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Theory

Scomposizione in fattori e frazioni algebriche

Come si scrive un polinomio come prodotto di fattori con il raccoglimento, i prodotti notevoli e il trinomio con somma e prodotto, come si calcolano MCD e mcm di polinomi e come si semplificano e si combinano le frazioni algebriche con le loro condizioni di esistenza.

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Che cosa vuol dire scomporre
Raccoglimento totale e parziale
Differenza di quadrati e quadrato di un binomio
Trinomio con somma e prodotto
Somma e differenza di cubi
MCD e mcm di polinomi
Frazioni algebriche e condizioni di esistenza
Semplificazione delle frazioni algebriche
Operazioni con le frazioni algebriche

Che cosa vuol dire scomporre

1. Scomposizione in fattori

Scomporre in fattori un polinomio significa scriverlo come prodotto di polinomi di grado più basso. Ciascun polinomio del prodotto si chiama fattore. Il grado di un polinomio in $x$ è l’esponente più alto con cui compare $x$ , come si è visto nell’argomento su monomi e polinomi.

In parole semplici, si trasforma una somma in una moltiplicazione, come si fa con un numero quando si scrive $12 = 2^2 \cdot 3$ . Per esempio

x^2 + 3x = x\,(x + 3) .

Il polinomio $x^2 + 3x$ ha grado $2$ , mentre i fattori $x$ e $x + 3$ hanno grado $1$ . Le due scritture danno lo stesso valore per ogni numero messo al posto di $x$ . Con $x = 2$ si ha $4 + 6 = 10$ e anche $2 \cdot 5 = 10$ .

La scomposizione serve a semplificare le frazioni algebriche, cioè le frazioni con le lettere, e a trovare i numeri che rendono nullo un polinomio.

Una scomposizione si controlla moltiplicando

Per controllare che $(x - 2)(x + 5)$ sia la scomposizione di $x^2 + 3x - 10$ si moltiplicano i due fattori:

\begin{aligned} (x - 2)(x + 5) &= x^2 + 5x - 2x - 10 \\[6pt] &= x^2 + 3x - 10 . \end{aligned}

Il prodotto coincide con il polinomio di partenza, quindi la scomposizione è corretta.

2. Polinomio irriducibile e scomposizione completa

Un polinomio che non si può scrivere come prodotto di polinomi di grado più basso si dice irriducibile. Ogni polinomio di primo grado, come $x + 3$ o $2x - 5$ , è irriducibile. Una scomposizione è completa quando tutti i fattori, esclusi i numeri, sono irriducibili.

Ogni polinomio di primo grado vale zero per un numero. Per esempio $x - 2$ vale zero per $x = 2$ , e $2x + 1$ vale zero per $x = -\dfrac{1}{2}$ , perché $2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) + 1 = 0$ . Un prodotto che contiene il fattore $x - 2$ vale quindi zero per $x = 2$ . Il polinomio $x^2 + 4$ invece non vale mai zero, perché $x^2$ è maggiore o uguale a $0$ e perciò $x^2 + 4 \geq 4$ . Quindi $x^2 + 4$ non ha fattori di primo grado ed è irriducibile.

Raccoglimento totale e parziale

1. Raccoglimento totale

Se tutti i termini di un polinomio hanno un fattore in comune, il polinomio è uguale al prodotto di quel fattore per il polinomio che si ottiene dividendo ogni termine per il fattore. Questo metodo si chiama raccoglimento totale, oppure raccoglimento a fattore comune.

È la proprietà distributiva letta da destra a sinistra. Per esempio

3x + 6 = 3 \cdot x + 3 \cdot 2 = 3\,(x + 2) .

Con $x = 1$ il polinomio vale $3 + 6 = 9$ e il prodotto vale $3 \cdot 3 = 9$ .

Il rettangolo di lati

x

x + 3

è formato da un quadrato di area

x^{2}

e da un rettangolo di area

3 x

, quindi

x^{2} + 3 x = x (x + 3)

Come si sceglie il fattore comune

Il fattore comune è formato dal MCD dei coefficienti e dalle lettere presenti in tutti i termini, ciascuna con l’esponente più piccolo.

