Frazioni

1. Frazione

Una frazione descrive una parte di un intero, come una torta, un rettangolo o un’ora. La frazione $\frac{a}{b}$, con $b\ne 0$, indica che l’intero è diviso in $b$ parti uguali e che se ne prendono $a$. Il numero scritto sotto la linea di frazione, $b$, si chiama denominatore e dice in quante parti è diviso l’intero. Il numero scritto sopra la linea, $a$, si chiama numeratore e dice quante parti si prendono.

Per esempio i $\frac{3}{5}$ di un rettangolo si ottengono dividendo il rettangolo in $5$ parti uguali e prendendone $3$.

Ogni parte da sola è $\frac{1}{5}$ del rettangolo. Una frazione con numeratore $1$ si chiama frazione unitaria, e la frazione $\frac{3}{5}$ è formata da tre parti da $\frac{1}{5}$.

2. Frazione come quoziente

Una frazione indica anche una divisione. La frazione $\frac{a}{b}$ è il risultato di $a:b$, quindi la linea di frazione ha lo stesso significato del segno $:$. Per esempio $\frac{12}{4}=12:4=3$. La divisione si scrive come frazione anche quando il risultato non è un numero intero, e $3:4$ si scrive $\frac{3}{4}$.

Le due letture danno la stessa quantità. Se $3$ pizze uguali si dividono fra $4$ persone, ognuna riceve $3:4=\frac{3}{4}$ di pizza. Lo stesso risultato si ottiene tagliando ogni pizza in $4$ fette. In questo modo ogni persona riceve una fetta da ciascuna delle $3$ pizze, cioè $3$ fette da $\frac{1}{4}$. Da qui in avanti la divisione fra due numeri si scrive di solito come frazione.

Le frazioni si classificano confrontando il numeratore con il denominatore.

• Una frazione è propria se il numeratore è minore del denominatore, come $\frac{3}{5}$. Si prendono meno parti di quelle che formano l’intero, quindi la frazione vale meno di $1$.
• Una frazione è impropria se il numeratore è maggiore del denominatore, come $\frac{7}{4}$. Si prendono più parti di quelle che formano l’intero, quindi la frazione vale più di $1$.
• Una frazione è apparente se il numeratore è un multiplo del denominatore, come $\frac{8}{4}$ oppure $\frac{5}{5}$. La divisione non ha resto, perciò la frazione è uguale a un numero intero: $\frac{8}{4}=2$ e $\frac{5}{5}=1$.

Una frazione apparente con numeratore maggiore del denominatore è anche impropria. La classificazione dice subito se una frazione vale meno di $1$, più di $1$ oppure un numero intero.

1. Frazioni equivalenti

Due frazioni sono equivalenti se rappresentano la stessa quantità, cioè se hanno lo stesso valore. Fra due frazioni equivalenti si scrive il segno di uguale. Per esempio mezza pizza e due fette di una pizza tagliata in quattro sono la stessa quantità, perciò $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$.

Le frazioni equivalenti permettono di cambiare il denominatore di una frazione senza cambiarne il valore. Su questo si basano il confronto, l’addizione e la sottrazione di frazioni.

3. Semplificazione e frazione ai minimi termini

Semplificare una frazione vuol dire dividere il numeratore e il denominatore per uno stesso divisore comune maggiore di $1$. Per la proprietà invariantiva la frazione che si ottiene è equivalente a quella di partenza, e ha numeri più piccoli. Una frazione è ridotta ai minimi termini quando il numeratore e il denominatore hanno come unico divisore comune il numero $1$, cioè quando sono primi tra loro.

Per esempio

L’unico divisore comune di $3$ e $4$ è $1$, quindi $\frac{3}{4}$ è ridotta ai minimi termini. La frazione ridotta ai minimi termini è la scrittura più semplice di quel valore, e i conti fatti con essa sono più brevi.

2. Minimo comune denominatore

Per confrontare, sommare o sottrarre frazioni con denominatori diversi si scrivono frazioni equivalenti a quelle date che hanno tutte lo stesso denominatore. Il più piccolo denominatore che si può usare è il minimo comune multiplo dei denominatori, e si chiama minimo comune denominatore.

