Teoria

Equazioni di primo grado e problemi

Che cos'è un'equazione e come si controlla una soluzione, come si risolvono con i principi di equivalenza le equazioni di primo grado intere, con le frazioni e fratte, quando un'equazione è impossibile o indeterminata, come si ricavano le formule inverse e come si risolve un problema con un'equazione.

In questa pagina

Uguaglianze ed equazioni
Principi di equivalenza
Equazioni intere di primo grado
Equazioni con le frazioni
Equazioni determinate, impossibili e indeterminate
Equazioni fratte
Formule inverse
Dal testo all’equazione
Problemi di età, prezzi e percorsi

Uguaglianze ed equazioni

1. Uguaglianza e identità

Un’uguaglianza è una scrittura formata da due espressioni separate dal segno $=$ . L’espressione a sinistra del segno si chiama primo membro, quella a destra si chiama secondo membro. Un’uguaglianza tra numeri può essere vera o falsa. Per esempio $3 + 4 = 7$ è vera, mentre $2 \cdot 5 = 12$ è falsa, perché $2 \cdot 5 = 10$ .

Un’uguaglianza tra espressioni con le lettere che è vera per ogni valore delle lettere si chiama identità. In parole semplici, un’identità resta vera qualunque numero si metta al posto delle lettere. Per esempio $2\,(x + 1) = 2x + 2$ è un’identità, per la proprietà distributiva. Con $x = 5$ i due membri valgono entrambi $12$ , e con $x = -3$ valgono entrambi $-4$ .

2. Equazione

Un’equazione è un’uguaglianza tra due espressioni in cui compare un numero sconosciuto. Il numero sconosciuto si chiama incognita e si indica di solito con la lettera $x$ . In parole semplici, un’equazione è un’uguaglianza in cui si cerca quale numero mettere al posto di $x$ perché l’uguaglianza sia vera.

Nell’equazione $2x + 3 = 9$ il primo membro è $2x + 3$ e il secondo membro è $9$ . Con $x = 1$ il primo membro vale $2 \cdot 1 + 3 = 5$ , quindi l’uguaglianza $5 = 9$ è falsa. Con $x = 3$ il primo membro vale $2 \cdot 3 + 3 = 9$ , quindi l’uguaglianza $9 = 9$ è vera.

3. Soluzione e verifica

Una soluzione di un’equazione è un numero che, messo al posto dell’incognita, rende vera l’uguaglianza. Risolvere un’equazione vuol dire trovare tutte le sue soluzioni. Il controllo di una soluzione si chiama verifica. Si sostituisce il numero in entrambi i membri, si calcolano i due valori e si controlla che siano uguali.

Per l’equazione $2x + 3 = 9$ il numero $3$ è una soluzione, perché $2 \cdot 3 + 3 = 9$ . Il numero $4$ non è una soluzione, perché $2 \cdot 4 + 3 = 11$ e $11$ è diverso da $9$ . La verifica serve a controllare il risultato alla fine di ogni esercizio.

Verifica con l'incognita in entrambi i membri

Si controlla se $x = 3$ è soluzione dell’equazione $5x - 4 = 3x + 2$ . Il primo membro vale $5 \cdot 3 - 4 = 15 - 4 = 11$ . Il secondo membro vale $3 \cdot 3 + 2 = 9 + 2 = 11$ . I due valori sono uguali, quindi $x = 3$ è una soluzione.

Con $x = 2$ il primo membro vale $10 - 4 = 6$ e il secondo vale $6 + 2 = 8$ . I due valori sono diversi, perciò $x = 2$ non è una soluzione.

Principi di equivalenza

1. Equazioni equivalenti

Due equazioni sono equivalenti se hanno le stesse soluzioni. Per esempio $2x + 3 = 9$ e $x = 3$ sono equivalenti, perché entrambe hanno come unica soluzione il numero $3$ .

Per risolvere un’equazione la si trasforma in equazioni equivalenti sempre più semplici. Si arriva così a una scrittura come $x = 3$ , in cui la soluzione si legge subito. Le trasformazioni permesse sono descritte dai due principi di equivalenza.

L'immagine della bilancia

Un’equazione si può pensare come una bilancia a due piatti in equilibrio. Sul piatto di sinistra c’è il primo membro, su quello di destra c’è il secondo, e l’equilibrio corrisponde al segno $=$ . Nell’equazione $2x + 3 = 9$ ogni scatola pesa $x$ chilogrammi e ogni quadratino pesa $1$ kg.

