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Theory
Numeri relativi e regola dei segni
Che cosa sono i numeri relativi e dove si usano, come si rappresentano sulla retta orientata e si confrontano, come si eseguono con essi le quattro operazioni e le potenze, con la regola dei segni e le espressioni.
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Numeri con il segno
Numeri relativi
Con i numeri naturali la sottrazione è impossibile, perché da oggetti non se ne possono togliere . Molte grandezze, però, possono scendere sotto lo zero, come la temperatura. Per descriverle si usano i numeri con il segno.
Un numero relativo è un numero naturale diverso da zero preceduto dal segno oppure dal segno ; anche lo zero è un numero relativo. I numeri con il segno si chiamano positivi e i numeri con il segno si chiamano negativi, mentre lo zero è privo di segno. In parole semplici, un numero relativo dice quanto si è lontani da un livello di riferimento e da quale parte.
L’insieme dei numeri interi relativi si indica con :
Il numero si legge “più cinque” e il numero si legge “meno cinque”. Il segno dei numeri positivi di solito si omette, quindi e indicano lo stesso numero. Per questo motivo i numeri naturali sono una parte dei numeri relativi .
Temperature, saldi, quote e piani
- Una temperatura di gradi sotto lo zero si scrive °C, e una temperatura di gradi sopra lo zero si scrive °C.
- Il saldo di un conto corrente è la somma di denaro presente sul conto. Con euro sul conto il saldo è euro. Se dal conto si pagano euro, si resta con un debito di euro, e il saldo diventa euro.
- La quota di un punto è la sua altezza rispetto al livello del mare. La cima di una collina alta m ha quota m, e un sub che nuota m sotto la superficie del mare si trova a quota m.
- In un palazzo il piano terra è il piano . I piani sopra sono , , , e i piani interrati, come il garage, sono , .
In tutti questi casi lo zero è il livello di riferimento, e il segno indica da quale parte dello zero ci si trova.
La retta orientata
Retta orientata
I numeri relativi si rappresentano come punti di una retta. Su una retta si sceglie un punto, che corrisponde a e si chiama origine. Poi si sceglie un verso, indicato con una freccia, e una lunghezza che fa da unità di misura. Una retta con questi tre elementi si chiama retta orientata.
A partire dall’origine si segnano delle tacche, ciascuna a un’unità di distanza dalla precedente. Nel verso della freccia, cioè a destra dello zero, si trovano i numeri positivi . Dalla parte opposta, a sinistra dello zero, si trovano i numeri negativi . Per esempio il numero corrisponde al punto che si trova unità a sinistra dello zero.
Sulla retta orientata ogni numero relativo corrisponde a un punto, e su questa rappresentazione si leggono il confronto, l’addizione e la sottrazione. Un termometro è una retta orientata disposta in verticale, con i numeri positivi verso l’alto.
Valore assoluto e numeri opposti
1. Valore assoluto
Il valore assoluto di un numero relativo è il numero scritto senza il segno. Si indica scrivendo il numero tra due barre verticali:
Sulla retta orientata il valore assoluto di un numero è la sua distanza dallo zero, misurata in unità. Per esempio e distano entrambi unità dallo zero, perciò hanno lo stesso valore assoluto. Il valore assoluto serve in tutte le regole di calcolo con i numeri relativi, perché ogni operazione si esegue sui valori assoluti e poi si sceglie il segno del risultato.
2. Numeri concordi e numeri discordi
Due numeri relativi diversi da zero si dicono concordi se hanno lo stesso segno e discordi se hanno segni diversi. Per esempio e sono concordi, perché sono entrambi negativi. I numeri e sono invece discordi. Le regole dell’addizione e della moltiplicazione distinguono proprio questi due casi.
3. Numeri opposti
Due numeri relativi si dicono opposti se hanno lo stesso valore assoluto e segni diversi. Per esempio l’opposto di è , e l’opposto di è . L’opposto di è stesso. Sulla retta orientata due numeri opposti si trovano alla stessa distanza dallo zero, uno a destra e uno a sinistra.
L’opposto di un numero si indica scrivendo il segno davanti al numero racchiuso in parentesi tonde. Per esempio indica l’opposto di e vale , mentre indica l’opposto di e vale . I numeri opposti servono per la sottrazione, che con i numeri relativi diventa un’addizione con l’opposto.
Confronto tra numeri relativi
Tra due numeri relativi è maggiore quello che sulla retta orientata si trova più a destra. Da questo fatto seguono tre regole.
- Ogni numero positivo è maggiore di zero, e zero è maggiore di ogni numero negativo. Per esempio e , quindi anche .
- Tra due numeri positivi è maggiore quello con il valore assoluto maggiore. Per esempio .
- Tra due numeri negativi è maggiore quello con il valore assoluto minore. Per esempio , perché è minore di .
Il simbolo si legge “è maggiore di” e il simbolo si legge “è minore di”. Con il confronto si mettono in ordine i numeri relativi, come le temperature minime di una settimana o i saldi di più conti.
