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Theory

Potenze e radici

Le proprietà delle potenze con la loro giustificazione, l'esponente zero e l'esponente negativo, la notazione scientifica, la radice quadrata e la radice cubica con le loro proprietà, la razionalizzazione e i numeri irrazionali, fino ai numeri reali.

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Potenze
Proprietà delle potenze
Esponente zero ed esponente negativo
Notazione scientifica e ordine di grandezza
Radice quadrata e quadrati perfetti
Radice cubica
Proprietà delle radici
Razionalizzazione
Numeri irrazionali e numeri reali

Potenze

Potenza

Una potenza è un modo breve di scrivere una moltiplicazione di fattori tutti uguali. Se $a$ è un numero e $n$ è un numero naturale maggiore di $1$ , la potenza $a^n$ è il prodotto di $n$ fattori uguali ad $a$ :

a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ fattori}} .

Il numero $a$ si chiama base e il numero $n$ si chiama esponente. L’esponente indica quante volte la base compare come fattore. Si pone inoltre $a^1 = a$ . Per esempio

2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32 , \qquad 10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000 .

La potenza con esponente $2$ si legge “al quadrato” e quella con esponente $3$ si legge “al cubo”; per esempio $7^2 = 49$ si legge “sette al quadrato”. La definizione è stata introdotta nell’argomento sui numeri naturali. Qui si studiano le regole che permettono di calcolare con le potenze senza scrivere tutti i fattori.

Potenze con base negativa o con base frazione

La base può essere un numero relativo o una frazione. Per la regola dei segni, vista nell’argomento sui numeri relativi, una potenza con base negativa è positiva se l’esponente è pari ed è negativa se l’esponente è dispari:

(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9 , \qquad (-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8 .

Nel prodotto di frazioni si moltiplicano i numeratori tra loro e i denominatori tra loro. Perciò una frazione si eleva a potenza elevando il numeratore e il denominatore:

\left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 3} = \frac{4}{9} .

Proprietà delle potenze

1. Prodotto di potenze con la stessa base

Il prodotto di due potenze con la stessa base è una potenza che ha la stessa base e ha per esponente la somma degli esponenti. Per ogni numero $a$ e per ogni coppia di numeri naturali $m$ e $n$ diversi da zero vale

a^m \cdot a^n = a^{m+n} .

Per esempio $2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128$ . La regola permette di calcolare il prodotto senza moltiplicare i fattori uno per uno. Anche un fattore senza esponente si tratta come una potenza, perché $5 = 5^1$ ; quindi $5^2 \cdot 5 = 5^{2+1} = 5^3 = 125$ .

Dimostrazione

L’idea è contare i fattori. La potenza $2^3$ contiene tre fattori uguali a $2$ e la potenza $2^4$ ne contiene quattro, quindi

2^3 \cdot 2^4 = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 .

Per la proprietà associativa della moltiplicazione i due prodotti si possono scrivere come un unico prodotto. Questo prodotto contiene perciò $3 + 4 = 7$ fattori uguali a $2$ , ed è uguale a $2^7$ . Con base $a$ ed esponenti $m$ e $n$ il ragionamento è lo stesso, perché i fattori uguali ad $a$ sono in tutto $m + n$ .

2. Quoziente di potenze con la stessa base

Il quoziente di due potenze con la stessa base è una potenza che ha la stessa base e ha per esponente la differenza degli esponenti. Per ogni numero $a \neq 0$ e per ogni coppia di numeri naturali $m$ e $n$ diversi da zero, con $m > n$ , vale

\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} .

Per esempio $\dfrac{3^5}{3^2} = 3^{5-2} = 3^3 = 27$ . La condizione $a \neq 0$ è necessaria perché il denominatore di una frazione è sempre diverso da zero. Il caso $m = n$ e il caso $m < n$ portano all’esponente zero e all’esponente negativo.

