Sorgenti del campo magnetico e teorema di Ampère

Come le correnti producono il campo magnetico (filo rettilineo, spira, solenoide), la forza tra due fili paralleli e la definizione dell'ampere, il flusso del campo magnetico e il teorema di Gauss per il magnetismo, la circuitazione e il teorema di Ampère con le sue applicazioni, e le proprietà magnetiche dei materiali.

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Campo magnetico di un filo rettilineo
Campo di una spira e di un solenoide

Campo magnetico di un filo rettilineo

Le misure di Biot e Savart

L’esperienza di Oersted mostra che un filo percorso da corrente orienta un ago magnetico posto vicino al filo, quindi produce un campo magnetico. Nel 1820 Biot e Savart misurarono questo campo attorno a un filo rettilineo lungo, contando le oscillazioni di un ago magnetico a varie distanze dal filo e con varie intensità di corrente. Dalle misure conclusero che il campo è perpendicolare al filo e alla distanza dal filo, che il suo modulo è direttamente proporzionale alla corrente e che è inversamente proporzionale alla distanza.

Legge di Biot-Savart

Si consideri un filo rettilineo molto lungo, che si schematizza come un filo indefinito, percorso dalla corrente $I$ . In un punto a distanza $r$ dal filo il campo magnetico ha modulo

B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} ,

dove $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm{T\cdot m/A}$ è la permeabilità magnetica del vuoto. È una legge sperimentale, che riassume le misure di Biot e Savart.

Le linee di campo sono circonferenze centrate sul filo, in piani perpendicolari al filo. Il verso si trova con la regola della mano destra: con il pollice nel verso della corrente, le dita piegate indicano il verso in cui le linee girano attorno al filo. La legge serve a calcolare il campo vicino a fili e cavi. Per esempio, un filo percorso da $5{,}0\,\mathrm{A}$ produce a $2{,}0\,\mathrm{cm}$ il campo

B = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 5{,}0}{2\pi \cdot 0{,}020}\,\mathrm{T} = 5{,}0 \cdot 10^{-5}\,\mathrm{T} ,

che è dello stesso ordine di grandezza del campo magnetico terrestre.

Linee di campo di un filo rettilineo con la corrente

I

uscente dal foglio (

⊙

): sono circonferenze centrate sul filo, percorse in verso antiorario, e il campo vale

B = \frac{μ _{0} I}{2 π r}

Vettori perpendicolari al foglio

Nelle figure il simbolo $\odot$ indica un vettore o una corrente che esce dal foglio verso chi guarda, e il simbolo $\otimes$ un vettore o una corrente che entra nel foglio. Il primo simbolo rappresenta la punta di una freccia, il secondo la sua coda. Se la corrente esce dal foglio, la regola della mano destra dà linee di campo percorse in verso antiorario; se la corrente entra nel foglio, le linee sono percorse in verso orario.

Campo di due fili paralleli

Quando più correnti producono un campo nello stesso punto, il campo totale è la somma vettoriale dei campi delle singole correnti. Questa proprietà si chiama principio di sovrapposizione.

Due fili paralleli distano $10\,\mathrm{cm}$ e sono percorsi nello stesso verso dalle correnti $I_1 = 4{,}0\,\mathrm{A}$ e $I_2 = 6{,}0\,\mathrm{A}$ . Nel punto medio $M$ ciascun filo dista $r = 5{,}0\,\mathrm{cm}$ , quindi

B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi r} = \frac{2 \cdot 10^{-7} \cdot 4{,}0}{0{,}050}\,\mathrm{T} = 1{,}6 \cdot 10^{-5}\,\mathrm{T} , \qquad B_2 = \frac{2 \cdot 10^{-7} \cdot 6{,}0}{0{,}050}\,\mathrm{T} = 2{,}4 \cdot 10^{-5}\,\mathrm{T} .

Le correnti sono concordi e $M$ sta tra i due fili, perciò per la regola della mano destra i due campi in $M$ hanno versi opposti. Il campo totale ha quindi modulo $B_2 - B_1 = 8{,}0 \cdot 10^{-6}\,\mathrm{T}$ e ha il verso del campo del filo $2$ .

Campo di una spira e di un solenoide

1. Campo al centro di una spira circolare

Una spira circolare di raggio $R$ , percorsa dalla corrente $I$ , produce nel suo centro un campo perpendicolare al piano della spira, di modulo

B = \frac{\mu_0 I}{2R} .

Il verso si trova con la regola della mano destra: con le dita piegate nel verso della corrente nella spira, il pollice indica il verso del campo al centro. Una bobina piatta di $N$ spire sovrapposte produce un campo $N$ volte maggiore, $B = \dfrac{\mu_0 N I}{2R}$ . La formula si ricava sommando i contributi dei tratti della spira, con un calcolo che si studia all’università; qui si usa senza dimostrazione.

Per una spira di raggio $5{,}0\,\mathrm{cm}$ percorsa da $4{,}0\,\mathrm{A}$ il campo al centro è

B = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 4{,}0}{2 \cdot 0{,}050}\,\mathrm{T} \approx 5{,}0 \cdot 10^{-5}\,\mathrm{T} ,

e una bobina di $50$ spire con le stesse dimensioni produce $2{,}5 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{T}$ .

Spira vista di taglio: la corrente esce dal foglio in alto (

⊙

) ed entra in basso (

\otimes

); al centro

O

il campo è perpendicolare al piano della spira e vale

B = \frac{μ _{0} I}{2 R}

La spira si comporta come un piccolo magnete

Le linee di campo di una spira entrano da una faccia ed escono dall’altra, come quelle di un magnete a forma di disco. La faccia da cui escono le linee si comporta come un polo nord e l’altra come un polo sud. Perciò due spire coassiali percorse da correnti nello stesso verso si attraggono, come due magneti allineati sullo stesso asse, con il polo nord dell’uno rivolto verso il polo sud dell’altro. Il momento magnetico della spira, $\vec{\mu} = I S\,\hat{n}$ , introdotto nell’argomento sul campo magnetico e la forza di Lorentz, ha il verso del campo al centro.

2. Solenoide

Un solenoide è un filo avvolto a elica su un cilindro, con spire fitte e affiancate. Se la lunghezza $\ell$ del solenoide è molto maggiore del raggio delle spire, all’interno il campo è uniforme e parallelo all’asse, mentre all’esterno è trascurabile. Con $N$ spire percorse dalla corrente $I$ il campo interno vale

B = \mu_0\,\frac{N}{\ell}\,I = \mu_0\, n I ,

dove $n = \dfrac{N}{\ell}$ è il numero di spire per unità di lunghezza. La formula si ricava con il teorema di Ampère. Il verso del campo interno si trova come per la spira, e il solenoide ha un polo nord e un polo sud alle due estremità, come una calamita a barra.

Il solenoide serve a produrre in laboratorio un campo magnetico uniforme di valore noto. Per esempio, $400$ spire avvolte su $20\,\mathrm{cm}$ danno $n = 2{,}0 \cdot 10^{3}$ spire al metro; con $I = 2{,}5\,\mathrm{A}$ il campo interno è $B = 4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 2{,}0 \cdot 10^{3} \cdot 2{,}5\,\mathrm{T} \approx 6{,}3 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{T}$ .

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Forza tra due fili paralleli e definizione dell’ampere
Flusso del campo magnetico e teorema di Gauss
Circuitazione del campo magnetico e teorema di Ampère
Applicazioni del teorema di Ampère
Proprietà magnetiche dei materiali

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