La bilancia in equilibrio rappresenta l'equazione

2 x + 3 = 9

. Sul piatto di sinistra ci sono

2

scatole di peso

x

3

pesi da

1

kg, su quello di destra

9

pesi da

1

La bilancia resta in equilibrio se si fa la stessa cosa su entrambi i piatti. Si possono togliere $3$ pesi da $1$ kg a sinistra e $3$ a destra. Sul piatto di sinistra restano le due scatole e su quello di destra restano $6$ kg, quindi l’equazione diventa $2x = 6$ .

Dopo aver tolto

3

pesi da

1

kg da entrambi i piatti la bilancia resta in equilibrio, e rappresenta l'equazione

2 x = 6

Ora si può dimezzare il contenuto di entrambi i piatti. A sinistra resta una scatola e a destra restano $3$ kg, perciò ogni scatola pesa $3$ kg e la soluzione è $x = 3$ .

2. Primo principio di equivalenza

Se si aggiunge o si toglie lo stesso numero, oppure la stessa espressione con la $x$ , a entrambi i membri di un’equazione, si ottiene un’equazione equivalente.

Il principio serve a far sparire un numero da un membro. Nell’equazione $x - 5 = 2$ si aggiunge $5$ a entrambi i membri, e si ottiene $x - 5 + 5 = 2 + 5$ , cioè $x = 7$ .

Dimostrazione

Si ragiona sull’equazione $x - 5 = 2$ e sulla sua soluzione $x = 7$ . Con $x = 7$ i due membri sono lo stesso numero, perché $7 - 5 = 2$ . Aggiungendo $5$ a due numeri uguali si ottengono ancora due numeri uguali, quindi $7$ è anche soluzione di $x - 5 + 5 = 2 + 5$ . Il ragionamento vale per qualunque soluzione e per qualunque numero aggiunto.

Si può anche tornare indietro, perché togliendo $5$ dai due membri della nuova equazione si ritrova quella di partenza. Perciò anche ogni soluzione della nuova equazione è soluzione di quella di partenza, e le due equazioni sono equivalenti.

3. Regola del trasporto

In un’equazione un termine si può spostare da un membro all’altro cambiandogli il segno. In parole semplici, un termine che passa dall’altra parte del segno $=$ cambia segno.

La regola viene dal primo principio. Nell’equazione $5x - 4 = 3x + 2$ si aggiunge $4$ a entrambi i membri e si toglie $3x$ a entrambi i membri:

\begin{aligned} 5x - 4 + 4 - 3x &= 3x + 2 + 4 - 3x \\[6pt] 5x - 3x &= 2 + 4 \\[6pt] 2x &= 6 . \end{aligned}

Il termine $-4$ è sparito dal primo membro ed è comparso come $+4$ nel secondo. Il termine $3x$ è sparito dal secondo membro ed è comparso come $-3x$ nel primo. Con la regola si scrive subito la seconda riga, senza passare dalla prima.

4. Secondo principio di equivalenza

Se si moltiplicano o si dividono entrambi i membri di un’equazione per lo stesso numero diverso da zero, si ottiene un’equazione equivalente.

Il principio vale perché due numeri uguali, moltiplicati per lo stesso numero, danno ancora due numeri uguali; dividendo poi per quel numero si torna all’equazione di partenza. Serve a eliminare il numero che moltiplica la $x$ . Dall’equazione $2x = 6$ , dividendo entrambi i membri per $2$ , si ottiene $x = 3$ .

Quattro equazioni risolte con i principi

Nell’equazione $x + 7 = 12$ si toglie $7$ da entrambi i membri, quindi $x = 12 - 7 = 5$ .
Nell’equazione $4x = 20$ si dividono entrambi i membri per $4$ , quindi $x = \dfrac{20}{4} = 5$ .
Nell’equazione $\dfrac{x}{2} = 6$ si moltiplicano entrambi i membri per $2$ , quindi $x = 12$ .
Nell’equazione $-3x = 12$ si dividono entrambi i membri per $-3$ , quindi $x = \dfrac{12}{-3} = -4$ . La verifica dà $-3 \cdot (-4) = 12$ , per la regola dei segni.

