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Theory

Corrente alternata e trasformatore

Come un alternatore produce una forza elettromotrice sinusoidale, che cosa sono i valori efficaci, come si comportano resistori, induttori e condensatori in corrente alternata, come si calcolano impedenza, sfasamento, risonanza e potenza media di un circuito RLC in serie, come funziona il trasformatore e come oscilla la carica in un circuito LC.

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Alternatore e forza elettromotrice sinusoidale
Valori efficaci

Alternatore e forza elettromotrice sinusoidale

1. Forza elettromotrice dell'alternatore

Una bobina di $N$ spire piane, ciascuna di area $S$ , ruota con velocità angolare costante $\omega$ in un campo magnetico uniforme $\vec{B}$ . L’asse di rotazione è perpendicolare a $\vec{B}$ , e all’istante $t = 0$ la normale $\hat{n}$ alle spire ha la direzione e il verso di $\vec{B}$ . Allora la f.e.m. indotta nella bobina è

\mathcal{E}(t) = N B S \omega \sin(\omega t) .

Un dispositivo di questo tipo si chiama alternatore. La f.e.m. cambia segno due volte a ogni giro e ha valore massimo $\mathcal{E}_0 = N B S \omega$ ; la sua frequenza è uguale alla frequenza di rotazione della bobina. Per esempio, una bobina di $50$ spire di area $0{,}040\,\mathrm{m^2}$ che compie $50$ giri al secondo in un campo di $0{,}25\,\mathrm{T}$ ha $\omega = 2\pi \cdot 50\,\mathrm{rad/s} \approx 314\,\mathrm{rad/s}$ , quindi

\mathcal{E}_0 = 50 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}040 \cdot 314\,\mathrm{V} \approx 157\,\mathrm{V} .

La bobina vista lungo l'asse di rotazione, perpendicolare al foglio (

⊙

): il segmento è una spira vista di taglio, e la normale

\overset{n}{^}

forma con

B

l'angolo

θ = ω t

Dimostrazione

La bobina ruota di moto circolare uniforme, quindi all’istante $t$ la normale $\hat{n}$ ha ruotato dell’angolo $\theta = \omega t$ a partire dalla direzione di $\vec{B}$ .

Il campo è uniforme e ogni spira è piana, perciò il flusso attraverso una spira è $B S \cos(\omega t)$ . Le $N$ spire sono attraversate dallo stesso flusso, quindi il flusso concatenato con la bobina è

\Phi_B(t) = N B S \cos(\omega t) .

Per la regola della funzione composta la derivata di $\cos(\omega t)$ è $-\omega \sin(\omega t)$ . Per la legge di Faraday-Neumann si ottiene allora

\mathcal{E}(t) = -\frac{d\Phi_B}{dt} = -N B S \cdot \big( -\omega \sin(\omega t) \big) = N B S \omega \sin(\omega t) .

Flusso massimo e f.e.m. nulla

Il flusso è massimo quando il piano delle spire è perpendicolare a $\vec{B}$ , cioè per $\omega t = 0$ , e in quell’istante la f.e.m. è nulla. La f.e.m. è massima in modulo quando il piano delle spire è parallelo a $\vec{B}$ , cioè quando il flusso è nullo e varia con la rapidità massima.

\dfrac{\Phi_B}{NBS}

\dfrac{\mathcal{E}}{\mathcal{E}_0}

Flusso concatenato e f.e.m. di un alternatore a

50 Hz

, divisi per i valori massimi, con

t

in millisecondi: il periodo è

20 ms

e la f.e.m. si annulla dove il flusso è massimo in modulo

Nelle centrali la bobina è fatta ruotare da una turbina. Quando la bobina è collegata a un circuito, è percorsa da corrente, e per la legge di Lenz le forze magnetiche su di essa si oppongono alla rotazione. La turbina compie quindi un lavoro, che si trasforma in energia elettrica.

2. Tensione e corrente alternata

Una tensione si dice alternata sinusoidale se ha la forma

v(t) = V_0 \sin(\omega t + \alpha) ,

dove $V_0 > 0$ è l’ampiezza, o valore di picco, $\omega$ è la pulsazione, misurata in $\mathrm{rad/s}$ , e $\alpha$ è la fase iniziale. La frequenza è $f = \dfrac{\omega}{2\pi}$ e il periodo è $T = \dfrac{1}{f}$ . Allo stesso modo una corrente alternata ha la forma $i(t) = I_0 \sin(\omega t + \beta)$ . La rete elettrica italiana ha frequenza $f = 50\,\mathrm{Hz}$ , quindi periodo $T = \dfrac{1}{50}\,\mathrm{s} = 20\,\mathrm{ms}$ e pulsazione $\omega = 2\pi \cdot 50\,\mathrm{rad/s} \approx 314\,\mathrm{rad/s}$ .