Due mattine d'inverno
Una mattina il termometro segna °C e la mattina dopo segna °C. Il numero si trova a destra di sulla retta orientata, quindi , e la seconda mattina è più calda della prima.
I numeri , , , , si scrivono in ordine crescente, cioè dal più piccolo al più grande, partendo dal numero più a sinistra sulla retta:
Attenzione
Tra due numeri negativi quello con il valore assoluto più grande è il minore. Per esempio , anche se . Un saldo di euro corrisponde infatti a un debito di euro, che è più grande del debito di euro indicato dal saldo euro.
Addizione
1. Addizione di numeri relativi
Per sommare due numeri relativi diversi da zero si distinguono due casi.
- Se i due numeri sono concordi, la somma ha lo stesso segno dei due numeri, e il suo valore assoluto è la somma dei valori assoluti. Per esempio e .
- Se i due numeri sono discordi e hanno valori assoluti diversi, la somma ha il segno del numero con il valore assoluto maggiore, e il suo valore assoluto è la differenza tra il valore assoluto maggiore e quello minore. Per esempio , perché e il numero con il valore assoluto maggiore è .
Se un addendo è , la somma è uguale all’altro addendo, come in . La somma di due numeri opposti è , come in .
Sulla retta orientata, sommare un numero positivo vuol dire spostarsi verso destra, e sommare un numero negativo vuol dire spostarsi verso sinistra, di tante unità quante ne indica il valore assoluto. Per calcolare si parte da e ci si sposta di unità verso sinistra. Con le prime unità si arriva a , e con le altre si arriva a .
Numeri relativi e parentesi tonde
Quando un numero relativo segue il segno di un’operazione, si racchiude in parentesi tonde, così che i due segni restino separati. Si scrive quindi e . Il primo numero di un’espressione si può scrivere anche senza parentesi, perciò si scrive pure .
La temperatura che scende
Alle del mattino la temperatura è °C, e nelle due ore successive scende di altri gradi. Scendere di gradi corrisponde a sommare , quindi la nuova temperatura si ottiene con l’addizione
I due numeri sono concordi, perciò si sommano i valori assoluti, , e si mantiene il segno . Alle la temperatura è quindi °C.
2. Proprietà dell'addizione
Le proprietà dell’addizione dei numeri naturali valgono anche per i numeri relativi.
- Proprietà commutativa: cambiando l’ordine degli addendi la somma resta la stessa. Per esempio e anche .
- Proprietà associativa: in una somma di tre o più addendi si possono sommare prima due addendi qualsiasi, e la somma resta la stessa.
Grazie a queste proprietà, in una somma con molti addendi si possono sommare prima tutti i numeri positivi e poi tutti i numeri negativi:
I numeri positivi danno e i numeri negativi danno . Poiché e sono discordi, la somma è .
Sottrazione e somma algebrica
1. Sottrazione di numeri relativi
Per sottrarre due numeri relativi si somma al primo numero l’opposto del secondo. Per esempio
Con questa regola ogni sottrazione diventa un’addizione. Tra i numeri relativi la sottrazione ha quindi sempre un risultato, anche quando il primo numero è minore del secondo; per esempio .
Dimostrazione
La regola si giustifica con un esempio. Come tra i numeri naturali, la differenza è il numero che sommato a dà ; per esempio perché .
Sulla retta orientata si parte da e si cerca lo spostamento che porta a . Ci si sposta di unità verso destra per arrivare a , e di altre unità per arrivare a . Lo spostamento è quindi di unità verso destra, cioè , perciò la differenza vale .
Lo stesso numero si ottiene sommando a l’opposto di , perché .
Un sub che risale
Un sub si trova a quota m e risale fino a quota m. Lo spostamento è la differenza tra la quota finale e la quota iniziale:
Il risultato è positivo, quindi il sub è salito di m.
2. Somma algebrica
Poiché ogni sottrazione è un’addizione con l’opposto, una catena di addizioni e sottrazioni di numeri relativi si può scrivere come un elenco di numeri con il segno, senza parentesi. Questa scrittura si chiama somma algebrica, e i numeri che la compongono si chiamano termini. Per togliere le parentesi si usano quattro uguaglianze:
In parole semplici, con il segno davanti il numero mantiene il suo segno, e con il segno davanti il numero cambia segno. Per esempio
La somma algebrica si calcola da sinistra a destra, oppure sommando tra loro i termini positivi e tra loro i termini negativi. Nell’esempio i termini positivi danno , i termini negativi danno , e .
3. Segno meno davanti a una somma algebrica
Quando davanti a una somma algebrica racchiusa in parentesi c’è il segno , si tolgono le parentesi cambiando il segno di tutti i termini dell’espressione. Quando davanti c’è il segno , si tolgono le parentesi e ogni termine mantiene il suo segno. Per esempio
Lo stesso risultato si ottiene calcolando prima l’espressione , e poi la differenza . La regola permette di togliere le parentesi da una somma algebrica senza calcolarne prima il contenuto.
