Atomo di Bohr, onde di materia e principio di indeterminazione

Come gli spettri a righe e l'esperimento di Rutherford portano al modello atomico di Bohr, come si ricavano raggi e livelli di energia dell'atomo di idrogeno, che cosa sono le onde di materia di de Broglie, che cosa afferma il principio di indeterminazione di Heisenberg e come si calcolano i livelli di energia di una particella in una scatola.

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Spettri atomici e formula di Rydberg
Dal modello di Thomson al nucleo di Rutherford

Spettri atomici e formula di Rydberg

1. Spettri di emissione e di assorbimento

La luce emessa da un gas rarefatto, eccitato con una scarica elettrica o riscaldato, si scompone con un prisma o con un reticolo di diffrazione. Si ottiene uno spettro di emissione a righe, cioè un insieme di righe luminose separate, ciascuna con una lunghezza d’onda precisa. Se invece la luce bianca, che contiene tutte le lunghezze d’onda, attraversa lo stesso gas freddo, nello spettro continuo compaiono righe scure. Questo è lo spettro di assorbimento, e le righe scure si trovano alle stesse lunghezze d’onda delle righe di emissione.

Ogni elemento chimico ha un proprio insieme di righe, perciò lo spettro serve a riconoscere gli elementi presenti in un gas, anche in una stella lontana. Per esempio l’idrogeno emette nel visibile quattro righe, di lunghezze d’onda $656\,\mathrm{nm}$ (rossa), $486\,\mathrm{nm}$ (azzurra), $434\,\mathrm{nm}$ e $410\,\mathrm{nm}$ (violette).

Righe della serie di Balmer dell'idrogeno:

656, 3 nm

486, 1 nm

434, 1 nm

410, 2 nm

; le righe si infittiscono verso il limite della serie, a

364, 6 nm

(tratteggiato)

2. Formula di Rydberg

Le lunghezze d’onda $\lambda$ delle righe dello spettro dell’idrogeno soddisfano la relazione

\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) ,

dove $n_f$ e $n_i$ sono numeri naturali con $n_i > n_f \geq 1$ e $R_H = 1{,}097 \cdot 10^{7}\,\mathrm{m^{-1}}$ è la costante di Rydberg. È una legge sperimentale, trovata cercando una regola nei valori misurati; nel modello di Bohr la si ricava.

Le righe visibili si ottengono con $n_f = 2$ e formano la serie di Balmer. Per esempio con $n_i = 3$ si ha

\frac{1}{\lambda} = 1{,}097 \cdot 10^{7} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) \mathrm{m^{-1}} = 1{,}524 \cdot 10^{6}\,\mathrm{m^{-1}} , \qquad \lambda = 656{,}3\,\mathrm{nm} ,

che è la riga rossa $\mathrm{H}_\alpha$ .

Serie spettrali dell'idrogeno

Le righe con lo stesso valore di $n_f$ formano una serie.

Con $n_f = 1$ si ha la serie di Lyman, nell’ultravioletto, e la prima riga, con $n_i = 2$ , ha $\lambda = 121{,}5\,\mathrm{nm}$ .
Con $n_f = 2$ si ha la serie di Balmer, nel visibile e nel vicino ultravioletto.
Con $n_f = 3$ si ha la serie di Paschen, nell’infrarosso, e la prima riga, con $n_i = 4$ , ha $\lambda = 1875\,\mathrm{nm}$ .

Quando $n_i$ cresce, il termine $\dfrac{1}{n_i^2}$ tende a $0$ , quindi le righe di una serie si avvicinano a una lunghezza d’onda limite $\lambda_\infty = \dfrac{n_f^2}{R_H}$ . Per la serie di Balmer il limite è $\lambda_\infty = \dfrac{4}{1{,}097 \cdot 10^{7}}\,\mathrm{m} = 364{,}6\,\mathrm{nm}$ .

