Equazioni intere con prodotti e prodotti notevoli

Theory used: Risoluzione di un'equazione intera Equazione intera di primo grado Regola del trasporto Secondo principio di equivalenza

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Esercizio 1

Risolvi l’equazione $3\,(x - 4) = x + 2$ .

\begin{aligned} 3\,(x - 4) &= x + 2 \\[6pt] 3x - 12 &= x + 2 \\[6pt] 3x - x &= 2 + 12 \\[6pt] 2x &= 14 \\[6pt] x &= 7 \end{aligned}

L’equazione ha soluzione $x = 7$ .

Il primo passo è svolgere il prodotto. Per la proprietà distributiva il $3$ moltiplica entrambi i termini di $x - 4$ , quindi $3\,(x - 4) = 3x - 12$ .

Con la regola del trasporto si porta $x$ al primo membro, dove diventa $-x$ , e si porta $-12$ al secondo membro, dove diventa $+12$ . Si ottiene $2x = 14$ , e dividendo entrambi i membri per $2$ si trova $x = 7$ .

La verifica dà $3 \cdot (7 - 4) = 3 \cdot 3 = 9$ al primo membro e $7 + 2 = 9$ al secondo, perciò la soluzione è corretta.

Esercizio 2

Risolvi l’equazione $5\,(x + 1) - 2\,(3x - 4) = 2x - 5$ .

\begin{aligned} 5\,(x + 1) - 2\,(3x - 4) &= 2x - 5 \\[6pt] 5x + 5 - 6x + 8 &= 2x - 5 \\[6pt] -x + 13 &= 2x - 5 \\[6pt] -x - 2x &= -5 - 13 \\[6pt] -3x &= -18 \\[6pt] x &= 6 \end{aligned}

L’equazione ha soluzione $x = 6$ .

Si svolgono i due prodotti con la proprietà distributiva. Il primo dà $5x + 5$ . Nel secondo il fattore è $-2$ , che moltiplica sia $3x$ sia $-4$ , quindi si ottiene $-6x + 8$ , perché $(-2) \cdot (-4) = 8$ per la regola dei segni.

Al primo membro si sommano i termini simili. I termini con la $x$ danno $5x - 6x = -x$ , e i numeri danno $5 + 8 = 13$ , quindi il primo membro è $-x + 13$ .

Con la regola del trasporto si porta $2x$ al primo membro e $13$ al secondo, cambiando il segno di entrambi. Si ottiene $-3x = -18$ . Dividendo entrambi i membri per $-3$ si trova $x = \dfrac{-18}{-3} = 6$ , perché il quoziente di due numeri negativi è positivo.

La verifica dà $5 \cdot (6 + 1) - 2 \cdot (18 - 4) = 35 - 28 = 7$ al primo membro e $2 \cdot 6 - 5 = 12 - 5 = 7$ al secondo.

Esercizio 3

Risolvi l’equazione $(x + 2)(x - 3) = x^2 + 4$ .

\begin{aligned} (x + 2)(x - 3) &= x^2 + 4 \\[6pt] x^2 - 3x + 2x - 6 &= x^2 + 4 \\[6pt] x^2 - x - 6 &= x^2 + 4 \\[6pt] -x &= 4 + 6 \\[6pt] -x &= 10 \\[6pt] x &= -10 \end{aligned}

L’equazione ha soluzione $x = -10$ .

Il prodotto di due polinomi si svolge moltiplicando ogni termine del primo per ogni termine del secondo. Si ottengono $x \cdot x = x^2$ , $x \cdot (-3) = -3x$ , $2 \cdot x = 2x$ e $2 \cdot (-3) = -6$ . I termini $-3x$ e $2x$ sono simili e danno $-x$ .

Il termine $x^2$ compare in entrambi i membri. Per il primo principio lo si toglie da entrambi, quindi l’equazione è di primo grado. Trasportando $-6$ al secondo membro si ottiene $-x = 10$ , e moltiplicando entrambi i membri per $-1$ si trova $x = -10$ .

La verifica dà $(-10 + 2)(-10 - 3) = (-8) \cdot (-13) = 104$ al primo membro e $(-10)^2 + 4 = 100 + 4 = 104$ al secondo.

Esercizio 4

Risolvi l’equazione $(2x - 1)^2 - 4\,(x + 1)(x - 1) = 9$ .

\begin{aligned} (2x - 1)^2 - 4\,(x + 1)(x - 1) &= 9 \\[6pt] 4x^2 - 4x + 1 - 4\,(x^2 - 1) &= 9 \\[6pt] 4x^2 - 4x + 1 - 4x^2 + 4 &= 9 \\[6pt] -4x + 5 &= 9 \\[6pt] -4x &= 4 \\[6pt] x &= -1 \end{aligned}

L’equazione ha soluzione $x = -1$ .

Nell’equazione compaiono due prodotti notevoli. Per il quadrato di un binomio si ha $(2x - 1)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 - 4x + 1$ . Per la somma per differenza si ha $(x + 1)(x - 1) = x^2 - 1$ .

Il fattore $-4$ moltiplica entrambi i termini di $x^2 - 1$ , quindi dà $-4x^2 + 4$ . I termini $4x^2$ e $-4x^2$ si annullano, e i numeri danno $1 + 4 = 5$ . Al primo membro resta $-4x + 5$ .

Trasportando $5$ al secondo membro si ottiene $-4x = 9 - 5 = 4$ . Dividendo entrambi i membri per $-4$ si trova $x = -1$ .

Nella verifica $(2 \cdot (-1) - 1)^2 = (-3)^2 = 9$ , mentre $(x + 1)(x - 1)$ con $x = -1$ vale $0 \cdot (-2) = 0$ . Il primo membro vale quindi $9 - 0 = 9$ , uguale al secondo.