodotto di monomi. La proprietà distributiva ha anche un significato geometrico, perché un rettangolo di lati $a$ e $b + c$ si divide in due rettangoli di lati $a$ e $b$ e di lati $a$ e $c$ .

Il rettangolo di lati

a

b + c

è formato da due rettangoli di aree

ab

a c

, quindi

a (b + c) = ab + a c

; con

a = 3

b = 4

c = 2

si ha

3 \cdot 6 = 12 + 6 = 18

3. Prodotto di polinomi

Per moltiplicare due polinomi si moltiplica ogni termine del primo per ogni termine del secondo, poi si sommano i prodotti e si riducono i termini simili. Per esempio

\begin{aligned} (x + 2)(3x - 5) &= x \cdot 3x + x \cdot (-5) + 2 \cdot 3x + 2 \cdot (-5) \\[6pt] &= 3x^2 - 5x + 6x - 10 \\[6pt] &= 3x^2 + x - 10 . \end{aligned}

La regola si ottiene applicando due volte la proprietà distributiva, perché $(x + 2)(3x - 5) = x\,(3x - 5) + 2\,(3x - 5)$ e ciascuno dei due addendi è il prodotto di un monomio per un polinomio. Un binomio per un binomio dà quattro prodotti, e un binomio per un trinomio ne dà sei. Per $x = 1$ il prodotto di partenza vale $3 \cdot (-2) = -6$ , e anche il risultato vale $3 + 1 - 10 = -6$ .

Nella figura i quattro prodotti di $(x + 2)(x + 3)$ sono le aree di quattro rettangoli.

Il rettangolo di lati

x + 3

x + 2

è formato da quattro parti, quindi

(x + 2) (x + 3) = x^{2} + 3 x + 2 x + 6 = x^{2} + 5 x + 6

Grado del prodotto

Per polinomi in una sola lettera, il grado del prodotto è la somma dei gradi dei fattori, perché il termine di grado più alto del prodotto è il prodotto dei due termini di grado più alto. Per esempio $(x - 1)\left( x^2 + x + 1 \right)$ ha grado $1 + 2 = 3$ , e infatti

\begin{aligned} (x - 1)\left( x^2 + x + 1 \right) &= x^3 + x^2 + x - x^2 - x - 1 \\[6pt] &= x^3 - 1 . \end{aligned}

In questo prodotto i termini $x^2$ e $-x^2$ , e poi $x$ e $-x$ , sono opposti, quindi restano soltanto $x^3$ e $-1$ .

Quadrato di un binomio e somma per differenza

1. Prodotti notevoli

Alcuni prodotti di polinomi compaiono così spesso che il loro risultato si scrive con una formula già pronta. Questi prodotti si chiamano prodotti notevoli. Le formule valgono per ogni valore delle lettere, e al posto delle lettere si possono mettere numeri, monomi o altri polinomi. Con le formule si sviluppa un prodotto senza scrivere uno per uno i prodotti dei termini. Lette da destra verso sinistra, le stesse formule servono a scrivere un polinomio come prodotto, come si vede nell’argomento sulla scomposizione in fattori.

2. Quadrato di un binomio

Per ogni valore di $a$ e di $b$ valgono

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 , \qquad (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 .

In altre parole, il quadrato di un binomio è la somma del quadrato del primo termine, del doppio prodotto dei due termini e del quadrato del secondo termine. Il doppio prodotto ha il segno meno quando i due termini hanno segni opposti. Per esempio

(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9 , \qquad (2y - 5)^2 = 4y^2 - 20y + 25 ,

dove $6x = 2 \cdot x \cdot 3$ e $-20y = 2 \cdot 2y \cdot (-5)$ . Nella figura il quadrato di lato $a + b$ è diviso in quattro parti.