Attenzione

Moltiplicare entrambi i membri per zero non dà un’equazione equivalente. L’equazione $x = 3$ ha come unica soluzione il numero $3$ . Moltiplicando per $0$ si ottiene $0 \cdot x = 0 \cdot 3$ , cioè $0 = 0$ , che è vera per ogni $x$ . Per esempio $x = 5$ è soluzione della nuova equazione e non di quella di partenza.

Equazioni intere di primo grado

1. Equazione intera di primo grado

Un’equazione si dice intera se l’incognita non compare in nessun denominatore. Un’equazione intera è di primo grado se, svolti i calcoli, si può scrivere nella forma

a\,x = b ,

dove $a$ e $b$ sono numeri. In parole semplici, dopo i calcoli la $x$ compare solo con esponente $1$ .

Per esempio $5\,(x - 2) = 2\,(x + 4) + 3$ è un’equazione intera di primo grado. L’equazione $(x + 3)^2 = x^2 + 21$ contiene $x^2$ , ma è anch’essa di primo grado, perché il termine $x^2$ compare in entrambi i membri e con il primo principio si toglie. L’equazione $\dfrac{3}{x} = 1$ invece non è intera, perché la $x$ sta al denominatore.

2. Risoluzione di un'equazione intera

Un’equazione intera di primo grado si risolve in quattro passaggi.

Si svolgono i prodotti, con la proprietà distributiva e i prodotti notevoli.
Con la regola del trasporto si portano i termini con la $x$ al primo membro e i numeri al secondo.
Si sommano i termini simili e si arriva alla forma $a\,x = b$ .
Se $a \neq 0$ , si dividono entrambi i membri per $a$ con il secondo principio, e si ottiene $x = \dfrac{b}{a}$ .

Per esempio, per l’equazione $7x - 5 = 4x + 10$ si ha

\begin{aligned} 7x - 4x &= 10 + 5 \\[6pt] 3x &= 15 \\[6pt] x &= 5 . \end{aligned}

La verifica dà $7 \cdot 5 - 5 = 30$ e $4 \cdot 5 + 10 = 30$ , quindi l’equazione ha soluzione $x = 5$ .

Equazione con i prodotti

Si risolve $5\,(x - 2) = 2\,(x + 4) + 3$ . Con la proprietà distributiva si svolgono i prodotti, poi si trasportano i termini:

\begin{aligned} 5x - 10 &= 2x + 8 + 3 \\[6pt] 5x - 2x &= 11 + 10 \\[6pt] 3x &= 21 \\[6pt] x &= 7 . \end{aligned}

La verifica dà $5 \cdot (7 - 2) = 25$ al primo membro e $2 \cdot (7 + 4) + 3 = 22 + 3 = 25$ al secondo, quindi l’equazione ha soluzione $x = 7$ .

Equazione con un prodotto notevole

Si risolve $(x + 3)^2 = x^2 + 21$ . Il quadrato di un binomio è $(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$ , come si è visto nell’argomento sui monomi e polinomi. Quindi

\begin{aligned} x^2 + 6x + 9 &= x^2 + 21 \\[6pt] 6x &= 21 - 9 \\[6pt] 6x &= 12 \\[6pt] x &= 2 . \end{aligned}

Nel secondo passaggio il termine $x^2$ è stato tolto da entrambi i membri con il primo principio. La verifica dà $(2 + 3)^2 = 25$ e $4 + 21 = 25$ .

Soluzione negativa o frazionaria

La soluzione può essere un numero negativo o una frazione. Si risolve $2x + 9 = 5x + 7$ :

\begin{aligned} 2x - 5x &= 7 - 9 \\[6pt] -3x &= -2 \\[6pt] x &= \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3} . \end{aligned}

Il quoziente di due numeri negativi è positivo, per la regola dei segni. La verifica dà $2 \cdot \dfrac{2}{3} + 9 = \dfrac{4}{3} + \dfrac{27}{3} = \dfrac{31}{3}$ e $5 \cdot \dfrac{2}{3} + 7 = \dfrac{10}{3} + \dfrac{21}{3} = \dfrac{31}{3}$ .

