Problemi con prezzi, misure e percorsi

Theory used: Come si imposta un problema Problemi con i prezzi Problemi sui percorsi Formula inversa Risoluzione di un'equazione intera

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Esercizio 1

Un maglione scontato del $20\%$ costa $36$ euro. Qual era il prezzo prima dello sconto?

x = \text{prezzo prima dello sconto (in euro)}

\begin{aligned} x - \frac{20}{100}\,x &= 36 \\[6pt] \frac{80}{100}\,x &= 36 \\[6pt] x &= 36 \cdot \frac{100}{80} \\[6pt] x &= 45 \end{aligned}

Prima dello sconto il maglione costava $45$ euro.

Si indica con $x$ il prezzo prima dello sconto. Lo sconto è il $20\%$ di $x$ , cioè $\dfrac{20}{100}\,x$ , e il prezzo scontato è il prezzo di partenza meno lo sconto.

I due termini del primo membro contengono entrambi la $x$ , quindi si sommano. Poiché $x = \dfrac{100}{100}\,x$ , la differenza è $\dfrac{100}{100}\,x - \dfrac{20}{100}\,x = \dfrac{80}{100}\,x$ . Per il secondo principio si moltiplicano entrambi i membri per il reciproco $\dfrac{100}{80}$ . Si ottiene $x = \dfrac{3600}{80} = 45$ .

Il controllo dà $\dfrac{20}{100} \cdot 45 = 9$ euro di sconto, e $45 - 9 = 36$ .

Esercizio 2

Un rettangolo ha perimetro $56$ cm, e la base supera l’altezza di $4$ cm. Trova le misure della base e dell’altezza.

x = \text{altezza (in cm)}, \qquad x + 4 = \text{base (in cm)}

\begin{aligned} 2\,(x + 4 + x) &= 56 \\[6pt] 2\,(2x + 4) &= 56 \\[6pt] 4x + 8 &= 56 \\[6pt] 4x &= 48 \\[6pt] x &= 12 \end{aligned}

L’altezza è $12$ cm e la base è $16$ cm.

Si indica con $x$ l’altezza. La base supera l’altezza di $4$ cm, quindi misura $x + 4$ . Il perimetro di un rettangolo è il doppio della somma di base e altezza, perciò l’equazione è $2\,(x + 4 + x) = 56$ .

Nell’espressione $x + 4 + x$ si ha $x + x = 2x$ , e la proprietà distributiva dà $4x + 8 = 56$ . Trasportando $8$ al secondo membro si ha $4x = 48$ , quindi $x = 12$ .

L’altezza è $12$ cm e la base è $12 + 4 = 16$ cm. Entrambe le misure sono positive, e il controllo dà $2 \cdot (16 + 12) = 2 \cdot 28 = 56$ .

Esercizio 3

Giulia compra $3$ quaderni e $2$ penne e spende $9{,}70$ euro. Una penna costa $1{,}40$ euro meno di un quaderno. Quanto costano un quaderno e una penna?

x = \text{prezzo di un quaderno (in euro)}, \qquad x - 1{,}40 = \text{prezzo di una penna (in euro)}

\begin{aligned} 3x + 2\,(x - 1{,}40) &= 9{,}70 \\[6pt] 3x + 2x - 2{,}80 &= 9{,}70 \\[6pt] 5x &= 9{,}70 + 2{,}80 \\[6pt] 5x &= 12{,}50 \\[6pt] x &= 2{,}50 \end{aligned}

Un quaderno costa $2{,}50$ euro e una penna costa $1{,}10$ euro.

Si sceglie come incognita il prezzo $x$ di un quaderno, perché il prezzo della penna si esprime subito con esso, come $x - 1{,}40$ . La spesa per i quaderni è $3x$ e la spesa per le penne è $2\,(x - 1{,}40)$ , e la loro somma è $9{,}70$ euro.

Con la proprietà distributiva si ha $2\,(x - 1{,}40) = 2x - 2{,}80$ . Sommando i termini simili e trasportando $-2{,}80$ al secondo membro si ottiene $5x = 12{,}50$ . Dividendo per $5$ si trova $x = 2{,}50$ .

Una penna costa quindi $2{,}50 - 1{,}40 = 1{,}10$ euro, che è un prezzo positivo. Il controllo dà $3 \cdot 2{,}50 + 2 \cdot 1{,}10 = 7{,}50 + 2{,}20 = 9{,}70$ .

Esercizio 4

Un’auto parte da una città e viaggia a $80$ km/h. Un’ora dopo, dalla stessa città e sulla stessa strada, parte una seconda auto a $100$ km/h. Dopo quante ore dalla sua partenza la seconda auto raggiunge la prima, e a quale distanza dalla città?

x = \text{tempo di viaggio della seconda auto (in ore)}

\begin{aligned} 80\,(x + 1) &= 100\,x \\[6pt] 80x + 80 &= 100x \\[6pt] 80 &= 100x - 80x \\[6pt] 80 &= 20x \\[6pt] x &= 4 \end{aligned}

100 \cdot 4 = 400

La seconda auto raggiunge la prima dopo $4$ ore, a $400$ km dalla città.

Si indica con $x$ il tempo di viaggio della seconda auto, in ore. La prima auto è partita un’ora prima, quindi quando la seconda ha viaggiato $x$ ore la prima ha viaggiato $x + 1$ ore. Per la formula $s = v \cdot t$ , la prima auto ha percorso $80\,(x + 1)$ km e la seconda $100\,x$ km.

Quando la seconda auto raggiunge la prima, le due auto si trovano nello stesso punto, quindi hanno percorso lo stesso tratto di strada. Questa uguaglianza dà l’equazione $80\,(x + 1) = 100\,x$ .

Con la proprietà distributiva si ottiene $80x + 80 = 100x$ . Con la regola del trasporto si arriva a $80 = 20x$ , e dividendo per $20$ si trova $x = 4$ .

La distanza dalla città è quella percorsa dalla seconda auto in $4$ ore, cioè $100 \cdot 4 = 400$ km. Il controllo con la prima auto dà $80 \cdot 5 = 400$ km.