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Theory

Moto delle cariche nei campi elettrico e magnetico

Come si muove una particella carica in un campo elettrico uniforme e in un campo magnetico uniforme (accelerazione, deflessione parabolica, moto circolare ed elicoidale) e come questi moti si usano nel selettore di velocità, nell'esperimento di Thomson, nello spettrometro di massa, nel ciclotrone e nell'effetto Hall.

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Moto in un campo elettrico uniforme
Deflessione in un campo elettrico

Moto in un campo elettrico uniforme

1. Particella accelerata tra due armature

Una particella di massa $m$ e carica $q$ parte da ferma vicino a un’armatura e attraversa la differenza di potenziale $\Delta V$ , nel verso in cui il campo elettrico la accelera. Se l’unica forza è quella elettrica, la particella si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato, con accelerazione e velocità finale

a = \frac{|q|\,E}{m} = \frac{|q|\,\Delta V}{m\,d} , \qquad v = \sqrt{\frac{2\,|q|\,\Delta V}{m}} .

Le armature con un piccolo foro servono a produrre fasci di particelle con velocità nota, come nel tubo a raggi catodici. Un elettrone accelerato da ferma con $\Delta V = 100\,\mathrm{V}$ raggiunge la velocità

v = \sqrt{\frac{2 \cdot 1{,}60 \cdot 10^{-19} \cdot 100}{9{,}11 \cdot 10^{-31}}}\,\mathrm{m/s} \approx 5{,}9 \cdot 10^6\,\mathrm{m/s} ,

che è circa il $2\,\%$ della velocità della luce.

Una carica positiva lasciata ferma vicino all'armatura positiva subisce la forza

q E

, accelera verso l'armatura negativa ed esce dal foro con velocità

v = \frac{2 ∣ q ∣ Δ V}{m}

Dimostrazione

La forza elettrica $q\,\vec{E}$ è costante, perché il campo è uniforme, quindi per il secondo principio della dinamica l’accelerazione è costante e vale $a = \dfrac{|q|\,E}{m}$ . La particella parte da ferma e la forza ha la direzione del campo, perciò il moto è rettilineo uniformemente accelerato. Sostituendo $E = \dfrac{\Delta V}{d}$ si ottiene la prima formula.

Per la velocità finale si usa il teorema dell’energia cinetica. Il campo compie il lavoro $W = |q|\,\Delta V$ e l’energia cinetica iniziale è nulla, quindi

|q|\,\Delta V = \frac{1}{2} m v^2 \quad\Longrightarrow\quad v^2 = \frac{2\,|q|\,\Delta V}{m} \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2\,|q|\,\Delta V}{m}} .

2. Elettronvolt

L’elettronvolt è l’energia che acquista una particella di carica $e$ quando attraversa la differenza di potenziale di $1\,\mathrm{V}$ :

1\,\mathrm{eV} = 1{,}60 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{C} \cdot 1\,\mathrm{V} = 1{,}60 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{J} .

Si usano anche i multipli $1\,\mathrm{keV} = 10^3\,\mathrm{eV}$ e $1\,\mathrm{MeV} = 10^6\,\mathrm{eV}$ . Le energie delle particelle sono numeri molto piccoli in joule, e in elettronvolt diventano numeri comodi. Inoltre una particella di carica $e$ , accelerata da ferma con $\Delta V$ volt, ha energia cinetica di $\Delta V$ elettronvolt. Per esempio un protone accelerato da $5{,}0\,\mathrm{kV}$ ha $K = 5{,}0\,\mathrm{keV} = 5{,}0 \cdot 10^3 \cdot 1{,}60 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{J} = 8{,}0 \cdot 10^{-16}\,\mathrm{J}$ , mentre una particella alfa, di carica $2e$ , accelerata dalla stessa differenza di potenziale ha $K = 10\,\mathrm{keV}$ .

Peso trascurabile e velocità piccole rispetto a c

In tutto l’argomento il peso delle particelle si trascura. Per un elettrone in un campo di $6{,}0 \cdot 10^3\,\mathrm{V/m}$ la forza elettrica vale $e E = 1{,}60 \cdot 10^{-19} \cdot 6{,}0 \cdot 10^3\,\mathrm{N} = 9{,}6 \cdot 10^{-16}\,\mathrm{N}$ , mentre il peso vale $m_e\,g = 9{,}11 \cdot 10^{-31} \cdot 9{,}8\,\mathrm{N} \approx 8{,}9 \cdot 10^{-30}\,\mathrm{N}$ , circa $10^{14}$ volte meno. Si suppone anche che le velocità siano piccole rispetto a $c = 3{,}00 \cdot 10^8\,\mathrm{m/s}$ , così che valgano le leggi della meccanica classica. Quando $v$ supera qualche decimo di $c$ servono le formule della relatività, per le quali si rimanda all’argomento sulla relatività ristretta: dinamica ed energia.