Dimostrazione

L’idea è scrivere i fattori e semplificare. Ogni fattore $3$ del denominatore si semplifica con un fattore $3$ del numeratore, perché $\dfrac{3}{3} = 1$ :

\frac{3^5}{3^2} = \frac{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}{3 \cdot 3} = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3 .

Al numeratore restano $5 - 2 = 3$ fattori, quindi il quoziente è $3^3$ . Con base $a$ ed esponenti $m > n$ si semplificano $n$ fattori del numeratore con gli $n$ fattori del denominatore, e al numeratore ne restano $m - n$ .

3. Potenza di una potenza

Una potenza elevata a un’altra potenza è una potenza che ha la stessa base e ha per esponente il prodotto degli esponenti. Per ogni numero $a$ e per ogni coppia di numeri naturali $m$ e $n$ diversi da zero vale

\left( a^m \right)^n = a^{m \cdot n} .

Per esempio $\left( 2^3 \right)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6 = 64$ . La regola serve anche a scrivere una potenza con una base più piccola. Poiché $8 = 2^3$ , si ha $8^4 = \left( 2^3 \right)^4 = 2^{12}$ .

Dimostrazione

Elevare $2^3$ al quadrato significa moltiplicare $2^3$ per se stesso. Per la regola del prodotto di potenze con la stessa base si ha

\left( 2^3 \right)^2 = 2^3 \cdot 2^3 = 2^{3+3} = 2^6 .

Gli esponenti uguali a $3$ che si sommano sono $2$ , quindi la loro somma è $3 \cdot 2 = 6$ . In generale $\left( a^m \right)^n$ è il prodotto di $n$ fattori uguali ad $a^m$ , e la somma di $n$ esponenti uguali a $m$ è $m \cdot n$ .

4. Potenza di un prodotto e di un quoziente

La potenza di un prodotto è il prodotto delle potenze dei fattori, e la potenza di un quoziente è il quoziente delle potenze. Per ogni coppia di numeri $a$ e $b$ e per ogni numero naturale $n$ diverso da zero valgono

(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n , \qquad \left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n} \quad \text{con } b \neq 0 .

Lette da destra a sinistra, le due uguaglianze dicono che due potenze con lo stesso esponente si moltiplicano, o si dividono, operando sulle basi. Per esempio

2^3 \cdot 5^3 = (2 \cdot 5)^3 = 10^3 = 1000 , \qquad \frac{15^2}{5^2} = \left( \frac{15}{5} \right)^2 = 3^2 = 9 .

Dimostrazione

Per la potenza di un prodotto si scrivono i fattori e si riordinano. Per le proprietà commutativa e associativa della moltiplicazione si ha

\begin{aligned} (2 \cdot 5)^3 &= (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) \\[6pt] &= (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (5 \cdot 5 \cdot 5) \\[6pt] &= 2^3 \cdot 5^3 . \end{aligned}

Per la potenza di un quoziente si moltiplicano le frazioni, cioè i numeratori tra loro e i denominatori tra loro:

\left( \frac{2}{5} \right)^3 = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{5 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{2^3}{5^3} .

Con un esponente $n$ qualsiasi i fattori uguali ad $a$ e i fattori uguali a $b$ sono $n$ ciascuno, e il ragionamento è lo stesso.

Attenzione

Le proprietà delle potenze riguardano prodotti e quozienti. La potenza di una somma è in generale diversa dalla somma delle potenze. Per esempio, con $a = 1$ e $b = 2$ ,

(1 + 2)^2 = 3^2 = 9 , \qquad 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5 .

Allo stesso modo, in una somma di potenze con la stessa base gli esponenti non si sommano. Per esempio $2^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24$ , mentre $2^{3+4} = 2^7 = 128$ .

Un'espressione con più proprietà

Si calcola $\dfrac{9^2 \cdot 3^5}{27^2}$ . Le basi $9$ e $27$ sono potenze di $3$ , perché $9 = 3^2$ e $27 = 3^3$ . Per la potenza di una potenza si ha quindi $9^2 = 3^4$ e $27^2 = 3^6$ , e

\frac{9^2 \cdot 3^5}{27^2} = \frac{3^4 \cdot 3^5}{3^6} = \frac{3^9}{3^6} = 3^3 = 27 .