Dal modello di Thomson al nucleo di Rutherford

Modello atomico di Thomson

Dopo la scoperta dell’elettrone, Thomson propose che l’atomo fosse una sfera di carica positiva distribuita in modo uniforme, di raggio circa $10^{-10}\,\mathrm{m}$ , con gli elettroni immersi al suo interno. L’atomo è neutro, perciò la carica positiva totale è uguale alla carica degli elettroni. In questo modello la carica positiva è sparsa su tutto il volume dell’atomo, quindi il campo elettrico al suo interno è debole e una particella carica veloce lo attraversa venendo deviata di pochissimo.

Esperimento di Rutherford

Nell’esperimento di Geiger, Marsden e Rutherford un fascio di particelle $\alpha$ , che sono nuclei di elio con carica $+2e$ ed energia cinetica di alcuni $\mathrm{MeV}$ , colpisce una lamina d’oro molto sottile. Uno schermo fluorescente registra in quale direzione escono le particelle. Si misura che quasi tutte le particelle attraversano la lamina senza deviare, ma alcune vengono deviate di angoli grandi e una frazione piccolissima torna indietro.

Il modello di Thomson non spiega le deviazioni grandi, perché in esso il campo elettrico è troppo debole. Rutherford ne concluse che la carica positiva e quasi tutta la massa dell’atomo sono concentrate in una regione piccolissima al centro, il nucleo, e che gli elettroni si trovano attorno al nucleo, in uno spazio quasi vuoto. Una particella $\alpha$ che passa vicino al nucleo subisce una forte repulsione elettrica e viene deviata lungo un ramo di iperbole.

Traiettorie di particelle

α

respinte da un nucleo: più la particella passa vicino al nucleo, più è grande l'angolo di deviazione

Una stima delle dimensioni del nucleo

Una particella $\alpha$ con energia cinetica $K = 5{,}0\,\mathrm{MeV}$ si dirige frontalmente verso un nucleo d’oro, che ha carica $Ze$ con $Z = 79$ . Il nucleo è molto più pesante della particella e si considera fermo. La particella rallenta, si ferma alla distanza minima $d$ e torna indietro. Per la conservazione dell’energia l’energia cinetica iniziale è uguale all’energia potenziale elettrica nel punto di arresto, quindi

K = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{2e \cdot Ze}{d} \qquad \Longrightarrow \qquad d = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{2 Z e^2}{K} = 8{,}99 \cdot 10^{9} \cdot \frac{2 \cdot 79 \cdot \left( 1{,}60 \cdot 10^{-19} \right)^2}{5{,}0 \cdot 1{,}60 \cdot 10^{-13}}\,\mathrm{m} \approx 4{,}5 \cdot 10^{-14}\,\mathrm{m} ,

dove $1\,\mathrm{MeV} = 1{,}60 \cdot 10^{-13}\,\mathrm{J}$ . La particella si avvicina fino a $4{,}5 \cdot 10^{-14}\,\mathrm{m}$ senza toccare il nucleo, perciò il raggio del nucleo d’oro è minore di questa distanza, che è già circa duemila volte più piccola del raggio dell’atomo.

Instabilità del modello planetario

Nel modello di Rutherford gli elettroni ruotano attorno al nucleo, attratti dalla forza di Coulomb, come i pianeti attorno al Sole. Un elettrone in moto circolare ha un’accelerazione centripeta e, secondo l’elettromagnetismo classico, una carica accelerata emette onde elettromagnetiche, come si è visto nell’argomento sulle equazioni di Maxwell. L’elettrone dovrebbe quindi perdere energia con continuità, avvicinarsi al nucleo lungo una spirale e cadere su di esso in un tempo dell’ordine di $10^{-11}\,\mathrm{s}$ ; durante la caduta emetterebbe uno spettro continuo. Gli atomi invece sono stabili ed emettono spettri a righe, perciò il modello planetario classico è in contrasto con l’esperienza.

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Modello di Bohr dell’atomo di idrogeno
Transizioni, righe spettrali e ionizzazione
Onde di materia
Principio di indeterminazione
Funzione d’onda e interpretazione probabilistica
Particella in una scatola ed effetto tunnel

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