Ogni frazione si trasforma con la proprietà invariantiva. Si divide il denominatore comune per il denominatore della frazione, e poi si moltiplicano per questo quoziente sia il numeratore sia il denominatore. Per $\frac{5}{6}$ e $\frac{3}{4}$ si ha $\mathrm{mcm}(6,4)=12$. Poiché $12:6=2$ e $12:4=3$, si ottiene

2. Reciproco di una frazione

Il reciproco di una frazione $\frac{a}{b}$, con $a\ne 0$ e $b\ne 0$, è la frazione $\frac{b}{a}$, che si ottiene scambiando il numeratore con il denominatore. Il prodotto di una frazione per il suo reciproco vale $1$, perché $\frac{a}{b}\cdot \frac{b}{a}=\frac{a\cdot b}{b\cdot a}$ ha numeratore e denominatore uguali.

Per esempio il reciproco di $\frac{2}{5}$ è $\frac{5}{2}$, e il reciproco di $3=\frac{3}{1}$ è $\frac{1}{3}$. Il reciproco di un numero negativo è negativo, e per esempio il reciproco di $-\frac{4}{7}$ è $-\frac{7}{4}$. Il numero $0$ non ha reciproco, perché $\frac{1}{0}$ non ha significato. Il reciproco serve per eseguire la divisione tra frazioni.

4. Potenza di una frazione

Per $b\ne 0$ e per un numero naturale $n\ge 1$, la potenza ${\left(\frac{a}{b}\right)}^n$ è il prodotto di $n$ fattori uguali a $\frac{a}{b}$, come per i numeri naturali. Con la regola della moltiplicazione si moltiplicano fra loro $n$ numeratori uguali ad $a$ e $n$ denominatori uguali a $b$, perciò

Per esempio ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}=\frac{4}{9}$. Con una frazione negativa vale la regola delle potenze dei numeri relativi, quindi ${\left(-\frac{1}{2}\right)}^3=-\frac{1}{8}$, perché l’esponente è dispari, e ${\left(-\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$, perché l’esponente è pari. Le altre proprietà delle potenze si trovano nell’argomento sulle potenze e radici.

Calcolare i $\frac{a}{b}$ di una quantità $N$ vuol dire dividere $N$ in $b$ parti uguali e prenderne $a$. Il risultato è il prodotto $\frac{a}{b}\cdot N$, che si calcola in due passaggi. La divisione $\frac{N}{b}$ dà il valore di una parte, e questo valore moltiplicato per $a$ dà la quantità cercata.

Per esempio i $\frac{2}{5}$ di $350$ euro si calcolano così. Una parte vale $\frac{350}{5}=70$ euro, e due parti valgono $70\cdot 2=140$ euro. Una frazione propria di una quantità è minore della quantità stessa, e una frazione impropria è maggiore.

1. Numeri razionali

Un numero razionale è un numero che si può scrivere come frazione $\frac{a}{b}$, con $a$ e $b$ numeri interi relativi e $b\ne 0$. L’insieme dei numeri razionali si indica con $\mathbb{Q}$. Le frazioni equivalenti rappresentano lo stesso numero razionale, quindi $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{4}$ e $\frac{-3}{-6}$ sono tre scritture dello stesso numero.

Ogni numero intero è razionale, perché per esempio $5=\frac{5}{1}$ e $-2=\frac{-2}{1}$. Perciò l’insieme $\mathbb{Q}$ contiene l’insieme $\mathbb{Z}$ dei numeri interi relativi, che a sua volta contiene l’insieme $\mathbb{N}$ dei numeri naturali. In $\mathbb{Q}$ la divisione per un numero diverso da zero dà sempre come risultato un numero razionale, mentre in $\mathbb{Z}$ la divisione $3:4$ non ha un risultato intero.

Ogni numero razionale corrisponde a un punto della retta dei numeri. I numeri negativi si trovano a sinistra di $0$, e fra due numeri è maggiore quello che sta più a destra.