Al numeratore si è applicata la regola del prodotto di potenze con la stessa base, poi la regola del quoziente. Il calcolo diretto $\dfrac{81 \cdot 243}{729}$ porta allo stesso risultato con moltiplicazioni molto più lunghe.

Esponente zero ed esponente negativo

1. Esponente zero

Per ogni numero $a \neq 0$ si pone

a^0 = 1 .

Questa scelta rende valida la regola del quoziente anche quando i due esponenti sono uguali. Un numero diverso da zero diviso per se stesso dà $1$ , quindi $\dfrac{5^3}{5^3} = 1$ . La regola del quoziente darebbe $5^{3-3} = 5^0$ , perciò si pone $5^0 = 1$ . Per esempio $7^0 = 1$ , $(-4)^0 = 1$ e $\left( \dfrac{2}{9} \right)^0 = 1$ . La scrittura $0^0$ non ha significato, perché la divisione $\dfrac{0^3}{0^3}$ non si può eseguire.

2. Esponente negativo

Per ogni numero $a \neq 0$ e per ogni numero naturale $n$ si pone

a^{-n} = \frac{1}{a^n} .

In altre parole, una potenza con esponente negativo è il reciproco della potenza con l’esponente positivo. Anche questa scelta rende valida la regola del quoziente. Semplificando i fattori si ottiene

\frac{2^3}{2^5} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2^2} ,

mentre la regola del quoziente darebbe $2^{3-5} = 2^{-2}$ . Perciò si pone $2^{-2} = \dfrac{1}{2^2} = \dfrac{1}{4}$ . Il reciproco di una frazione si ottiene scambiando il numeratore con il denominatore, quindi

\left( \frac{2}{3} \right)^{-2} = \left( \frac{3}{2} \right)^2 = \frac{9}{4} .

Le potenze di 2 con esponente intero

Quando l’esponente diminuisce di $1$ , la potenza di $2$ si divide per $2$ :

2^3 = 8 , \quad 2^2 = 4 , \quad 2^1 = 2 , \quad 2^0 = 1 , \quad 2^{-1} = \frac{1}{2} , \quad 2^{-2} = \frac{1}{4} , \quad 2^{-3} = \frac{1}{8} .

La regola del dimezzamento vale anche per gli esponenti zero e negativi, e questo è coerente con le due definizioni. Tutte le potenze dell’elenco sono positive, comprese quelle con esponente negativo.

Le potenze

2^{n}

con

n

- 3

3

: quando l'esponente diminuisce di

1

il valore si dimezza, e le potenze

2^{- 1} = \frac{1}{2}

2^{- 2} = \frac{1}{4}

2^{- 3} = \frac{1}{8}

sono positive

Le proprietà con esponenti interi

Con le definizioni di esponente zero e di esponente negativo, tutte le proprietà delle potenze valgono anche per esponenti interi qualsiasi, con base diversa da zero. Per esempio

5^{-2} \cdot 5^3 = 5^{-2+3} = 5^1 = 5 , \qquad \frac{3^2}{3^{-1}} = 3^{2-(-1)} = 3^3 = 27 .

Il primo risultato coincide con quello che si ottiene dalla definizione, perché $5^{-2} \cdot 5^3 = \dfrac{1}{25} \cdot 125 = \dfrac{125}{25} = 5$ .

Attenzione

Un esponente negativo non rende negativo il risultato. Per esempio $2^{-3} = \dfrac{1}{8}$ , che è un numero positivo, mentre $-2^3 = -8$ . Il segno meno nell’esponente indica il reciproco, e il segno della potenza dipende soltanto dal segno della base e dalla parità dell’esponente.

