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Theory

Autoinduzione, circuiti RL ed energia magnetica

Che cos'è l'induttanza di un circuito e come si calcola per un solenoide, come cresce e come si annulla la corrente in un circuito RL, quanta energia è immagazzinata in un induttore e nel campo magnetico, e che cos'è la mutua induzione tra due circuiti.

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Autoinduzione e induttanza
Induttanza di un solenoide

Autoinduzione e induttanza

Accensione ritardata di una lampadina

Due lampadine uguali sono collegate in parallelo allo stesso generatore. La prima è in serie con una bobina di molte spire avvolte su un nucleo di ferro, la seconda è in serie con un resistore che ha la stessa resistenza della bobina. Alla chiusura dell’interruttore la seconda lampadina si accende subito, mentre la prima raggiunge la stessa luminosità con un ritardo ben visibile. A regime le due lampadine sono ugualmente luminose, perché i due rami hanno la stessa resistenza.

Se ne conclude che nella bobina, mentre la corrente cresce, si genera una forza elettromotrice che si oppone alla crescita. La corrente della bobina genera un campo magnetico, e il flusso di questo campo attraverso le spire della bobina stessa varia insieme alla corrente. Per la legge di Faraday-Neumann-Lenz si genera quindi una f.e.m. indotta proprio nel circuito che produce il campo. Questo fenomeno si chiama autoinduzione.

1. Induttanza

Un circuito percorso dalla corrente $i$ genera un campo magnetico, e il flusso di questo campo attraverso il circuito stesso si chiama flusso autoconcatenato. In aria il campo generato è proporzionale alla corrente in ogni punto, come mostrano le formule del campo di un filo, di una spira e di un solenoide; perciò anche il flusso autoconcatenato è proporzionale a $i$ . L’induttanza del circuito, detta anche coefficiente di autoinduzione, è il rapporto

L = \frac{\Phi_B}{i} .

In aria l’induttanza dipende solo dalla forma e dalle dimensioni del circuito, e non dalla corrente. Si misura in henry, con $1\,\mathrm{H} = 1\,\mathrm{Wb/A}$ . Per esempio, se una bobina percorsa da $2{,}0\,\mathrm{A}$ ha un flusso autoconcatenato di $6{,}0 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{Wb}$ , la sua induttanza è

L = \frac{6{,}0 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{Wb}}{2{,}0\,\mathrm{A}} = 3{,}0 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{H} = 3{,}0\,\mathrm{mH} .

L’induttanza serve a calcolare la f.e.m. autoindotta, la durata dei transitori nei circuiti e l’energia immagazzinata in una bobina.

2. F.e.m. autoindotta

Sia $L$ l’induttanza, costante, di un circuito percorso dalla corrente $i(t)$ . Allora nel circuito si genera la f.e.m. autoindotta

\mathcal{E}_L = -L\,\frac{di}{dt} .

Il prodotto di un henry per un ampere al secondo è un volt, perché $1\,\mathrm{H \cdot A/s} = 1\,\mathrm{Wb/s} = 1\,\mathrm{V}$ . Se la corrente varia in modo uniforme di $\Delta i$ nell’intervallo $\Delta t$ , la derivata è uguale al rapporto $\dfrac{\Delta i}{\Delta t}$ e si ha $\mathcal{E}_L = -L\,\dfrac{\Delta i}{\Delta t}$ ; se la variazione non è uniforme, questo rapporto dà la f.e.m. autoindotta media. Per esempio, se la corrente in una bobina con $L = 0{,}20\,\mathrm{H}$ cresce in modo uniforme da $0$ a $3{,}0\,\mathrm{A}$ in $50\,\mathrm{ms}$ , si ha

\frac{\Delta i}{\Delta t} = \frac{3{,}0\,\mathrm{A}}{0{,}050\,\mathrm{s}} = 60\,\mathrm{A/s} , \qquad \mathcal{E}_L = -0{,}20 \cdot 60\,\mathrm{V} = -12\,\mathrm{V} .

Il segno meno indica che la f.e.m. autoindotta agisce in verso opposto alla corrente.

Dimostrazione

Per la definizione di induttanza il flusso autoconcatenato è $\Phi_B = L\,i$ . Si applica la legge di Faraday-Neumann-Lenz e, poiché $L$ è costante, la si porta fuori dalla derivata:

\mathcal{E}_L = -\frac{d\Phi_B}{dt} = -\frac{d\,(L\,i)}{dt} = -L\,\frac{di}{dt} .

Verso della f.e.m. autoindotta

Per la legge di Lenz la f.e.m. autoindotta si oppone alla variazione della corrente.

Se la corrente cresce, $\dfrac{di}{dt} > 0$ e $\mathcal{E}_L < 0$ , quindi la f.e.m. autoindotta agisce in verso opposto alla corrente e ne rallenta la crescita.
Se la corrente diminuisce, $\dfrac{di}{dt} < 0$ e $\mathcal{E}_L > 0$ , quindi la f.e.m. autoindotta agisce nello stesso verso della corrente e ne rallenta la diminuzione.
Se la corrente è costante, la f.e.m. autoindotta è nulla.

In meccanica la massa di un corpo si oppone alle variazioni della sua velocità. Allo stesso modo l’induttanza di un circuito si oppone alle variazioni della corrente, e per questa analogia l’induttanza viene paragonata alla massa.