Attenzione

Un segno meno davanti a un’espressione cambia il segno di ogni termine dell’espressione. Nell’equazione $12 - (x - 3) = 2x$ si ha $-(x - 3) = -x + 3$ , quindi $12 - x + 3 = 2x$ , cioè $15 = 3x$ e $x = 5$ . Chi scrive $12 - x - 3 = 2x$ trova $x = 3$ , che non supera la verifica, perché $12 - (3 - 3) = 12$ mentre $2 \cdot 3 = 6$ .

Le soluzioni viste su un grafico

Ogni membro di un’equazione di primo grado, come $5x - 4$ oppure $3x + 2$ , si può disegnare come una retta, nel modo descritto nell’argomento sul piano cartesiano e la retta. La soluzione è il valore di $x$ in cui le due rette si incontrano, perché in quel punto i due membri hanno lo stesso valore.

y = 5x - 4

y = 3x + 2

Le rette

y = 5 x - 4

y = 3 x + 2

si incontrano nel punto

(3, 11)

, quindi l'equazione

5 x - 4 = 3 x + 2

ha soluzione

x = 3

Equazioni con le frazioni

Eliminazione dei denominatori

Se in un’equazione intera compaiono frazioni con denominatori numerici, si moltiplicano tutti i termini di entrambi i membri per il minimo comune multiplo dei denominatori. Il minimo comune multiplo è diverso da zero, quindi per il secondo principio l’equazione ottenuta è equivalente a quella di partenza, e non contiene più frazioni.

Per esempio, nell’equazione

\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 5

il minimo comune multiplo dei denominatori è $\operatorname{mcm}(2, 3) = 6$ . Poiché $6 \cdot \dfrac{x}{2} = 3x$ e $6 \cdot \dfrac{x}{3} = 2x$ , si ottiene

\begin{aligned} 3x + 2x &= 30 \\[6pt] 5x &= 30 \\[6pt] x &= 6 . \end{aligned}

La verifica dà $\dfrac{6}{2} + \dfrac{6}{3} = 3 + 2 = 5$ .

Numeratori con più termini

Si risolve

\frac{x + 4}{3} - \frac{x - 1}{2} = 1 .

Il minimo comune multiplo dei denominatori è $6$ . Moltiplicando per $6$ , il primo termine diventa $2\,(x + 4)$ e il secondo diventa $3\,(x - 1)$ . Il $3$ moltiplica entrambi i termini del numeratore $x - 1$ . Il segno meno davanti alla frazione cambia poi il segno di entrambi i termini:

\begin{aligned} 2\,(x + 4) - 3\,(x - 1) &= 6 \\[6pt] 2x + 8 - 3x + 3 &= 6 \\[6pt] -x &= 6 - 11 \\[6pt] -x &= -5 \\[6pt] x &= 5 . \end{aligned}

L’ultimo passaggio si ottiene moltiplicando entrambi i membri per $-1$ . La verifica dà $\dfrac{9}{3} - \dfrac{4}{2} = 3 - 2 = 1$ .

Attenzione

Il minimo comune multiplo moltiplica anche i termini senza denominatore. Nell’equazione $\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} = 5$ chi scrive $3x + 2x = 5$ trova $x = 1$ . La verifica mostra l’errore, perché $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}$ , che è diverso da $5$ .

Equazioni determinate, impossibili e indeterminate

Svolti i calcoli, un’equazione di primo grado assume la forma $a\,x = b$ . Si presentano tre casi.

Se $a \neq 0$ , l’equazione è determinata. Ha una sola soluzione, $x = \dfrac{b}{a}$ .
Se $a = 0$ e $b \neq 0$ , l’equazione è impossibile. Si ha $0 \cdot x = b$ , e il primo membro vale $0$ per ogni $x$ , quindi non è mai uguale a $b$ . L’equazione non ha soluzioni.
Se $a = 0$ e $b = 0$ , l’equazione è indeterminata. Si ha $0 \cdot x = 0$ , che è vera per ogni $x$ , quindi ogni numero è soluzione. In questo caso l’equazione di partenza è un’identità.

Per esempio $4x = 8$ è determinata e ha soluzione $x = 2$ , l’equazione $0 \cdot x = 7$ è impossibile e l’equazione $0 \cdot x = 0$ è indeterminata.