Nel polinomio $6x^3 - 9x^2$ i coefficienti sono $6$ e $9$ , e $\operatorname{MCD}(6, 9) = 3$ . La lettera $x$ compare in entrambi i termini, con esponente più piccolo $2$ . Il fattore comune è quindi $3x^2$ . Dividendo i termini si ottiene $\dfrac{6x^3}{3x^2} = 2x$ e $\dfrac{9x^2}{3x^2} = 3$ , perciò

6x^3 - 9x^2 = 3x^2\,(2x - 3) .

Allo stesso modo $10x^2 y - 15xy^2 = 5xy\,(2x - 3y)$ , perché $\operatorname{MCD}(10, 15) = 5$ e le lettere $x$ e $y$ compaiono in entrambi i termini con esponente più piccolo $1$ .

Attenzione

Quando un termine coincide con il fattore comune, nel secondo fattore al suo posto resta $1$ , perché il termine diviso per se stesso dà $1$ . Per esempio $5x^2 + 5x = 5x\,(x + 1)$ . La scrittura $5x \cdot x$ è sbagliata. Con $x = 1$ il polinomio vale $5 + 5 = 10$ , mentre $5x \cdot x$ vale $5$ .

Osservazione

Il fattore comune può essere un binomio. In $3x\,(x - 2) + 5\,(x - 2)$ entrambi i termini contengono $x - 2$ , quindi

3x\,(x - 2) + 5\,(x - 2) = (x - 2)(3x + 5) .

Si può raccogliere anche un numero negativo. Per esempio $-2x - 6 = -2\,(x + 3)$ , perché $-2 \cdot x = -2x$ e $-2 \cdot 3 = -6$ .

2. Raccoglimento parziale

Quando i termini non hanno un fattore comune a tutti, si possono dividere in gruppi e fare un raccoglimento totale in ciascun gruppo. Se i gruppi danno lo stesso polinomio, questo si raccoglie a sua volta. Il metodo si chiama raccoglimento parziale. Per esempio

\begin{aligned} ax + ay + 2x + 2y &= a\,(x + y) + 2\,(x + y) \\[6pt] &= (x + y)(a + 2) . \end{aligned}

Nel primo gruppo si raccoglie $a$ , nel secondo si raccoglie $2$ , e in entrambi i gruppi resta $x + y$ . Con $a = 1$ , $x = 3$ e $y = 4$ il polinomio vale $3 + 4 + 6 + 8 = 21$ e il prodotto vale $7 \cdot 3 = 21$ .

Raccoglimento parziale con una sola lettera

Nel polinomio $x^3 - 2x^2 + 3x - 6$ si raggruppano i primi due termini e gli ultimi due:

\begin{aligned} x^3 - 2x^2 + 3x - 6 &= x^2\,(x - 2) + 3\,(x - 2) \\[6pt] &= (x - 2)(x^2 + 3) . \end{aligned}

La scomposizione è completa, perché $x - 2$ ha grado $1$ e $x^2 + 3$ non vale mai zero, dato che $x^2 + 3 \geq 3$ .

Osservazione

A volte in un gruppo si raccoglie un numero negativo, per ottenere lo stesso polinomio dell’altro gruppo. Nel polinomio $ax - ay - 2x + 2y$ si raccoglie $-2$ negli ultimi due termini, perché $-2 \cdot x = -2x$ e $-2 \cdot (-y) = 2y$ :

\begin{aligned} ax - ay - 2x + 2y &= a\,(x - y) - 2\,(x - y) \\[6pt] &= (x - y)(a - 2) . \end{aligned}

Differenza di quadrati e quadrato di un binomio

1. Differenza di quadrati

La base di un quadrato è il numero o il monomio che, elevato al quadrato, lo dà. Una differenza di due quadrati è uguale al prodotto della somma per la differenza delle basi:

a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) .

Per esempio la base di $9$ è $3$ e la base di $4x^2$ è $2x$ . Perciò

x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3) , \qquad 4x^2 - 25 = (2x + 5)(2x - 5) .

