Problemi con i numeri e con le età

Theory used: Come si imposta un problema Dalle parole ai simboli Numeri consecutivi Problemi sulle età Risoluzione di un'equazione intera

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Esercizio 1

La somma di un numero e del suo doppio diminuito di $7$ è $38$ . Trova il numero.

x = \text{numero cercato}

\begin{aligned} x + (2x - 7) &= 38 \\[6pt] 3x - 7 &= 38 \\[6pt] 3x &= 45 \\[6pt] x &= 15 \end{aligned}

Il numero cercato è $15$ .

Si indica con $x$ il numero cercato. Il suo doppio è $2x$ , e il doppio diminuito di $7$ è $2x - 7$ . La frase del testo dice che la somma di $x$ e di $2x - 7$ vale $38$ , e questa è l’equazione.

Sommando i termini simili si ottiene $3x - 7 = 38$ . Trasportando $-7$ al secondo membro si ha $3x = 45$ , e dividendo per $3$ si trova $x = 15$ .

Il controllo con il testo dà $2 \cdot 15 - 7 = 23$ e $15 + 23 = 38$ , quindi il numero è $15$ .

Esercizio 2

Trova tre numeri dispari consecutivi la cui somma è $57$ .

x,\quad x + 2,\quad x + 4

\begin{aligned} x + (x + 2) + (x + 4) &= 57 \\[6pt] 3x + 6 &= 57 \\[6pt] 3x &= 51 \\[6pt] x &= 17 \end{aligned}

I numeri sono $17$ , $19$ e $21$ .

Due numeri dispari consecutivi differiscono di $2$ , come $5$ e $7$ . Se il più piccolo dei tre numeri è $x$ , gli altri due sono quindi $x + 2$ e $x + 4$ .

La somma dei tre numeri è $3x + 6$ , e il testo dice che vale $57$ . Trasportando $6$ al secondo membro si ottiene $3x = 51$ , quindi $x = 17$ .

Il numero $17$ è dispari, perciò la soluzione ha senso. I tre numeri sono $17$ , $19$ e $21$ , e infatti $17 + 19 + 21 = 57$ .

Esercizio 3

Una madre ha $38$ anni e il figlio ne ha $8$ . Fra quanti anni l’età della madre sarà il doppio di quella del figlio?

x = \text{numero di anni che devono passare}

\begin{aligned} 38 + x &= 2\,(8 + x) \\[6pt] 38 + x &= 16 + 2x \\[6pt] 38 - 16 &= 2x - x \\[6pt] x &= 22 \end{aligned}

Fra $22$ anni l’età della madre sarà il doppio di quella del figlio.

Si indica con $x$ il numero di anni che devono passare. Fra $x$ anni la madre avrà $38 + x$ anni e il figlio $8 + x$ , perché entrambi invecchiano dello stesso numero di anni. Il testo chiede che l’età della madre sia il doppio di quella del figlio, quindi l’equazione è $38 + x = 2\,(8 + x)$ .

Con la proprietà distributiva il secondo membro diventa $16 + 2x$ . Portando i numeri al primo membro e i termini con la $x$ al secondo si ottiene $22 = x$ .

Il numero $22$ è positivo, quindi l’evento è nel futuro e la soluzione ha senso. Fra $22$ anni la madre avrà $60$ anni e il figlio $30$ , e infatti $60 = 2 \cdot 30$ .

Esercizio 4

Marco ha $15$ anni più di Luca. Cinque anni fa Marco aveva il doppio degli anni di Luca. Quanti anni hanno oggi Marco e Luca?

x = \text{età di Luca oggi}, \qquad x + 15 = \text{età di Marco oggi}

\begin{aligned} (x + 15) - 5 &= 2\,(x - 5) \\[6pt] x + 10 &= 2x - 10 \\[6pt] 10 + 10 &= 2x - x \\[6pt] x &= 20 \end{aligned}

Oggi Luca ha $20$ anni e Marco ne ha $35$ .

Si sceglie come incognita l’età di Luca oggi, perché l’età di Marco si ricava subito da essa. Se Luca ha $x$ anni, Marco ne ha $x + 15$ .

Cinque anni fa entrambi avevano $5$ anni in meno. Luca aveva quindi $x - 5$ anni e Marco $(x + 15) - 5 = x + 10$ anni. Il testo dice che allora Marco aveva il doppio degli anni di Luca, perciò l’equazione è $x + 10 = 2\,(x - 5)$ .

Con la proprietà distributiva si ottiene $x + 10 = 2x - 10$ . Con la regola del trasporto si arriva a $20 = x$ .

Oggi Luca ha $20$ anni e Marco $35$ . Cinque anni fa avevano $15$ e $30$ anni, e infatti $30 = 2 \cdot 15$ . Le età sono positive anche cinque anni fa, quindi la soluzione ha senso.