Un'equazione impossibile

Si risolve $3\,(x + 2) - x = 2x + 1$ :

\begin{aligned} 3x + 6 - x &= 2x + 1 \\[6pt] 2x + 6 &= 2x + 1 \\[6pt] 2x - 2x &= 1 - 6 \\[6pt] 0 \cdot x &= -5 . \end{aligned}

L’equazione è impossibile. Con $x = 0$ il primo membro vale $6$ e il secondo vale $1$ ; con $x = 10$ valgono $26$ e $21$ . Il primo membro supera sempre il secondo di $5$ .

y = 2x + 6

y = 2x + 1

Le rette

y = 2 x + 6

y = 2 x + 1

sono parallele e non hanno punti in comune, quindi l'equazione

2 x + 6 = 2 x + 1

è impossibile

Un'equazione indeterminata

Si risolve $4\,(x - 1) + 6 = 2\,(2x + 1)$ :

\begin{aligned} 4x - 4 + 6 &= 4x + 2 \\[6pt] 4x + 2 &= 4x + 2 \\[6pt] 0 \cdot x &= 0 . \end{aligned}

L’equazione è indeterminata, e ogni numero è soluzione. Con $x = 1$ i due membri valgono entrambi $6$ , e con $x = -2$ valgono entrambi $-6$ .

Attenzione

Un’equazione con soluzione $x = 0$ è determinata. Nell’equazione $3x + 4 = x + 4$ si ottiene $2x = 0$ , quindi $x = \dfrac{0}{2} = 0$ . La verifica dà $4 = 4$ . L’equazione ha la soluzione $0$ , mentre un’equazione impossibile non ha alcuna soluzione.

Equazioni fratte

1. Equazione fratta

Un’equazione si dice fratta se l’incognita compare in almeno un denominatore. Per esempio

\frac{3}{x} = \frac{1}{x - 2}

è un’equazione fratta. Una frazione con lo zero al denominatore non ha significato. Perciò, come si è visto nell’argomento sulla scomposizione in fattori, si scrivono le condizioni di esistenza, cioè le condizioni che rendono diversi da zero tutti i denominatori. In parole semplici, le condizioni di esistenza dicono quali numeri si possono mettere al posto di $x$ .

2. Risoluzione di un'equazione fratta

Un’equazione fratta si risolve in quattro passaggi.

Si scrivono le condizioni di esistenza.
Si moltiplicano entrambi i membri per il minimo comune multiplo dei denominatori, che con le condizioni di esistenza è diverso da zero. Si ottiene un’equazione intera.
Si risolve l’equazione intera.
Si confronta la soluzione con le condizioni di esistenza. Una soluzione che rende nullo un denominatore si scarta, cioè non è accettabile.

Per l’equazione $\dfrac{3}{x} = \dfrac{1}{x - 2}$ i denominatori sono $x$ e $x - 2$ , e devono essere diversi da zero insieme:

\begin{cases} x \neq 0 \\ x \neq 2 \end{cases}

Moltiplicando entrambi i membri per $x\,(x - 2)$ si ottiene

\begin{aligned} 3\,(x - 2) &= x \\[6pt] 3x - 6 &= x \\[6pt] 2x &= 6 \\[6pt] x &= 3 . \end{aligned}

Il numero $3$ è diverso da $0$ e da $2$ , quindi è accettabile. La verifica dà $\dfrac{3}{3} = 1$ e $\dfrac{1}{3 - 2} = 1$ .

Per l'equazione

\frac{3}{x} = \frac{1}{x - 2}

sono esclusi

x = 0

x = 2

(cerchi vuoti); la soluzione

x = 3

(punto pieno) è diversa dai valori esclusi ed è quindi accettabile

Attenzione

La soluzione dell’equazione intera può essere un valore escluso. Nell’equazione $\dfrac{x}{x - 2} = \dfrac{2}{x - 2}$ la condizione di esistenza è $x \neq 2$ . Moltiplicando per $x - 2$ si ottiene $x = 2$ , che è proprio il valore escluso. Messo nell’equazione di partenza, il numero $2$ dà $\dfrac{2}{0}$ , che non ha significato. Perciò la soluzione si scarta e l’equazione fratta è impossibile.

Un denominatore da scomporre

Si risolve

\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 1} = \frac{6}{x^2 - 1} .

