Special relativity: space and time

Un vagone si muove con velocità $v=0,60c$ rispetto alla banchina. Al centro del vagone una lampada emette un lampo verso le due estremità, che nel sistema della banchina distano ciascuna $30\mathrm{m}$ dalla lampada nell’istante dell’emissione. Calcola, nel sistema della banchina, l’intervallo di tempo tra l’arrivo del lampo in coda e l’arrivo in testa. Si usi $c=3,00\cdot 10^{8}m/s$.

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Un segnale acustico a bordo di un’astronave dura $30\mathrm{s}$, misurati dall’equipaggio. L’astronave si muove con velocità $v=0,60c$ rispetto alla Terra. Calcola la durata del segnale misurata dagli osservatori terrestri.

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Determina la velocità con cui deve muoversi un orologio rispetto a un laboratorio perché nel laboratorio ogni suo secondo duri $2,0\mathrm{s}$. Si usi $c=3,00\cdot 10^{8}m/s$.

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Un regolo lungo $2,0\mathrm{m}$ nel proprio sistema di quiete si muove lungo la propria direzione con velocità $v=0,60c$ rispetto a un laboratorio. Calcola la lunghezza del regolo misurata nel laboratorio.

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Un’astronave lunga $75\mathrm{m}$ nel proprio sistema di quiete passa davanti a una stazione spaziale, che ne misura la lunghezza in $45\mathrm{m}$. Determina la velocità dell’astronave rispetto alla stazione. Si usi $c=3,00\cdot 10^{8}m/s$.

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Un muone, che da fermo ha vita media $\tau =2,2\mu \mathrm{s}$, si muove con velocità $v=0,99c$ rispetto alla Terra. Calcola la sua vita media misurata sulla Terra e la distanza che percorre, in media, nel sistema della Terra prima di decadere. Si usi $c=3,00\cdot 10^{8}m/s$.

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Un’astronave si allontana dalla Terra con velocità $0,60c$ e lancia in avanti una navetta che rispetto all’astronave ha velocità $0,60c$. Calcola la velocità della navetta rispetto alla Terra.

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In un acceleratore due protoni si muovono uno contro l’altro, ciascuno con velocità di modulo $0,70c$ rispetto al laboratorio. Calcola il modulo della velocità di un protone rispetto all’altro.

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Un sistema $S^{\prime }$ si muove rispetto a $S$ con velocità $v=0,60c$ lungo l’asse $x$, e le origini coincidono all’istante $t=t^{\prime }=0$. Un evento ha in $S$ le coordinate $x=1200\mathrm{m}$ e $t=5,0\mu \mathrm{s}$. Calcola le sue coordinate $x^{\prime }$ e $t^{\prime }$ in $S^{\prime }$. Si usi $c=3,00\cdot 10^{8}m/s$.

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Due lampi scoccano nello stesso istante, nel sistema $S$ di una pista, in due punti distanti $600\mathrm{m}$ lungo l’asse $x$. Un razzo si muove lungo la pista con velocità $v=0,80c$ nel verso positivo dell’asse $x$. Calcola l’intervallo di tempo tra i due lampi nel sistema del razzo e stabilisci quale dei due scocca prima. Si usi $c=3,00\cdot 10^{8}m/s$.

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Due eventi sono separati, nel sistema $S$, da $\Delta x=1500\mathrm{m}$ e da $\Delta t=4,0\mu \mathrm{s}$. Calcola $(\Delta s{)}^2$, stabilisci di che tipo è l’intervallo e se il primo evento può essere la causa del secondo. Determina infine la velocità del sistema, in moto lungo l’asse $x$, in cui i due eventi sono simultanei. Si usi $c=3,00\cdot 10^{8}m/s$.

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Due eventi sono separati, nel sistema $S$, da $\Delta x=900\mathrm{m}$ e da $c\Delta t=1500\mathrm{m}$. Calcola l’intervallo $\Delta s$ e il tempo proprio misurato da un orologio che si muove di moto uniforme dal primo al secondo evento. Si usi $c=3,00\cdot 10^{8}m/s$.

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Un sistema $S^{\prime }$ si muove rispetto a $S$ con velocità $v=0,75c$. Calcola l’angolo che, nel diagramma di Minkowski di $S$ disegnato con la stessa scala sui due assi, l’asse $c{t}^{\prime }$ forma con l’asse $ct$.

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Un astronauta parte dalla Terra verso una stella distante $8,0$ anni luce nel sistema della Terra, la raggiunge con velocità $0,80c$ e torna subito indietro con la stessa velocità. Trascurando le fasi di accelerazione, calcola la durata del viaggio per il fratello gemello rimasto sulla Terra e per l’astronauta.

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