Diagrammi di Minkowski

Esercizio 1

Una navetta parte dalla base spaziale, nell’origine del sistema $S$ della base, all’istante $t=0$ e si allontana lungo l’asse $x$ con velocità costante $v=0,60c$. All’istante $t_1$ tale che $c{t}_1=2,0\mathrm{km}$ la base invia verso la navetta un segnale luminoso.

• Disegna nel diagramma di Minkowski della base, con $x$ e $ct$ in chilometri, la linea di universo della navetta e quella del segnale.
• Determina dove e quando, nel sistema della base, il segnale raggiunge la navetta.
• Calcola il tempo segnato in quel momento dall’orologio di bordo, avviato alla partenza.

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Esercizio 2

Nel diagramma di Minkowski del sistema $S$, con $x$ e $ct$ in chilometri, si disegnano gli assi di un sistema $S^{\prime }$ che si muove con velocità $v=0,50c$, con le origini coincidenti all’istante $t=t^{\prime }=0$. Si considerano gli eventi $O$, nell’origine, $A$, con $x=4,0\mathrm{km}$ e $ct=2,0\mathrm{km}$, e $B$, con $x=4,0\mathrm{km}$ e $ct=1,0\mathrm{km}$.

• Mostra che $A$ si trova sull’asse $x^{\prime }$ e spiega che cosa significa.
• Calcola il tempo $t_B^{\prime }$ dell’evento $B$ nel sistema $S^{\prime }$ e stabilisci quale tra $O$ e $B$ avviene prima in $S^{\prime }$.
• Spiega perché l’ordine temporale di $O$ e $B$ è diverso nei due sistemi.

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Esercizio 3

Nel diagramma di Minkowski di un sistema $S$, disegnato con la stessa scala sui due assi, l’asse $c{t}^{\prime }$ di un sistema $S^{\prime }$ forma un angolo di $30^{\circ }$ con l’asse $ct$. Determina la velocità di $S^{\prime }$ rispetto a $S$ e il fattore di Lorentz. L’evento $P$ si trova sull’asse $c{t}^{\prime }$, con $ct=6,0\mathrm{km}$. Calcola la sua ascissa $x$ in $S$ e il suo tempo $t^{\prime }$ in $S^{\prime }$. Si usi $c=3,00\cdot 10^{8}m/s$.

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