Deflessione in un campo elettrico

Deflessione in un campo elettrico uniforme

Una particella di massa $m$ e carica $q$ entra con velocità $v_0$ tra due armature lunghe $L$ , parallelamente alle armature, cioè perpendicolarmente al campo uniforme $\vec{E}$ . Si sceglie l’asse $x$ nella direzione di $\vec{v}_0$ e l’asse $y$ nella direzione della forza elettrica. Allora la particella descrive un arco di parabola, di equazione

y = \frac{|q|\,E}{2 m v_0^2}\, x^2 ,

e all’uscita dalle armature, per $x = L$ , è spostata di $y_L$ e la sua velocità forma con la direzione iniziale un angolo $\theta$ , con

y_L = \frac{|q|\,E\,L^2}{2 m v_0^2} , \qquad \tan\theta = \frac{|q|\,E\,L}{m v_0^2} .

È lo stesso moto di un proiettile lanciato orizzontalmente, con la forza elettrica al posto del peso. Un elettrone entra con $v_0 = 2{,}0 \cdot 10^7\,\mathrm{m/s}$ tra armature lunghe $5{,}0\,\mathrm{cm}$ , distanti $1{,}5\,\mathrm{cm}$ , con $\Delta V = 90\,\mathrm{V}$ . Il campo vale $E = \dfrac{90}{0{,}015}\,\mathrm{V/m} = 6{,}0 \cdot 10^3\,\mathrm{V/m}$ , e quindi

y_L = \frac{1{,}60 \cdot 10^{-19} \cdot 6{,}0 \cdot 10^3 \cdot (0{,}050)^2}{2 \cdot 9{,}11 \cdot 10^{-31} \cdot (2{,}0 \cdot 10^7)^2}\,\mathrm{m} \approx 3{,}3 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{m} , \qquad \tan\theta \approx 0{,}13 ,

cioè $\theta \approx 7{,}5^\circ$ . Lo spostamento di $3{,}3\,\mathrm{mm}$ è minore di metà della distanza tra le armature, quindi l’elettrone, entrato a metà strada, esce senza urtarle.

Un elettrone entra tra le armature con velocità

v_{0}

perpendicolare a

E

: la forza è opposta al campo, la traiettoria è un arco di parabola, e dopo le armature il moto prosegue in linea retta fino allo schermo

Dimostrazione

La forza elettrica ha modulo costante $|q|\,E$ ed è diretta lungo l’asse $y$ . Lungo l’asse $x$ non agisce alcuna forza, quindi il moto lungo $x$ è rettilineo uniforme:

x = v_0\, t .

Lungo l’asse $y$ l’accelerazione è costante, $a = \dfrac{|q|\,E}{m}$ , e la velocità iniziale è nulla, perciò il moto lungo $y$ è uniformemente accelerato:

y = \frac{1}{2}\, a\, t^2 = \frac{|q|\,E}{2m}\, t^2 , \qquad v_y = a\, t = \frac{|q|\,E}{m}\, t .

Dalla prima equazione si ricava $t = \dfrac{x}{v_0}$ . Sostituendo nella seconda si ottiene $y = \dfrac{|q|\,E}{2 m v_0^2}\, x^2$ , che è l’equazione di una parabola con vertice nel punto di ingresso.

La particella esce dalle armature all’istante $t_L = \dfrac{L}{v_0}$ . Sostituendo $x = L$ nell’equazione della parabola si ottiene $y_L$ . In quell’istante la componente della velocità lungo $y$ è $v_y = \dfrac{|q|\,E\,L}{m v_0}$ , mentre la componente lungo $x$ è ancora $v_0$ , quindi

\tan\theta = \frac{v_y}{v_0} = \frac{|q|\,E\,L}{m v_0^2} .

Il moto dopo le armature e lo schermo

Fuori dalle armature il campo è nullo, quindi la particella prosegue di moto rettilineo uniforme nella direzione che aveva all’uscita. Su uno schermo posto alla distanza $D$ dalla fine delle armature lo spostamento totale è perciò

Y = y_L + D \tan\theta .

Nell’esempio dell’elettrone, con $D = 20\,\mathrm{cm}$ , si ha $Y \approx 3{,}3 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{m} + 0{,}20 \cdot 0{,}132\,\mathrm{m} \approx 3{,}0 \cdot 10^{-2}\,\mathrm{m}$ . Lo spostamento sullo schermo è proporzionale a $E$ , quindi alla tensione tra le armature. Su questo principio funzionavano gli oscilloscopi a raggi catodici, nei quali il punto luminoso sullo schermo seguiva la tensione da misurare.

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Moto in un campo magnetico uniforme
Moto elicoidale
Selettore di velocità
Esperimento di Thomson e rapporto tra carica e massa
Spettrometro di massa e isotopi
Ciclotrone
Effetto Hall

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