La regola serve anche nei calcoli con i numeri. Per esempio $10^2 - 3^2 = 13 \cdot 7 = 91$ , e infatti $100 - 9 = 91$ .

Dal quadrato di lato

a

si toglie il quadrato di lato

b

; i due pezzi

A

B

rimasti formano un rettangolo di lati

a + b

a - b

, quindi

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

Attenzione

La somma di due quadrati, come $x^2 + 9$ , è diversa da $(x + 3)(x - 3)$ e da $(x + 3)^2$ . Infatti $(x + 3)(x - 3) = x^2 - 9$ e $(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$ . Con $x = 1$ il binomio $x^2 + 9$ vale $10$ , mentre $(x + 3)(x - 3)$ vale $-8$ e $(x + 3)^2$ vale $16$ . Il binomio $x^2 + 9$ è irriducibile, perché $x^2 + 9 \geq 9$ e quindi non vale mai zero.

2. Trinomio quadrato di un binomio

Un trinomio in cui due termini sono quadrati e il terzo è il doppio prodotto delle loro basi è il quadrato di un binomio:

a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 , \qquad a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 .

Il segno nel binomio è il segno del doppio prodotto. Nel trinomio $x^2 + 6x + 9$ i quadrati sono $x^2$ e $9 = 3^2$ , e il doppio prodotto delle basi è $2 \cdot x \cdot 3 = 6x$ , quindi

x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 .

Nel trinomio $4x^2 - 20x + 25$ le basi sono $2x$ e $5$ , e $2 \cdot 2x \cdot 5 = 20x$ . Il doppio prodotto ha il segno meno, perciò $4x^2 - 20x + 25 = (2x - 5)^2$ .

Il quadrato di lato

x + 3

è formato da un quadrato di area

x^{2}

, da due rettangoli di area

3 x

e da un quadrato di area

9

, quindi

(x + 3)^{2} = x^{2} + 6 x + 9

Attenzione

Il trinomio $x^2 + 2x + 4$ è diverso da $(x + 2)^2$ . I termini $x^2$ e $4$ sono quadrati con basi $x$ e $2$ , ma il doppio prodotto delle basi è $2 \cdot x \cdot 2 = 4x$ , e nel trinomio il termine di primo grado è $2x$ . Infatti $(x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4$ . Con $x = 1$ il trinomio vale $7$ e $(x + 2)^2$ vale $9$ .

Trinomio con somma e prodotto

Trinomio di secondo grado con somma e prodotto

Si considera un trinomio $x^2 + sx + p$ , in cui il coefficiente di $x^2$ è $1$ . Se due numeri $a$ e $b$ soddisfano

\begin{cases} a + b = s \\ a \cdot b = p \end{cases}

allora

x^2 + sx + p = (x + a)(x + b) .

In parole, si cercano due numeri che hanno per somma il coefficiente di $x$ e per prodotto il termine senza $x$ . La regola segue dal prodotto

(x + a)(x + b) = x^2 + bx + ax + ab = x^2 + (a + b)\,x + ab .

Per esempio $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$ , perché $2 + 3 = 5$ e $2 \cdot 3 = 6$ .

Il rettangolo di lati

x + 2

x + 3

ha area

x^{2} + 3 x + 2 x + 6 = x^{2} + 5 x + 6

; il termine

6

è il prodotto

2 \cdot 3

e il coefficiente

5

è la somma

2 + 3

Come si cercano i due numeri

Si parte dal prodotto, perché le coppie di numeri interi con un prodotto dato sono poche, e il segno si sceglie con la regola dei segni vista nell’argomento sui numeri relativi.

Nel trinomio $x^2 - 8x + 15$ il prodotto $15$ è positivo, quindi i due numeri hanno lo stesso segno. La somma $-8$ è negativa, perciò sono entrambi negativi. Tra le coppie $(-1, -15)$ e $(-3, -5)$ solo la seconda ha somma $-8$ , quindi

x^2 - 8x + 15 = (x - 3)(x - 5) .