Notazione scientifica e ordine di grandezza

Potenze di 10

La potenza $10^n$ , con $n$ naturale, si scrive con la cifra $1$ seguita da $n$ zeri, perché ogni fattore $10$ aggiunge uno zero. Per esempio $10^3 = 1000$ e $10^6 = 1\,000\,000$ . Poiché $10^{-n} = \dfrac{1}{10^n}$ , la potenza con esponente negativo è un numero decimale con la cifra $1$ al posto $n$ dopo la virgola; per esempio $10^{-1} = 0{,}1$ , $10^{-2} = 0{,}01$ e $10^{-4} = 0{,}0001$ .

Moltiplicare un numero per $10^n$ sposta la virgola di $n$ posti verso destra, e moltiplicarlo per $10^{-n}$ la sposta di $n$ posti verso sinistra. Per esempio

3{,}7 \cdot 10^2 = 370 , \qquad 3{,}7 \cdot 10^{-2} = 0{,}037 .

1. Notazione scientifica

Un numero positivo è scritto in notazione scientifica quando ha la forma

a \cdot 10^n , \qquad \text{con } 1 \leq a < 10 \text{ e } n \text{ intero} .

In parole, il numero si scrive come un numero con una sola cifra diversa da zero prima della virgola, moltiplicato per una potenza di $10$ . La notazione serve a scrivere in poco spazio numeri molto grandi o molto piccoli, e a confrontarli guardando gli esponenti. Per esempio

3\,400\,000 = 3{,}4 \cdot 10^6 , \qquad 0{,}00052 = 5{,}2 \cdot 10^{-4} .

Nel primo numero la virgola si sposta di $6$ posti verso sinistra per ottenere $3{,}4$ , quindi l’esponente è $6$ . Nel secondo numero la virgola si sposta di $4$ posti verso destra per ottenere $5{,}2$ , quindi l’esponente è $-4$ . La distanza media tra la Terra e il Sole, circa $150\,000\,000$ km, in notazione scientifica si scrive $1{,}5 \cdot 10^8$ km.

Prodotti e quozienti in notazione scientifica

In un prodotto si moltiplicano tra loro i numeri davanti alle potenze di $10$ , e le potenze di $10$ si moltiplicano con la regola del prodotto di potenze con la stessa base:

\begin{aligned} \left( 2{,}5 \cdot 10^4 \right) \cdot \left( 6 \cdot 10^3 \right) &= (2{,}5 \cdot 6) \cdot 10^{4+3} \\[6pt] &= 15 \cdot 10^7 \\[6pt] &= 1{,}5 \cdot 10^8 . \end{aligned}

Il numero $15$ non è compreso tra $1$ e $10$ . Poiché $15 = 1{,}5 \cdot 10$ , si ha $15 \cdot 10^7 = 1{,}5 \cdot 10^{8}$ , che è in notazione scientifica. Per un quoziente si usa la regola del quoziente:

\frac{8 \cdot 10^3}{2 \cdot 10^{-2}} = \frac{8}{2} \cdot 10^{3-(-2)} = 4 \cdot 10^5 .

2. Ordine di grandezza

L’ordine di grandezza di un numero positivo è la potenza di $10$ che lo approssima. Scritto il numero come $a \cdot 10^n$ in notazione scientifica, si usa la convenzione seguente.

Se $a < 5$ , l’ordine di grandezza è $10^n$ .
Se $a \geq 5$ , l’ordine di grandezza è $10^{n+1}$ .

Per esempio $320\,000 = 3{,}2 \cdot 10^5$ ha ordine di grandezza $10^5$ , mentre $780\,000 = 7{,}8 \cdot 10^5$ ha ordine di grandezza $10^6$ . Alcuni testi usano come soglia $3{,}16$ al posto di $5$ . L’ordine di grandezza serve a stimare un risultato prima di calcolarlo e a riconoscere un errore di un fattore $10$ in un calcolo.

