Relatività ristretta: dinamica ed energia

Come si scrivono in relatività la quantità di moto e l'energia di una particella, perché la massa equivale a un'energia, come energia e quantità di moto si conservano negli urti, nei decadimenti e nella creazione di coppie, quanta energia si libera nella fissione e nella fusione dei nuclei e che cosa afferma il principio di equivalenza della relatività generale.

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Quantità di moto relativistica
Energia totale ed energia a riposo

Quantità di moto relativistica

In tutto l’argomento $m$ indica la massa di una particella misurata quando la particella è ferma, detta anche massa a riposo. La massa è una proprietà della particella e ha lo stesso valore in ogni sistema di riferimento. Una particella di massa $m$ che si muove con velocità $\vec{v}$ ha quantità di moto relativistica

\vec{p} = \gamma\, m\, \vec{v} , \qquad p = \gamma\, m\, v = \frac{m v}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} .

Per velocità piccole rispetto a $c$ si ha $\gamma \approx 1$ e si ritrova la quantità di moto classica $m v$ ; per velocità vicine a $c$ la quantità di moto relativistica è molto maggiore di $m v$ . Per esempio un elettrone con $v = 0{,}80\,c = 2{,}40 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s}$ ha $\gamma = \dfrac{5}{3} \approx 1{,}67$ , quindi

p = \frac{5}{3} \cdot 9{,}11 \cdot 10^{-31} \cdot 2{,}40 \cdot 10^{8}\,\mathrm{kg\cdot m/s} \approx 3{,}64 \cdot 10^{-22}\,\mathrm{kg\cdot m/s} ,

mentre $m v \approx 2{,}19 \cdot 10^{-22}\,\mathrm{kg\cdot m/s}$ .

\gamma\beta

\beta

Quantità di moto in unità di

m c

in funzione di

β

: la quantità di moto relativistica

γ m v

coincide con

m v

per

β

piccolo e tende a

+ \infty

per

β \to 1

Perché la quantità di moto cambia forma

In meccanica classica la quantità di moto totale di un sistema isolato si conserva in ogni sistema inerziale. Se si calcolano le velocità con la composizione relativistica delle velocità, la somma delle quantità $m v$ prima e dopo un urto risulta uguale in un sistema di riferimento e diversa in un altro. La grandezza $\gamma m v$ è invece conservata in tutti i sistemi inerziali, come richiede il primo postulato di Einstein, perciò è questa la quantità di moto della relatività ristretta.

Attenzione

In alcuni libri il prodotto $\gamma m$ si chiama “massa relativistica”, e si dice che la massa cresce con la velocità. In questo argomento la massa $m$ è sempre la massa a riposo, che non dipende dalla velocità. Un elettrone ha massa $9{,}11 \cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ sia fermo sia a $0{,}80\,c$ ; con la velocità cresce il fattore $\gamma$ che compare nella quantità di moto e nell’energia.

Secondo principio della dinamica in relatività

Il secondo principio della dinamica resta valido se si scrive con la quantità di moto relativistica. In questa forma la forza media che agisce su una particella nell’intervallo $\Delta t$ è

\vec{F} = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t} .

La forma $\vec{F} = m \vec{a}$ vale invece solo per $v \ll c$ . Per esempio, se un elettrone parte da fermo e subisce per $10\,\mathrm{ns}$ una forza costante di $1{,}6 \cdot 10^{-13}\,\mathrm{N}$ , la sua quantità di moto finale è $p = F\,\Delta t = 1{,}6 \cdot 10^{-21}\,\mathrm{kg\cdot m/s}$ , come in meccanica classica; la velocità corrispondente si calcola con la relazione tra energia e quantità di moto.

Energia totale ed energia a riposo

L’energia totale di una particella di massa $m$ che si muove con velocità $v$ è

E = \gamma\, m c^2 .

Per $v = 0$ si ha $\gamma = 1$ , e l’energia totale si riduce all’energia a riposo

E_0 = m c^2 ,

che la particella possiede anche quando è ferma. Poiché $\gamma > 1$ per $v > 0$ , l’energia totale di una particella in moto è maggiore della sua energia a riposo. Per esempio un protone ha energia a riposo

E_0 = 1{,}67 \cdot 10^{-27} \cdot \left( 3{,}00 \cdot 10^{8} \right)^2\,\mathrm{J} \approx 1{,}50 \cdot 10^{-10}\,\mathrm{J} ,

e a $v = 0{,}60\,c$ , dove $\gamma = 1{,}25$ , ha energia totale $E = 1{,}25 \cdot 1{,}50 \cdot 10^{-10}\,\mathrm{J} \approx 1{,}88 \cdot 10^{-10}\,\mathrm{J}$ .

Equivalenza tra massa ed energia

A ogni massa $m$ corrisponde l’energia a riposo $E_0 = m c^2$ , e viceversa. Se un sistema fermo cede l’energia $\Delta E$ all’esterno, per esempio sotto forma di radiazione o di calore, la sua massa diminuisce di

\Delta m = \frac{\Delta E}{c^2} .

È un risultato di Einstein, che qui si assume senza dimostrazione ed è confermato dalle misure di fisica nucleare e delle particelle. Il fattore $c^2 = 9{,}00 \cdot 10^{16}\,\mathrm{m^2/s^2}$ è molto grande, quindi a una massa piccola corrisponde un’energia enorme. Per esempio a $1\,\mathrm{g}$ di materia corrisponde l’energia $10^{-3} \cdot 9{,}00 \cdot 10^{16}\,\mathrm{J} = 9{,}0 \cdot 10^{13}\,\mathrm{J}$ , che una centrale elettrica da $1\,\mathrm{GW}$ produce in $9{,}0 \cdot 10^{4}\,\mathrm{s}$ , cioè in circa $25$ ore. Nei processi chimici e termici la variazione di massa è invece troppo piccola per essere misurata.

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Energia cinetica relativistica
Unità di misura della fisica delle particelle
Energia e quantità di moto
La velocità della luce come velocità limite
Conservazione dell’energia e della quantità di moto
Creazione e annichilazione di coppie
Energia di legame dei nuclei
Cenno alla relatività generale

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