Il quadrato di lato

a + b

è formato dai quadrati

a^{2}

b^{2}

e da due rettangoli di area

ab

, quindi

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

; con

a = 4

b = 2

le parti valgono

16

8

8

4

, e la loro somma è

36 = 6^{2}

Dimostrazione

Il quadrato di un binomio è il prodotto del binomio per sé stesso, quindi si applica la regola del prodotto di polinomi:

\begin{aligned} (a + b)^2 &= (a + b)(a + b) \\[6pt] &= a^2 + ab + ba + b^2 \\[6pt] &= a^2 + 2ab + b^2 . \end{aligned}

I termini $ab$ e $ba$ sono uguali per la proprietà commutativa, perciò la loro somma è $2ab$ . Per $(a - b)^2$ si ripete il calcolo con $-b$ al posto di $b$ . I due prodotti misti diventano $-ab$ e $-ba$ , mentre il quadrato del secondo termine resta $(-b)^2 = b^2$ . Si ottiene quindi $a^2 - 2ab + b^2$ .

Attenzione

Il quadrato di una somma è diverso dalla somma dei quadrati. Con $a = 1$ e $b = 2$ si ha $(1 + 2)^2 = 3^2 = 9$ , mentre $1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$ . La differenza tra i due risultati è $4$ , cioè il doppio prodotto $2 \cdot 1 \cdot 2$ .

3. Somma per differenza

Per ogni valore di $a$ e di $b$ vale

(a + b)(a - b) = a^2 - b^2 .

In altre parole, il prodotto della somma di due termini per la loro differenza è uguale alla differenza dei quadrati dei due termini. Per esempio

(x + 4)(x - 4) = x^2 - 16 , \qquad (3a - 2b)(3a + 2b) = 9a^2 - 4b^2 .

Con la stessa formula alcuni prodotti tra numeri si calcolano a mente. Per esempio $21 \cdot 19 = (20 + 1)(20 - 1) = 400 - 1 = 399$ .

La figura a sinistra è un quadrato di lato

a

senza il quadrato di lato

b

, e ha area

a^{2} - b^{2}

; ruotando la parte II e mettendola accanto alla parte I si ottiene un rettangolo di lati

a + b

a - b

. Con

a = 5

b = 2

si ha

25 - 4 = 7 \cdot 3 = 21

Dimostrazione

Si moltiplica ogni termine del primo binomio per ogni termine del secondo:

\begin{aligned} (a + b)(a - b) &= a^2 - ab + ba - b^2 \\[6pt] &= a^2 - b^2 . \end{aligned}

I termini $-ab$ e $ba$ sono opposti, quindi la loro somma è $0$ e restano soltanto i due quadrati.

Quadrato di un trinomio e cubo di un binomio

1. Quadrato di un trinomio

Per ogni valore di $a$ , $b$ e $c$ vale

(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc .

In altre parole, il quadrato di un trinomio è la somma dei quadrati dei tre termini e dei doppi prodotti di ogni coppia di termini. I doppi prodotti sono tre, perché con tre termini si formano tre coppie: $a$ e $b$ , $a$ e $c$ , $b$ e $c$ . Il segno di ogni doppio prodotto si determina con la regola dei segni. Per esempio

(x + y - 2)^2 = x^2 + y^2 + 4 + 2xy - 4x - 4y ,

dove $2 \cdot x \cdot (-2) = -4x$ e $2 \cdot y \cdot (-2) = -4y$ .

Il quadrato di lato

a + b + c

è formato dai tre quadrati

a^{2}

b^{2}

c^{2}

e da sei rettangoli, uguali a due a due; con

a = 3

b = 2

c = 1

si ha

9 + 4 + 1 + 12 + 6 + 4 = 36 = 6^{2}

Dimostrazione

Si moltiplica il trinomio per sé stesso, ogni termine per ogni termine:

\begin{aligned} (a + b + c)(a + b + c) &= a^2 + ab + ac \\[6pt] &\quad + ba + b^2 + bc \\[6pt] &\quad + ca + cb + c^2 \\[6pt] &= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc . \end{aligned}

I nove prodotti sono i tre quadrati e sei prodotti misti. Per la proprietà commutativa i prodotti misti sono uguali a due a due, perciò formano i tre doppi prodotti $2ab$ , $2ac$ e $2bc$ .

2. Cubo di un binomio

Per ogni valore di $a$ e di $b$ valgono

\begin{aligned} (a + b)^3 &= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 , \\[6pt] (a - b)^3 &= a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 . \end{aligned}

In altre parole, il cubo di un binomio è la somma di quattro termini: il cubo del primo termine, il triplo prodotto del quadrato del primo per il secondo, il triplo prodotto del primo per il quadrato del secondo e il cubo del secondo termine. Per esempio

\begin{aligned} (x + 2)^3 &= x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 + 2^3 \\[6pt] &= x^3 + 6x^2 + 12x + 8 . \end{aligned}

Con la stessa formula si calcola $11^3 = (10 + 1)^3 = 1000 + 300 + 30 + 1 = 1331$ .