Il numero

320000 = 3, 2 \cdot 1 0^{5}

sta prima della soglia

5 \cdot 1 0^{5}

e ha ordine di grandezza

1 0^{5}

; il numero

780000 = 7, 8 \cdot 1 0^{5}

sta dopo la soglia e ha ordine di grandezza

1 0^{6}

Radice quadrata e quadrati perfetti

1. Radice quadrata

La radice quadrata è l’operazione inversa dell’elevamento al quadrato, cioè permette di risalire a un numero conoscendo il suo quadrato. Per un numero $a \geq 0$ , la radice quadrata $\sqrt{a}$ è il numero maggiore o uguale a zero che elevato al quadrato dà $a$ :

\sqrt{a} = b \quad \text{significa} \quad b \geq 0 \ \text{ e } \ b^2 = a .

Il numero $a$ si chiama radicando e il simbolo $\sqrt{\ }$ si chiama segno di radice. Per esempio $\sqrt{49} = 7$ , perché $7 \geq 0$ e $7^2 = 49$ . Inoltre $\sqrt{0} = 0$ , $\sqrt{1} = 1$ e $\sqrt{\dfrac{9}{4}} = \dfrac{3}{2}$ , perché $\left( \dfrac{3}{2} \right)^2 = \dfrac{9}{4}$ . In geometria $\sqrt{a}$ è la misura del lato di un quadrato che ha area $a$ .

Un quadrato formato da

49

quadratini di lato

1

ha area

49

e lato

7

, perciò

49 = 7

Attenzione

Il radicando di una radice quadrata è maggiore o uguale a zero. La scrittura $\sqrt{-4}$ non ha significato, perché il quadrato di un numero qualsiasi è maggiore o uguale a zero; per esempio $2^2 = 4$ e anche $(-2)^2 = 4$ . Per lo stesso motivo i numeri che elevati al quadrato danno $49$ sono due, $7$ e $-7$ , mentre il simbolo $\sqrt{49}$ indica soltanto il numero positivo $7$ . In particolare $\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5$ .

2. Quadrati perfetti

Un numero naturale è un quadrato perfetto se è il quadrato di un numero naturale. In questo caso la sua radice quadrata è un numero naturale. I quadrati dei numeri da $1$ a $15$ sono

1 ,\ 4 ,\ 9 ,\ 16 ,\ 25 ,\ 36 ,\ 49 ,\ 64 ,\ 81 ,\ 100 ,\ 121 ,\ 144 ,\ 169 ,\ 196 ,\ 225 .

Un numero è un quadrato perfetto se e solo se nella sua scomposizione in fattori primi ogni esponente è pari. Infatti, per la potenza di un prodotto e la potenza di una potenza, gli esponenti della scomposizione di $m^2$ sono il doppio di quelli della scomposizione di $m$ ; per esempio $\left( 2 \cdot 3^2 \right)^2 = 2^2 \cdot 3^4$ . Viceversa, se ogni esponente è pari, dimezzando gli esponenti si ottiene un numero naturale che elevato al quadrato dà il numero di partenza, cioè la sua radice quadrata:

324 = 2^2 \cdot 3^4 , \qquad \sqrt{324} = 2 \cdot 3^2 = 18 .

Il numero $12 = 2^2 \cdot 3$ non è un quadrato perfetto, perché il fattore $3$ ha esponente $1$ , che è dispari.

Stima di una radice quadrata

Se il radicando non è un quadrato perfetto, la radice si colloca tra due numeri vicini con l’aiuto dei quadrati. Tra due numeri positivi, quello che ha il quadrato più grande è il più grande. Poiché $4^2 = 16$ e $5^2 = 25$ , si ha $4^2 < 20 < 5^2$ , quindi $4 < \sqrt{20} < 5$ . Per la prima cifra decimale si prova il valore intermedio $4{,}5$ . Poiché $4{,}5^2 = 20{,}25$ è maggiore di $20$ , si ha $\sqrt{20} < 4{,}5$ . Con altri tentativi dello stesso tipo si trova $\sqrt{20} \approx 4{,}47$ .

