Equazioni determinate, impossibili e indeterminate

Theory used: Equazioni determinate, impossibili e indeterminate Risoluzione di un'equazione intera Eliminazione dei denominatori Uguaglianza e identità

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Esercizio 1

Risolvi l’equazione $5\,(x - 2) + 3 = 3\,(x - 1) + 2\,(x - 2)$ .

\begin{aligned} 5\,(x - 2) + 3 &= 3\,(x - 1) + 2\,(x - 2) \\[6pt] 5x - 10 + 3 &= 3x - 3 + 2x - 4 \\[6pt] 5x - 7 &= 5x - 7 \\[6pt] 5x - 5x &= -7 + 7 \\[6pt] 0 \cdot x &= 0 \end{aligned}

L’equazione è indeterminata, quindi ogni numero è soluzione.

Con la proprietà distributiva si svolgono i prodotti. Al primo membro $5x - 10 + 3 = 5x - 7$ . Al secondo membro i termini con la $x$ danno $3x + 2x = 5x$ e i numeri danno $-3 - 4 = -7$ , quindi anche il secondo membro è $5x - 7$ .

I due membri sono la stessa espressione. Trasportando i termini si arriva a $0 \cdot x = 0$ , che è vera per ogni valore di $x$ . Perciò l’equazione è indeterminata, e l’uguaglianza di partenza è un’identità.

Con $x = 0$ , per esempio, entrambi i membri valgono $-7$ , e con $x = 3$ entrambi valgono $8$ .

Esercizio 2

Risolvi l’equazione $3\,(x - 2) + x = 2\,(2x - 1)$ .

\begin{aligned} 3\,(x - 2) + x &= 2\,(2x - 1) \\[6pt] 3x - 6 + x &= 4x - 2 \\[6pt] 4x - 6 &= 4x - 2 \\[6pt] 4x - 4x &= -2 + 6 \\[6pt] 0 \cdot x &= 4 \end{aligned}

L’equazione è impossibile, quindi non ha soluzioni.

Al primo membro $3\,(x - 2) = 3x - 6$ , e aggiungendo $x$ si ottiene $4x - 6$ . Al secondo membro $2\,(2x - 1) = 4x - 2$ .

Con la regola del trasporto si porta $4x$ al primo membro e $-6$ al secondo. I termini con la $x$ si annullano e si ottiene $0 \cdot x = 4$ . Il primo membro vale $0$ qualunque numero si metta al posto di $x$ , quindi non è mai uguale a $4$ . L’equazione è perciò impossibile.

Il primo membro $4x - 6$ è sempre minore del secondo $4x - 2$ , e la differenza è sempre $4$ . Con $x = 1$ , per esempio, i due membri valgono $-2$ e $2$ .

Esercizio 3

Risolvi l’equazione $2\,(x + 3) - (x - 1) = 2x + 7$ .

\begin{aligned} 2\,(x + 3) - (x - 1) &= 2x + 7 \\[6pt] 2x + 6 - x + 1 &= 2x + 7 \\[6pt] x + 7 &= 2x + 7 \\[6pt] x - 2x &= 7 - 7 \\[6pt] -x &= 0 \\[6pt] x &= 0 \end{aligned}

L’equazione è determinata e ha soluzione $x = 0$ .

Il prodotto $2\,(x + 3)$ dà $2x + 6$ . Il segno meno davanti a $(x - 1)$ cambia il segno di entrambi i termini, quindi si scrive $-x + 1$ . Al primo membro resta $x + 7$ .

Con la regola del trasporto si ottiene $-x = 0$ . Il coefficiente della $x$ è $-1$ , che è diverso da zero, quindi l’equazione è determinata. Moltiplicando entrambi i membri per $-1$ si trova $x = 0$ .

La soluzione è il numero $0$ . Nella verifica il primo membro vale $2 \cdot 3 - (-1) = 6 + 1 = 7$ e il secondo vale $0 + 7 = 7$ , quindi la soluzione è corretta.

Esercizio 4

Risolvi l’equazione

\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = \frac{5x}{6} + 1 .

\operatorname{mcm}(2, 3, 6) = 6

\begin{aligned} 3x + 2x &= 5x + 6 \\[6pt] 5x - 5x &= 6 \\[6pt] 0 \cdot x &= 6 \end{aligned}

L’equazione è impossibile, quindi non ha soluzioni.

Il minimo comune multiplo dei denominatori $2$ , $3$ e $6$ è $6$ . Moltiplicando tutti i termini per $6$ si ha $6 \cdot \dfrac{x}{2} = 3x$ , $6 \cdot \dfrac{x}{3} = 2x$ , $6 \cdot \dfrac{5x}{6} = 5x$ e $6 \cdot 1 = 6$ .

Al primo membro $3x + 2x = 5x$ . Trasportando $5x$ al primo membro si ottiene $0 \cdot x = 6$ , che non è vera per nessun valore di $x$ . L’equazione è quindi impossibile.

Il primo membro è $\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} = \dfrac{3x}{6} + \dfrac{2x}{6} = \dfrac{5x}{6}$ per ogni $x$ , mentre il secondo membro è $\dfrac{5x}{6} + 1$ . Perciò il secondo membro supera sempre il primo di $1$ .