Una corrente che cresce, resta costante e diminuisce

In una bobina con $L = 20\,\mathrm{mH}$ la corrente cresce in modo uniforme da $0$ a $3{,}0\,\mathrm{A}$ nei primi $5{,}0\,\mathrm{ms}$ , resta costante per altri $5{,}0\,\mathrm{ms}$ e poi diminuisce in modo uniforme fino a $0$ in $10\,\mathrm{ms}$ . In ogni tratto la derivata della corrente è il coefficiente angolare del segmento di grafico.

Per $0 < t < 5{,}0\,\mathrm{ms}$ si ha $\dfrac{di}{dt} = \dfrac{3{,}0\,\mathrm{A}}{5{,}0 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{s}} = 600\,\mathrm{A/s}$ , quindi $\mathcal{E}_L = -0{,}020 \cdot 600\,\mathrm{V} = -12\,\mathrm{V}$ .
Per $5{,}0\,\mathrm{ms} < t < 10\,\mathrm{ms}$ la corrente è costante, quindi $\mathcal{E}_L = 0$ .
Per $10\,\mathrm{ms} < t < 20\,\mathrm{ms}$ si ha $\dfrac{di}{dt} = \dfrac{-3{,}0\,\mathrm{A}}{1{,}0 \cdot 10^{-2}\,\mathrm{s}} = -300\,\mathrm{A/s}$ , quindi $\mathcal{E}_L = -0{,}020 \cdot (-300)\,\mathrm{V} = 6{,}0\,\mathrm{V}$ .

La f.e.m. è negativa mentre la corrente cresce e positiva mentre la corrente diminuisce, come prevede la legge di Lenz. In modulo è maggiore nel primo tratto, dove la corrente varia più rapidamente.

Corrente nella bobina, in ampere, con il tempo in millisecondi: la f.e.m. autoindotta vale

- 12 V

nel tratto in salita,

0

nel tratto orizzontale e

6, 0 V

nel tratto in discesa

Attenzione

La f.e.m. autoindotta dipende dalla rapidità con cui varia la corrente, e non dal valore della corrente. Nella bobina con $L = 20\,\mathrm{mH}$ dell’esempio, subito dopo l’istante iniziale la corrente è quasi nulla e la f.e.m. vale $-12\,\mathrm{V}$ , mentre tra $5{,}0\,\mathrm{ms}$ e $10\,\mathrm{ms}$ la corrente vale $3{,}0\,\mathrm{A}$ e la f.e.m. è nulla.

Induttanza di un solenoide

Un solenoide in aria di lunghezza $\ell$ è formato da $N$ spire di area $S$ ed è lungo rispetto al raggio delle spire. Allora la sua induttanza è

L = \frac{\mu_0 N^2 S}{\ell} .

L’induttanza dipende solo dalla geometria del solenoide ed è proporzionale al quadrato del numero di spire. Per un solenoide lungo $25\,\mathrm{cm}$ , con $500$ spire di raggio $1{,}0\,\mathrm{cm}$ , l’area di una spira è $S = \pi \cdot (0{,}010\,\mathrm{m})^2 = 3{,}14 \cdot 10^{-4}\,\mathrm{m^2}$ e

L = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 500^2 \cdot 3{,}14 \cdot 10^{-4}}{0{,}25}\,\mathrm{H} = 3{,}95 \cdot 10^{-4}\,\mathrm{H} \approx 0{,}39\,\mathrm{mH} .

Sezione di un solenoide: la corrente esce dal foglio nelle spire in alto (

⊙

) ed entra nel foglio in quelle in basso (

\otimes

); all'interno il campo

B

è uniforme e parallelo all'asse, e attraversa tutte le

N

spire

Dimostrazione

L’idea è calcolare il flusso autoconcatenato e dividerlo per la corrente. Sia $i$ la corrente nel solenoide. Per il campo di un solenoide, all’interno il campo è uniforme e vale $B = \mu_0\,\dfrac{N}{\ell}\,i$ . Il campo è perpendicolare al piano di ogni spira, quindi il flusso attraverso una spira è il prodotto $B S$ . Le spire sono $N$ , perciò il flusso concatenato con tutto il solenoide è $N$ volte il flusso attraverso una spira:

\Phi_B = N B S = N \cdot \mu_0\,\frac{N}{\ell}\,i \cdot S = \frac{\mu_0 N^2 S}{\ell}\,i .

Per la definizione di induttanza si ottiene

L = \frac{\Phi_B}{i} = \frac{\mu_0 N^2 S}{\ell} .

Il numero $N$ compare due volte, una perché il campo è proporzionale a $N$ e una perché il flusso si somma su $N$ spire; da qui viene il fattore $N^2$ .

Solenoide con nucleo di ferro

Se all’interno del solenoide si inserisce un nucleo di materiale ferromagnetico con permeabilità magnetica relativa $\mu_r$ , il campo all’interno diventa $\mu_r$ volte più intenso, come si è visto nell’argomento sulle sorgenti del campo magnetico e il teorema di Ampère. Il flusso autoconcatenato aumenta dello stesso fattore, quindi anche l’induttanza:

L = \frac{\mu_r \mu_0 N^2 S}{\ell} .

Con un nucleo di $\mu_r = 200$ il solenoide di $500$ spire passa da $0{,}39\,\mathrm{mH}$ a circa $79\,\mathrm{mH}$ . Il nucleo permette quindi di ottenere induttanze grandi con poche spire. Nei materiali ferromagnetici $\mu_r$ dipende dal campo, perciò la formula dà solo una stima dell’induttanza.

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Induttore e circuito RL
Chiusura del circuito RL
Apertura del circuito RL
Energia immagazzinata in un induttore
Densità di energia del campo magnetico
Mutua induzione

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