Per la differenza di quadrati $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ , quindi il minimo comune multiplo dei denominatori è $(x - 1)(x + 1)$ . Questo prodotto vale zero se vale zero uno dei due fattori, perciò le condizioni di esistenza sono

\begin{cases} x \neq 1 \\ x \neq -1 \end{cases}

Moltiplicando entrambi i membri per $(x - 1)(x + 1)$ , il primo termine diventa $x + 1$ , il secondo diventa $x - 1$ e il secondo membro diventa $6$ :

\begin{aligned} (x + 1) + (x - 1) &= 6 \\[6pt] 2x &= 6 \\[6pt] x &= 3 . \end{aligned}

Il numero $3$ soddisfa le condizioni di esistenza, quindi è accettabile. La verifica dà $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$ e $\dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$ .

Formule inverse

Formula inversa

Una formula è un’uguaglianza che lega tra loro alcune grandezze. Per esempio la velocità media $v$ di un viaggio è lo spazio percorso $s$ diviso per il tempo impiegato $t$ :

v = \frac{s}{t} .

Quando si conoscono tutte le grandezze tranne una, quella sconosciuta si tratta come un’incognita e si ricava con i principi di equivalenza. La formula che si ottiene si chiama formula inversa. In parole semplici, una formula inversa dà direttamente la grandezza cercata.

Si moltiplicano entrambi i membri per $t$ , che è diverso da zero, e si ottiene $s = v \cdot t$ . Poi si dividono entrambi i membri per $v$ , con $v \neq 0$ , e si ottiene

t = \frac{s}{v} .

Un treno percorre $300$ km alla velocità media di $120$ km/h. Il tempo impiegato è $t = \dfrac{300}{120} = \dfrac{5}{2}$ ore, cioè $2$ ore e $30$ minuti.

Altezza di un rettangolo

L’area di un rettangolo di base $b$ e altezza $h$ è $A = b \cdot h$ . Dividendo entrambi i membri per $b$ , che è diverso da zero, si ottiene la formula inversa $h = \dfrac{A}{b}$ . Un rettangolo con area $24$ cm² e base $6$ cm ha quindi altezza $h = \dfrac{24}{6} = 4$ cm.

Il rettangolo ha area

A = 24

cm² e base

b = 6

cm, quindi la sua altezza è

h = \frac{24}{6} = 4

Una formula con una quota fissa

Un taxi costa $3$ euro alla partenza più $2$ euro per ogni chilometro. Il costo di una corsa di $k$ chilometri è $C = 3 + 2k$ . Per ricavare $k$ si toglie $3$ da entrambi i membri e si ottiene $C - 3 = 2k$ . Poi si dividono entrambi i membri per $2$ :

k = \frac{C - 3}{2} .

Una corsa pagata $19$ euro è quindi lunga $k = \dfrac{19 - 3}{2} = \dfrac{16}{2} = 8$ km. La verifica dà $3 + 2 \cdot 8 = 19$ .

Dal testo all’equazione

Come si imposta un problema

Molti problemi della vita quotidiana si risolvono con un’equazione di primo grado. Il procedimento ha cinque passaggi.

Si sceglie l’incognita. Di solito $x$ è la quantità richiesta, oppure una quantità da cui le altre si ricavano subito. Si scrive che cosa indica $x$ e con quale unità di misura.
Si scrivono le altre quantità del testo usando $x$ .
Si traduce in un’equazione la frase che lega le quantità.
Si risolve l’equazione.
Si controlla che la soluzione abbia senso nel problema e si scrive la risposta con una frase. Un numero di persone o di oggetti è un numero naturale, un’età è positiva, un prezzo e una lunghezza sono positivi.

Per esempio, se il triplo di un numero aumentato di $8$ dà $35$ , si indica con $x$ il numero e si scrive $3x + 8 = 35$ . Quindi $3x = 27$ e $x = 9$ . La verifica dà $3 \cdot 9 + 8 = 35$ .

Dalle parole ai simboli

Alcune espressioni ricorrono spesso nei testi dei problemi.

Il doppio, il triplo e la metà di un numero $x$ sono $2x$ , $3x$ e $\dfrac{x}{2}$ .
Un numero aumentato di $5$ è $x + 5$ , un numero diminuito di $4$ è $x - 4$ .
La frase “Anna ha $7$ anni più di Bruno” diventa $A = B + 7$ , e la frase “Anna ha il triplo degli anni di Bruno” diventa $A = 3B$ .
Il $30\%$ di un numero $x$ è $\dfrac{30}{100}\,x$ , come si è visto nell’argomento sui decimali e le percentuali.