Valori efficaci

1. Valore efficace

Il valore efficace $I_{\text{eff}}$ di una corrente alternata è l’intensità della corrente continua che, attraversando lo stesso resistore, dissipa la stessa potenza media.

Un resistore di resistenza $R$ percorso dalla corrente $i(t)$ dissipa in ogni istante la potenza $R\,i^2$ , per l’effetto Joule. Perciò $R\,I_{\text{eff}}^2$ è uguale al valor medio di $R\,i^2$ su un periodo, e $I_{\text{eff}}$ è la radice quadrata del valor medio di $i^2$ . Il valore efficace $V_{\text{eff}}$ di una tensione alternata si definisce allo stesso modo. Il valore efficace serve a calcolare la potenza media con le stesse formule della corrente continua, $P = R\,I_{\text{eff}}^2$ .

2. Valore efficace di una grandezza sinusoidale

Per una corrente $i(t) = I_0 \sin(\omega t)$ e per una tensione $v(t) = V_0 \sin(\omega t)$ valgono

I_{\text{eff}} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} , \qquad V_{\text{eff}} = \frac{V_0}{\sqrt{2}} .

I valori dichiarati per la rete elettrica e per gli elettrodomestici sono valori efficaci, e gli strumenti per corrente alternata misurano valori efficaci. La tensione di rete di $230\,\mathrm{V}$ ha quindi ampiezza $V_0 = 230\sqrt{2}\,\mathrm{V} \approx 325\,\mathrm{V}$ .

i(t)

i^2(t)

Corrente di ampiezza

I_{0} = 2 A

e frequenza

50 Hz

, con

t

in millisecondi, e il suo quadrato: il valor medio di

i^{2}

2 A^{2}

, metà del massimo

4 A^{2}

, quindi

I_{eff} = 2 A

Dimostrazione

L’idea è calcolare il valor medio di $\sin^2(\omega t)$ su un periodo $T$ , con $\omega T = 2\pi$ . Per la formula di duplicazione $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x$ si ha $\sin^2(\omega t) = \dfrac{1 - \cos(2\omega t)}{2}$ , quindi

\begin{aligned} \frac{1}{T} \int_0^T \sin^2(\omega t)\,dt &= \frac{1}{T} \int_0^T \frac{1}{2}\,dt - \frac{1}{2T} \int_0^T \cos(2\omega t)\,dt \\[6pt] &= \frac{1}{2} - \frac{1}{2T} \left[ \frac{\sin(2\omega t)}{2\omega} \right]_0^T \\[6pt] &= \frac{1}{2} - \frac{1}{2T} \cdot \frac{\sin(4\pi) - \sin 0}{2\omega} = \frac{1}{2} . \end{aligned}

La potenza istantanea dissipata in un resistore $R$ è $R\,i^2 = R\,I_0^2 \sin^2(\omega t)$ , perciò la sua media su un periodo è $\dfrac{1}{2} R\,I_0^2$ . Per la definizione di valore efficace questa media è uguale a $R\,I_{\text{eff}}^2$ , quindi $I_{\text{eff}}^2 = \dfrac{I_0^2}{2}$ e $I_{\text{eff}} = \dfrac{I_0}{\sqrt{2}}$ . Per la tensione il calcolo è lo stesso, con $V_0$ al posto di $I_0$ .

Un bollitore collegato alla rete

Un bollitore da $2000\,\mathrm{W}$ funziona alla tensione efficace di $230\,\mathrm{V}$ . La potenza media è $P = V_{\text{eff}}\,I_{\text{eff}}$ , come in corrente continua, quindi

I_{\text{eff}} = \frac{P}{V_{\text{eff}}} = \frac{2000}{230}\,\mathrm{A} \approx 8{,}70\,\mathrm{A} , \qquad R = \frac{V_{\text{eff}}^2}{P} = \frac{230^2}{2000}\,\Omega \approx 26{,}5\,\Omega .

L’ampiezza della corrente è $I_0 = \sqrt{2}\,I_{\text{eff}} \approx 12{,}3\,\mathrm{A}$ , cioè la corrente oscilla tra $-12{,}3\,\mathrm{A}$ e $12{,}3\,\mathrm{A}$ .

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Circuiti puramente resistivo, induttivo e capacitivo
Fasori
Circuito RLC in serie
Risonanza
Potenza media e fattore di potenza
Trasformatore
Circuito LC e oscillazioni elettriche

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