Sotto la retta i numeri

4

4, 5

5

, sopra i loro quadrati

16

20, 25

25

: il numero

20 \approx 4, 47

è compreso tra

4

4, 5

, perché

16 < 20 < 20, 25

Radice cubica

La radice cubica è l’operazione inversa dell’elevamento al cubo. La radice cubica di un numero $a$ è il numero che elevato al cubo dà $a$ , e si indica con $\sqrt[3]{a}$ :

\sqrt[3]{a} = b \quad \text{significa} \quad b^3 = a .

Il numero $3$ scritto sul segno di radice si chiama indice. Nella radice quadrata l’indice è $2$ e non si scrive. Per esempio $\sqrt[3]{8} = 2$ , perché $2^3 = 8$ , e $\sqrt[3]{125} = 5$ , perché $5^3 = 125$ . In geometria $\sqrt[3]{a}$ è la misura dello spigolo di un cubo che ha volume $a$ .

Un cubo formato da

8

cubetti di spigolo

1

ha volume

8

e spigolo

2

, perciò

38 = 2

Radice cubica di un numero negativo e cubi perfetti

La radice cubica esiste per ogni numero, anche negativo, perché il cubo di un numero negativo è negativo. Per esempio $\sqrt[3]{-27} = -3$ , dato che $(-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -27$ . Ogni numero è il cubo di un solo numero, perciò nella definizione della radice cubica non serve la condizione $b \geq 0$ che compare nella radice quadrata. I cubi dei numeri da $1$ a $10$ sono

1 ,\ 8 ,\ 27 ,\ 64 ,\ 125 ,\ 216 ,\ 343 ,\ 512 ,\ 729 ,\ 1000 .

Un numero naturale è un cubo perfetto se è il cubo di un numero naturale, cioè se nella sua scomposizione in fattori primi ogni esponente è un multiplo di $3$ . La radice cubica si ottiene allora dividendo gli esponenti per $3$ ; per esempio $216 = 2^3 \cdot 3^3$ , quindi $\sqrt[3]{216} = 2 \cdot 3 = 6$ .

Proprietà delle radici

1. Radice di un prodotto e di un quoziente

Per $a \geq 0$ e $b \geq 0$ valgono

\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} , \qquad \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \quad \text{con } b \neq 0 .

In parole, la radice di un prodotto è il prodotto delle radici, e la radice di un quoziente è il quoziente delle radici. Per esempio $\sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{36} = 6$ e anche $\sqrt{4} \cdot \sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6$ . Lette da destra a sinistra, le uguaglianze permettono di moltiplicare due radici; per esempio $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$ . Le stesse regole valgono per la radice cubica, senza condizioni sul segno di $a$ e di $b$ ; per esempio $\sqrt[3]{8 \cdot 27} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{27} = 2 \cdot 3 = 6$ .

Dimostrazione

L’idea è mostrare che il numero $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ ha le due proprietà che definiscono $\sqrt{a \cdot b}$ . Il numero $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ è maggiore o uguale a zero, perché è il prodotto di due numeri maggiori o uguali a zero. Per la potenza di un prodotto il suo quadrato è

\left( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \right)^2 = \left( \sqrt{a} \right)^2 \cdot \left( \sqrt{b} \right)^2 = a \cdot b .

Quindi $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ è il numero maggiore o uguale a zero che elevato al quadrato dà $a \cdot b$ , cioè è $\sqrt{a \cdot b}$ . Con $a = 4$ e $b = 9$ il conto è $(2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$ . Per il quoziente il ragionamento è lo stesso, con la potenza di un quoziente al posto della potenza di un prodotto.

Attenzione

La radice di una somma è in generale diversa dalla somma delle radici. Per esempio

\sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 , \qquad \sqrt{36} + \sqrt{64} = 6 + 8 = 14 .

Allo stesso modo $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ è diverso da $\sqrt{5}$ , perché $\sqrt{2} + \sqrt{3} \approx 3{,}15$ e $\sqrt{5} \approx 2{,}24$ .