Nel trinomio $x^2 - x - 6$ il prodotto $-6$ è negativo, quindi i due numeri hanno segni opposti. La coppia $2$ e $-3$ ha prodotto $-6$ e somma $-1$ , perciò $x^2 - x - 6 = (x + 2)(x - 3)$ .

Osservazione

Se il coefficiente di $x^2$ è diverso da $1$ ma divide tutti i coefficienti, prima si fa il raccoglimento totale. Per esempio

2x^2 + 10x + 12 = 2\,(x^2 + 5x + 6) = 2\,(x + 2)(x + 3) .

Se nessuna coppia di numeri interi ha la somma e il prodotto richiesti, come accade per $x^2 + x + 1$ , questo metodo non si applica.

Somma e differenza di cubi

Per tutti i numeri $a$ e $b$ valgono

a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) ,

a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) .

La seconda uguaglianza si controlla moltiplicando, perché i termini centrali si annullano a coppie:

\begin{aligned} (a - b)(a^2 + ab + b^2) &= a^3 + a^2 b + ab^2 - a^2 b - ab^2 - b^3 \\[6pt] &= a^3 - b^3 . \end{aligned}

La prima si controlla allo stesso modo. Per esempio

x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4) , \qquad 27x^3 + 1 = (3x + 1)(9x^2 - 3x + 1) ,

perché $8 = 2^3$ , $27x^3 = (3x)^3$ e $1 = 1^3$ . Con i numeri, $3^3 - 1^3 = 27 - 1 = 26$ e $(3 - 1)(9 + 3 + 1) = 2 \cdot 13 = 26$ .

Falso quadrato

Il trinomio $a^2 + ab + b^2$ , e anche $a^2 - ab + b^2$ , si chiama falso quadrato, perché assomiglia al quadrato di un binomio ma ha il termine $ab$ al posto del doppio prodotto $2ab$ . Un falso quadrato è irriducibile. Per esempio $x^2 + 2x + 4$ si scrive

x^2 + 2x + 4 = x^2 + 2x + 1 + 3 = (x + 1)^2 + 3 .

Il quadrato $(x + 1)^2$ è maggiore o uguale a $0$ , quindi $x^2 + 2x + 4 \geq 3$ per ogni $x$ . Il trinomio non vale mai zero e perciò non ha fattori di primo grado. La scomposizione $x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$ è quindi completa.

Ordine dei metodi per una scomposizione completa

Per ottenere una scomposizione completa si applicano i metodi in quest’ordine.

Raccoglimento totale, se c’è un fattore comune a tutti i termini.
Con due termini, differenza di quadrati oppure somma o differenza di cubi.
Con tre termini, quadrato di un binomio oppure trinomio con somma e prodotto.
Con quattro termini, raccoglimento parziale.

Su ogni fattore ottenuto si ricomincia dal primo passo, finché tutti i fattori sono irriducibili. Per esempio

2x^3 - 18x = 2x\,(x^2 - 9) = 2x\,(x + 3)(x - 3) ,

x^4 - 16 = (x^2 + 4)(x^2 - 4) = (x^2 + 4)(x + 2)(x - 2) .

Nel secondo esempio $x^4 = (x^2)^2$ e $16 = 4^2$ , quindi la differenza di quadrati si applica due volte. Il fattore $x^2 + 4$ è irriducibile, perché $x^2 + 4 \geq 4$ .

MCD e mcm di polinomi

Il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo di due o più polinomi si calcolano come per i numeri, dopo aver fatto la scomposizione completa di ciascun polinomio.

Il $\operatorname{MCD}$ è il prodotto dei fattori comuni a tutti i polinomi, ciascuno con l’esponente più piccolo.
Il $\operatorname{mcm}$ è il prodotto di tutti i fattori, comuni e non comuni, ciascuno con l’esponente più grande.

Per i numeri $12 = 2^2 \cdot 3$ e $18 = 2 \cdot 3^2$ si ottiene $\operatorname{MCD}(12, 18) = 2 \cdot 3 = 6$ e $\operatorname{mcm}(12, 18) = 2^2 \cdot 3^2 = 36$ . Per i polinomi $x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$ e $x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$ si ottiene

\operatorname{MCD} = x + 2 , \qquad \operatorname{mcm} = (x + 2)^2 (x - 2) .