Numeri consecutivi

Due numeri naturali si dicono consecutivi se il secondo è il primo aumentato di $1$ , come $15$ e $16$ . Tre numeri consecutivi si scrivono quindi $x$ , $x + 1$ e $x + 2$ .

Si cercano tre numeri consecutivi con somma $48$ . L’equazione è

\begin{aligned} x + (x + 1) + (x + 2) &= 48 \\[6pt] 3x + 3 &= 48 \\[6pt] 3x &= 45 \\[6pt] x &= 15 . \end{aligned}

I numeri sono $15$ , $16$ e $17$ , e infatti $15 + 16 + 17 = 48$ . Con somma $50$ si otterrebbe $3x = 47$ , quindi $x = \dfrac{47}{3}$ , che non è un numero naturale. Perciò nessuna terna di numeri naturali consecutivi ha somma $50$ .

Problemi di età, prezzi e percorsi

Problemi sulle età

Un padre ha $30$ anni e il figlio ne ha $6$ . Si cerca fra quanti anni il padre avrà il triplo dell’età del figlio. Si indica con $x$ il numero di anni. Fra $x$ anni il padre avrà $30 + x$ anni e il figlio $6 + x$ , perché le due età aumentano dello stesso numero. L’equazione è

\begin{aligned} 30 + x &= 3\,(6 + x) \\[6pt] 30 + x &= 18 + 3x \\[6pt] 30 - 18 &= 3x - x \\[6pt] 12 &= 2x \\[6pt] x &= 6 . \end{aligned}

Fra $6$ anni il padre avrà $36$ anni e il figlio $12$ , e infatti $36 = 3 \cdot 12$ .

Problemi con i prezzi

Un gruppo compra $12$ biglietti per il cinema e spende $81$ euro. Un biglietto intero costa $8$ euro e un biglietto ridotto costa $5$ euro. Si indica con $x$ il numero dei biglietti interi, quindi i ridotti sono $12 - x$ . La spesa per ogni tipo di biglietto è il numero dei biglietti per il prezzo di uno, perciò

\begin{aligned} 8x + 5\,(12 - x) &= 81 \\[6pt] 8x + 60 - 5x &= 81 \\[6pt] 3x &= 21 \\[6pt] x &= 7 . \end{aligned}

Il numero $7$ è un numero naturale compreso tra $0$ e $12$ , quindi la soluzione ha senso. I biglietti interi sono $7$ e i ridotti sono $5$ ; infatti $56 + 25 = 81$ . Scegliendo come incognita il numero dei ridotti si ottiene un’equazione diversa con la stessa risposta.

Con lo stesso metodo si risolvono i problemi sugli sconti. Un paio di scarpe scontato del $30\%$ costa $56$ euro. Se $x$ è il prezzo di partenza, lo sconto è $\dfrac{30}{100}\,x$ e il prezzo scontato è $x - \dfrac{30}{100}\,x = \dfrac{70}{100}\,x$ . Dall’equazione $\dfrac{70}{100}\,x = 56$ si ottiene $x = 56 \cdot \dfrac{100}{70} = 80$ euro.

Problemi sui percorsi

Due paesi A e B distano $15$ km. Anna parte a piedi da A verso B a $4$ km/h e, nello stesso momento, Bruno parte in bicicletta da B verso A a $16$ km/h. Si cerca dopo quanto tempo si incontrano. Si indica con $x$ il tempo in ore. Per la formula $s = v \cdot t$ , in $x$ ore Anna percorre $4x$ km e Bruno $16x$ km. Quando si incontrano, la somma dei due tratti percorsi è uguale alla distanza tra i paesi, quindi

\begin{aligned} 4x + 16x &= 15 \\[6pt] 20x &= 15 \\[6pt] x &= \frac{15}{20} = \frac{3}{4} . \end{aligned}

Si incontrano dopo $\dfrac{3}{4}$ di ora, cioè dopo $45$ minuti. Anna ha percorso $4 \cdot \dfrac{3}{4} = 3$ km e Bruno $16 \cdot \dfrac{3}{4} = 12$ km, e infatti $3 + 12 = 15$ .

Anna parte da A a

4

km/h e Bruno da B a

16

km/h; dopo

\frac{3}{4}

di ora Anna ha percorso

3

km e Bruno

12

km, e i due si incontrano

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