Equazioni con i denominatori numerici

Theory used: Eliminazione dei denominatori Risoluzione di un'equazione intera Secondo principio di equivalenza

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Esercizio 1

Risolvi l’equazione

\frac{x}{4} + \frac{x}{6} = 5 .

\operatorname{mcm}(4, 6) = 12

\begin{aligned} 12 \cdot \frac{x}{4} + 12 \cdot \frac{x}{6} &= 12 \cdot 5 \\[6pt] 3x + 2x &= 60 \\[6pt] 5x &= 60 \\[6pt] x &= 12 \end{aligned}

L’equazione ha soluzione $x = 12$ .

I denominatori sono $4$ e $6$ . Poiché $4 = 2^2$ e $6 = 2 \cdot 3$ , il loro minimo comune multiplo è $2^2 \cdot 3 = 12$ . Per il secondo principio si moltiplicano tutti i termini di entrambi i membri per $12$ , compreso il $5$ che non ha denominatore.

Si ha $12 \cdot \dfrac{x}{4} = 3x$ , perché $12 : 4 = 3$ , e $12 \cdot \dfrac{x}{6} = 2x$ , perché $12 : 6 = 2$ . Al secondo membro $12 \cdot 5 = 60$ . L’equazione senza frazioni è $5x = 60$ , quindi $x = 12$ .

La verifica dà $\dfrac{12}{4} + \dfrac{12}{6} = 3 + 2 = 5$ .

Esercizio 2

Risolvi l’equazione

\frac{x - 2}{4} = \frac{x + 1}{6} .

\operatorname{mcm}(4, 6) = 12

\begin{aligned} 3\,(x - 2) &= 2\,(x + 1) \\[6pt] 3x - 6 &= 2x + 2 \\[6pt] 3x - 2x &= 2 + 6 \\[6pt] x &= 8 \end{aligned}

L’equazione ha soluzione $x = 8$ .

Il minimo comune multiplo dei denominatori è ancora $12$ . Moltiplicando il primo membro per $12$ si ottiene $3\,(x - 2)$ , perché $12 : 4 = 3$ . Moltiplicando il secondo membro per $12$ si ottiene $2\,(x + 1)$ , perché $12 : 6 = 2$ . Il $3$ e il $2$ moltiplicano entrambi i termini dei numeratori $x - 2$ e $x + 1$ .

Con la proprietà distributiva si ottiene $3x - 6 = 2x + 2$ . Con la regola del trasporto si porta $2x$ al primo membro e $-6$ al secondo, cambiando il segno di entrambi, e si trova $x = 8$ .

La verifica dà $\dfrac{8 - 2}{4} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}$ e $\dfrac{8 + 1}{6} = \dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2}$ .

Esercizio 3

Risolvi l’equazione

\frac{2x + 1}{3} - \frac{x - 1}{2} = 1 - \frac{x}{6} .

\operatorname{mcm}(3, 2, 6) = 6

\begin{aligned} 2\,(2x + 1) - 3\,(x - 1) &= 6 - x \\[6pt] 4x + 2 - 3x + 3 &= 6 - x \\[6pt] x + 5 &= 6 - x \\[6pt] x + x &= 6 - 5 \\[6pt] 2x &= 1 \\[6pt] x &= \frac{1}{2} \end{aligned}

L’equazione ha soluzione $x = \dfrac{1}{2}$ .

I denominatori sono $3$ , $2$ e $6$ . Il numero $6$ è multiplo sia di $3$ sia di $2$ , quindi il minimo comune multiplo è $6$ . Si moltiplica ogni termine per $6$ . Il primo termine diventa $2\,(2x + 1)$ , il secondo diventa $3\,(x - 1)$ , il numero $1$ diventa $6$ e l’ultimo termine diventa $x$ .

Nel secondo termine il segno meno davanti alla frazione cambia il segno di entrambi i termini di $3\,(x - 1) = 3x - 3$ , quindi si scrive $-3x + 3$ . Al primo membro si ottiene $4x - 3x + 2 + 3 = x + 5$ .

Con la regola del trasporto si porta $-x$ al primo membro e $5$ al secondo, e si ottiene $2x = 1$ . Dividendo entrambi i membri per $2$ si trova $x = \dfrac{1}{2}$ .

Nella verifica, con $x = \dfrac{1}{2}$ si ha $2x + 1 = 2$ e $x - 1 = -\dfrac{1}{2}$ . La prima frazione vale quindi $\dfrac{2}{3}$ , e la seconda vale $-\dfrac{1}{2} : 2 = -\dfrac{1}{4}$ . Il primo membro è perciò $\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{8}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{11}{12}$ . Al secondo membro $\dfrac{x}{6} = \dfrac{1}{12}$ , quindi il secondo membro vale $1 - \dfrac{1}{12} = \dfrac{11}{12}$ .