Il $\operatorname{MCD}$ serve a semplificare le frazioni algebriche e il $\operatorname{mcm}$ è il denominatore comune nella loro somma.

MCD e mcm con un fattore numerico

Si considerano $6x^2 + 6x$ e $4x^2 - 4$ . Le scomposizioni complete sono

6x^2 + 6x = 2 \cdot 3 \cdot x\,(x + 1) , \qquad 4x^2 - 4 = 2^2 \,(x + 1)(x - 1) .

I fattori comuni sono $2$ e $x + 1$ , con esponente più piccolo $1$ , quindi $\operatorname{MCD} = 2\,(x + 1)$ . Nel $\operatorname{mcm}$ entrano $2^2$ , $3$ , $x$ , $x + 1$ e $x - 1$ , perciò $\operatorname{mcm} = 12x\,(x + 1)(x - 1)$ .

Frazioni algebriche e condizioni di esistenza

1. Frazione algebrica

Una frazione algebrica è un quoziente $\dfrac{A}{B}$ in cui il numeratore $A$ e il denominatore $B$ sono polinomi, e $B$ contiene la lettera. In parole semplici, è una frazione con le lettere. Per esempio

\frac{2x + 1}{x^2 - 4x}

è una frazione algebrica. Sostituendo un numero al posto di $x$ si ottiene una frazione tra numeri. Con $x = 2$ si ha $\dfrac{4 + 1}{4 - 8} = \dfrac{5}{-4} = -\dfrac{5}{4}$ .

2. Condizioni di esistenza

La divisione per zero non ha significato, quindi da una frazione algebrica si escludono i numeri che rendono nullo il denominatore. Le condizioni di esistenza sono le condizioni che $x$ deve soddisfare perché il denominatore sia diverso da zero. In parole semplici, dicono quali numeri si possono mettere al posto di $x$ .

Nella frazione $\dfrac{2x + 1}{x^2 - 4x}$ , con $x = 4$ il denominatore vale $16 - 16 = 0$ e si ottiene $\dfrac{9}{0}$ , che non ha significato. Il valore $x = 4$ è perciò escluso.

3. Legge di annullamento del prodotto

Un prodotto vale zero se e solo se almeno uno dei fattori vale zero.

Per esempio $3 \cdot 0 = 0$ , mentre un prodotto di numeri tutti diversi da zero, come $2 \cdot (-5) = -10$ , è diverso da zero. La legge serve a trovare i valori esclusi, perché un denominatore scomposto in fattori vale zero esattamente quando vale zero uno dei suoi fattori.

Nella frazione $\dfrac{2x + 1}{x^2 - 4x}$ il denominatore si scompone con un raccoglimento totale, $x^2 - 4x = x\,(x - 4)$ . Il fattore $x$ vale zero per $x = 0$ , e il fattore $x - 4$ vale zero per $x = 4$ , perché $4 - 4 = 0$ . Le due condizioni vanno soddisfatte insieme, quindi le condizioni di esistenza sono

\begin{cases} x \neq 0 \\ x \neq 4 \end{cases}

Per la frazione

\frac{2 x + 1}{x ^{2} - 4 x}

sono esclusi i valori

x = 0

x = 4

, segnati con un cerchio vuoto; tutti gli altri numeri sono ammessi

Semplificazione delle frazioni algebriche

Semplificazione di una frazione algebrica

Per semplificare una frazione algebrica si scompongono numeratore e denominatore, si scrivono le condizioni di esistenza e si dividono numeratore e denominatore per i fattori comuni, cioè per il loro $\operatorname{MCD}$ . Per la proprietà invariantiva la frazione ottenuta è equivalente a quella di partenza, per tutti i valori ammessi di $x$ . Per esempio

\frac{x^2 - 9}{x^2 + 3x} = \frac{(x + 3)(x - 3)}{x\,(x + 3)} = \frac{x - 3}{x} , \qquad \begin{cases} x \neq 0 \\ x \neq -3 \end{cases}

Il fattore comune $x + 3$ è diverso da zero per tutti i valori ammessi, quindi la divisione per $x + 3$ è lecita. Con $x = 1$ la frazione di partenza vale $\dfrac{1 - 9}{1 + 3} = \dfrac{-8}{4} = -2$ e la frazione semplificata vale $\dfrac{1 - 3}{1} = -2$ .