2. Portare un fattore fuori dal segno di radice

Per $a \geq 0$ e $b \geq 0$ vale

\sqrt{a^2 \cdot b} = a \sqrt{b} .

La regola segue dalla radice di un prodotto, perché $\sqrt{a^2 \cdot b} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b}$ e $\sqrt{a^2} = a$ per $a \geq 0$ . La scrittura $a\sqrt{b}$ indica il prodotto $a \cdot \sqrt{b}$ . La regola serve a semplificare una radice. Il radicando si scrive come prodotto del più grande quadrato perfetto che lo divide per un altro numero, e la radice del quadrato perfetto si porta fuori. Per esempio

\sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{5} = 6 \sqrt{5} .

Il quadrato perfetto si trova con la scomposizione in fattori primi. Da $180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$ si legge infatti il quadrato perfetto $2^2 \cdot 3^2 = 36$ .

3. Radicali simili

Un’espressione come $\sqrt{7}$ o $3\sqrt{2}$ si chiama radicale. Due radicali sono simili se hanno lo stesso radicando, come $2\sqrt{3}$ e $5\sqrt{3}$ . Per la proprietà distributiva, radicali simili si sommano sommando i numeri che li moltiplicano:

2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = (2 + 5) \sqrt{3} = 7\sqrt{3} .

Due radicali con radicandi diversi possono diventare simili dopo aver portato fuori i fattori. Per esempio $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ e $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$ , quindi

\sqrt{12} + \sqrt{27} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3} .

Se i radicandi restano diversi, come in $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ , la somma non si semplifica.

Razionalizzazione

Razionalizzare una frazione significa scriverla come una frazione equivalente con il denominatore senza radici. Quando il denominatore è $\sqrt{a}$ , con $a > 0$ , si moltiplicano il numeratore e il denominatore per $\sqrt{a}$ , perché $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$ :

\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} .

Per la proprietà invariantiva la frazione ottenuta è equivalente a quella di partenza. La forma razionalizzata rende più semplici i calcoli a mano. Con $\sqrt{2} \approx 1{,}414$ , il valore di $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ si ottiene dividendo per $2$ ed è circa $0{,}707$ , mentre il valore di $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ richiede di dividere $1$ per $1{,}414$ . La razionalizzazione permette anche di riconoscere radicali simili in una somma di frazioni.

Due razionalizzazioni

Nella frazione $\dfrac{10}{\sqrt{5}}$ si moltiplicano il numeratore e il denominatore per $\sqrt{5}$ . Il denominatore diventa $\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5$ , che si semplifica con $10$ :

\frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5} .

Nella frazione $\dfrac{3}{2\sqrt{6}}$ la radice al denominatore è $\sqrt{6}$ , quindi si moltiplica soltanto per $\sqrt{6}$ . Il denominatore diventa $2 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{6} = 2 \cdot 6 = 12$ , e la frazione si semplifica per $3$ :

\frac{3}{2\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{2 \cdot 6} = \frac{3\sqrt{6}}{12} = \frac{\sqrt{6}}{4} .

Numeri irrazionali e numeri reali

Un quadrato di area 2

Un quadrato di lato $2$ si divide in quattro quadratini di lato $1$ . I segmenti che uniscono i punti medi dei lati del quadrato grande formano un quadrato più piccolo, che contiene metà di ciascun quadratino. La sua area è quindi $4 \cdot \dfrac{1}{2} = 2$ . Il lato di questo quadrato è perciò il numero positivo che elevato al quadrato dà $2$ , cioè $\sqrt{2}$ , ed è anche la diagonale di un quadratino di lato $1$ . Il valore di $\sqrt{2}$ si stima con i quadrati, come per $\sqrt{20}$ :

1{,}4^2 = 1{,}96 , \qquad 1{,}5^2 = 2{,}25 , \qquad 1{,}41^2 = 1{,}9881 , \qquad 1{,}42^2 = 2{,}0164 .

Poiché $1{,}41^2 < 2 < 1{,}42^2$ , si ha $1{,}41 < \sqrt{2} < 1{,}42$ .