Moltiplicazione, divisione e regola dei segni
1. Regola dei segni
Il prodotto di due numeri relativi diversi da zero ha come valore assoluto il prodotto dei valori assoluti. Il segno del prodotto si sceglie con la regola dei segni:
- il prodotto di due numeri concordi è positivo;
- il prodotto di due numeri discordi è negativo.
La regola si riassume nella tabella seguente, in cui si legge il segno del primo fattore nella colonna di sinistra e il segno del secondo fattore nella riga in alto:
Per esempio e , mentre e . Se uno dei fattori è , il prodotto è ; per esempio .
Dimostrazione
La regola si giustifica con alcuni prodotti, nei casi che contengono un numero negativo.
Il prodotto per un numero positivo è un’addizione ripetuta, come tra i numeri naturali. Perciò
Per la proprietà commutativa anche . Quindi il prodotto di due numeri discordi è negativo.
Per il prodotto si sceglie di conservare la proprietà distributiva anche per i numeri relativi. Poiché e ogni numero moltiplicato per dà , vale
Per la proprietà distributiva lo stesso prodotto è uguale a
Questa somma vale quindi . Perciò è il numero che sommato a dà , cioè l’opposto di , e vale . Il prodotto di due numeri negativi è dunque positivo.
Moltiplicazione per meno uno
Moltiplicando un numero per si ottiene il suo opposto. Per esempio e . Sulla retta orientata il prodotto per porta ogni numero nel punto simmetrico rispetto allo zero.
Moltiplicando due volte per si torna al numero di partenza, e questo è un altro modo di vedere che .
2. Prodotto di più fattori
In un prodotto di più fattori diversi da zero il valore assoluto è il prodotto dei valori assoluti, e il segno dipende da quanti sono i fattori negativi:
- se i fattori negativi sono in numero pari, il prodotto è positivo;
- se i fattori negativi sono in numero dispari, il prodotto è negativo.
Per esempio , perché i fattori negativi sono due. La regola segue dalla regola dei segni applicata a due fattori alla volta. Nel prodotto si trova , poi , infine ; i fattori negativi sono tre, e il prodotto è negativo.
3. Divisione di numeri relativi
Il quoziente di due numeri relativi, con il divisore diverso da zero, è il numero che moltiplicato per il divisore dà il dividendo. Per esempio , perché . Per questo motivo il segno del quoziente segue la stessa regola dei segni del prodotto:
- il quoziente di due numeri concordi è positivo, come in ;
- il quoziente di due numeri discordi è negativo, come in .
Il valore assoluto del quoziente è il quoziente dei valori assoluti. In questo argomento si considerano soltanto divisioni con risultato intero. Il risultato di una divisione come è un numero non intero, e numeri di questo tipo si studiano nell’argomento sulle frazioni.
Attenzione
Anche tra i numeri relativi la divisione per zero è priva di significato. Per esempio non esiste, perché nessun numero moltiplicato per dà . Invece , perché .
Potenze di numeri relativi
Segno di una potenza
La potenza, definita nell’argomento sui numeri naturali, è un prodotto di fattori uguali alla base. Per esempio . Il valore assoluto di una potenza è la potenza del valore assoluto della base. Per il segno, la regola del prodotto di più fattori dà tre casi:
- una potenza con base positiva è positiva;
- una potenza con base negativa ed esponente pari è positiva, perché i fattori negativi sono in numero pari;
- una potenza con base negativa ed esponente dispari è negativa, perché i fattori negativi sono in numero dispari.
Per esempio
Con la stessa regola , perché è pari, e , perché è dispari. Il segno di una potenza dipende quindi soltanto dal segno della base e dalla parità dell’esponente.
Attenzione
Le scritture e indicano numeri diversi. In la base è , quindi . In la base è , e il segno davanti indica l’opposto della potenza, perciò . Allo stesso modo , mentre .
Con esponente dispari, invece, i due numeri coincidono, perché e anche .
Espressioni con i numeri relativi
Un’espressione con i numeri relativi è una sequenza di numeri relativi legati dai segni delle operazioni e dalle parentesi. Si calcola con lo stesso ordine delle operazioni usato per i numeri naturali, e in ogni operazione si applica la regola dei segni corrispondente. Per esempio
La moltiplicazione e la divisione si eseguono prima della sottrazione. Il prodotto ha fattori discordi e vale ; anche il quoziente ha numeri discordi e vale . Infine la sottrazione di diventa l’addizione di .
Un'espressione con tre tipi di parentesi
Prima si calcolano le potenze. La base ha esponente dispari, quindi ; la base ha esponente pari, quindi , e il segno davanti a dà . Poi , perché i numeri sono discordi e . Il prodotto ha fattori concordi e vale , e poi . Infine il quoziente ha numeri discordi, perciò l’espressione vale .