Attenzione

Le condizioni di esistenza si scrivono sulla frazione di partenza, prima di semplificare. La frazione $\dfrac{x - 3}{x}$ ha significato anche per $x = -3$ , ma la frazione $\dfrac{x^2 - 9}{x^2 + 3x}$ con $x = -3$ diventa $\dfrac{0}{0}$ , che non ha significato. Perciò anche dopo la semplificazione resta la condizione $x \neq -3$ .

Attenzione

Si semplificano soltanto i fattori comuni a numeratore e denominatore, e mai i singoli termini di una somma. La frazione $\dfrac{x + 3}{x + 5}$ è diversa da $\dfrac{3}{5}$ . Con $x = 1$ la frazione vale $\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ , che è diverso da $\dfrac{3}{5}$ .

Operazioni con le frazioni algebriche

1. Somma e differenza di frazioni algebriche

Due frazioni algebriche si sommano, o si sottraggono, come le frazioni tra numeri. Il denominatore comune è il $\operatorname{mcm}$ dei denominatori; ogni numeratore si moltiplica per il quoziente tra il denominatore comune e il proprio denominatore. Con i numeri si ha

\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} .

Con le lettere, per $x \neq 1$ e $x \neq -1$ , il denominatore comune di $\dfrac{1}{x - 1}$ e $\dfrac{2}{x + 1}$ è $(x - 1)(x + 1)$ , quindi

\begin{aligned} \frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1} &= \frac{(x + 1) + 2\,(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} \\[6pt] &= \frac{x + 1 + 2x - 2}{(x - 1)(x + 1)} \\[6pt] &= \frac{3x - 1}{(x - 1)(x + 1)} . \end{aligned}

Con $x = 2$ la somma di partenza vale $1 + \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{3}$ e il risultato vale $\dfrac{6 - 1}{1 \cdot 3} = \dfrac{5}{3}$ .

2. Prodotto e quoziente di frazioni algebriche

Il prodotto di due frazioni algebriche ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori. Il quoziente si ottiene moltiplicando la prima frazione per il reciproco della seconda, cioè per la frazione con numeratore e denominatore scambiati. Prima di moltiplicare si scompone tutto e si semplificano i fattori comuni. Per esempio, con $x \neq -2$ e $x \neq 1$ ,

\begin{aligned} \frac{x^2 - 1}{x + 2} \cdot \frac{3x + 6}{x - 1} &= \frac{(x + 1)(x - 1)}{x + 2} \cdot \frac{3\,(x + 2)}{x - 1} \\[6pt] &= 3\,(x + 1) . \end{aligned}

Nel quoziente anche il numeratore della seconda frazione va al denominatore, quindi anche quel numeratore deve essere diverso da zero. Nel quoziente

\frac{x}{x + 3} : \frac{x^2}{x^2 - 9}

il denominatore $x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)$ dà le condizioni $x \neq -3$ e $x \neq 3$ , e il numeratore $x^2$ della seconda frazione dà la condizione $x \neq 0$ . Le condizioni di esistenza sono perciò

\begin{cases} x \neq -3 \\ x \neq 3 \\ x \neq 0 \end{cases}

e il quoziente vale

\frac{x}{x + 3} \cdot \frac{(x + 3)(x - 3)}{x^2} = \frac{x - 3}{x} .

Con $x = 1$ il quoziente di partenza è $\dfrac{1}{4} : \left(-\dfrac{1}{8}\right) = \dfrac{1}{4} \cdot (-8) = -2$ , e il risultato è $\dfrac{1 - 3}{1} = -2$ .

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