Dimostrazione

Il cubo del binomio è il suo quadrato moltiplicato ancora una volta per il binomio. Si usa quindi la formula del quadrato di un binomio e poi la regola del prodotto di polinomi:

\begin{aligned} (a + b)^3 &= (a + b)^2 (a + b) \\[6pt] &= \left( a^2 + 2ab + b^2 \right)(a + b) \\[6pt] &= a^3 + a^2b + 2a^2b + 2ab^2 + ab^2 + b^3 \\[6pt] &= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 . \end{aligned}

Per $(a - b)^3$ si mette $-b$ al posto di $b$ . I termini $3a^2b$ e $b^3$ cambiano segno, perché contengono $b$ con esponente dispari, mentre $3ab^2$ resta positivo, perché $(-b)^2 = b^2$ .

Attenzione

Il cubo di una somma è diverso dalla somma dei cubi. Con $a = 1$ e $b = 2$ si ha $(1 + 2)^3 = 3^3 = 27$ , mentre $1^3 + 2^3 = 1 + 8 = 9$ . La differenza $18$ è la somma dei due tripli prodotti, perché $3 \cdot 1^2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 \cdot 2^2 = 6 + 12 = 18$ .

Divisione di un polinomio per un monomio

Sia $M$ un monomio diverso da zero. Per dividere un polinomio per $M$ si divide ogni termine del polinomio per $M$ e si sommano i quozienti. Il risultato è un polinomio quando ogni termine è divisibile per $M$ , cioè quando ogni lettera di $M$ compare in ogni termine con esponente maggiore o uguale. Per esempio, per $x \neq 0$ ,

\begin{aligned} \frac{6x^3 - 9x^2 + 3x}{3x} &= \frac{6x^3}{3x} - \frac{9x^2}{3x} + \frac{3x}{3x} \\[6pt] &= 2x^2 - 3x + 1 . \end{aligned}

Dividere per $3x$ equivale a moltiplicare per $\dfrac{1}{3x}$ , quindi la regola è la proprietà distributiva applicata alla divisione. Con i numeri vale la stessa regola, per esempio $\dfrac{12 + 18}{6} = \dfrac{12}{6} + \dfrac{18}{6} = 2 + 3 = 5$ , e infatti $\dfrac{30}{6} = 5$ .

Divisione con due lettere

Per $a \neq 0$ e $b \neq 0$ si divide $8a^3b^2 - 12a^2b^3 + 4a^2b^2$ per $4a^2b$ .

\begin{aligned} &\frac{8a^3b^2 - 12a^2b^3 + 4a^2b^2}{4a^2b} \\[6pt] &= \frac{8a^3b^2}{4a^2b} - \frac{12a^2b^3}{4a^2b} + \frac{4a^2b^2}{4a^2b} \\[6pt] &= 2ab - 3b^2 + b . \end{aligned}

Ogni quoziente si calcola con la regola del quoziente di monomi; nel primo, per esempio, $\dfrac{8}{4} = 2$ , $a^{3 - 2} = a$ e $b^{2 - 1} = b$ . La moltiplicazione è l’operazione inversa della divisione, quindi il prodotto del quoziente per il divisore è il polinomio di partenza, e infatti $4a^2b\,\left( 2ab - 3b^2 + b \right) = 8a^3b^2 - 12a^2b^3 + 4a^2b^2$ .

Attenzione

Nella divisione per un monomio si divide ogni termine del polinomio. Con $x = 2$ si ha $\dfrac{6x^3 - 9x^2 + 3x}{3x} = \dfrac{48 - 36 + 6}{6} = \dfrac{18}{6} = 3$ , e infatti $2x^2 - 3x + 1$ vale $8 - 6 + 1 = 3$ . Dividendo soltanto il primo termine si scriverebbe invece $2x^2 - 9x^2 + 3x$ , che per $x = 2$ vale $8 - 36 + 6 = -22$ .

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