Il quadrato colorato contiene metà di ciascuno dei quattro quadratini di lato

1

, quindi ha area

2

e lato

2

1. Irrazionalità della radice quadrata di 2

Il numero $\sqrt{2}$ non si può scrivere come una frazione $\dfrac{m}{n}$ con $m$ e $n$ numeri naturali. Ogni numero decimale limitato o periodico si può scrivere come frazione, come si è visto nell’argomento sui numeri decimali; perciò le cifre decimali di $\sqrt{2} = 1{,}41421\ldots$ sono infinite e non si ripetono con un periodo.

Dimostrazione

L’idea è contare quante volte il fattore $2$ compare nella scomposizione in fattori primi. Si supponga che $\sqrt{2} = \dfrac{m}{n}$ , con $m$ e $n$ naturali diversi da zero. Elevando al quadrato si ottiene $2 = \dfrac{m^2}{n^2}$ , cioè

m^2 = 2 \cdot n^2 .

Nella scomposizione di un quadrato ogni fattore primo compare un numero pari di volte, perché gli esponenti si raddoppiano; un fattore che non compare conta zero volte, e zero è pari. Quindi il fattore $2$ compare un numero pari di volte in $m^2$ e in $n^2$ , e un numero dispari di volte in $2 \cdot n^2$ . Per esempio $6^2 = 36 = 2^2 \cdot 3^2$ , mentre $2 \cdot 6^2 = 72 = 2^3 \cdot 3^2$ . Per la scomposizione in fattori primi, che è unica, uno stesso numero non può contenere il fattore $2$ sia un numero pari sia un numero dispari di volte. Perciò l’uguaglianza $m^2 = 2 \cdot n^2$ è impossibile, e $\sqrt{2}$ non è una frazione. Ci sono frazioni vicine a $\sqrt{2}$ , come $\dfrac{7}{5} = 1{,}4$ , per cui $7^2 = 49$ è vicino a $2 \cdot 5^2 = 50$ , ma l’uguaglianza esatta non vale mai.

2. Numeri irrazionali

Un numero con infinite cifre decimali non periodiche si chiama irrazionale. In parole, un numero irrazionale è un numero che non si può scrivere come frazione. Sono irrazionali $\sqrt{2} = 1{,}41421\ldots$ , $\sqrt{3} = 1{,}73205\ldots$ e il numero $\pi = 3{,}14159\ldots$ , che è il rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e il suo diametro. Con il ragionamento usato per $\sqrt{2}$ si dimostra che la radice quadrata di un numero naturale è irrazionale ogni volta che il numero non è un quadrato perfetto. Per esempio $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ è irrazionale, mentre $\sqrt{49} = 7$ è razionale. Nei calcoli un numero irrazionale si lascia scritto con il segno di radice, come $5\sqrt{2}$ , oppure si approssima con un numero decimale, come $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ .

3. Numeri reali

I numeri razionali e i numeri irrazionali formano insieme l’insieme dei numeri reali, che si indica con $\mathbb{R}$ . A ogni punto della retta dei numeri corrisponde un numero reale, e a ogni numero reale corrisponde un punto della retta. Il punto che corrisponde a $\sqrt{2}$ si trova con un quadrato di lato $1$ appoggiato sulla retta e un compasso, come mostra la figura.

Gli insiemi numerici sono contenuti l’uno nell’altro. Ogni numero naturale, cioè ogni elemento di $\mathbb{N}$ , è un numero intero, cioè un elemento di $\mathbb{Z}$ ; ogni intero è un numero razionale, elemento di $\mathbb{Q}$ ; ogni razionale è un numero reale. Nei numeri reali ogni numero positivo ha una radice quadrata, mentre tra i numeri razionali nessuno ha quadrato uguale a $2$ .

L'arco di circonferenza con centro in

0

e raggio uguale alla diagonale del quadrato di lato

1

incontra la retta nel punto

2

, compreso tra

1, 41

1, 42

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