Reattanza induttiva e reattanza capacitiva

Theory used: Circuito puramente induttivo Circuito puramente capacitivo Reattanze e frequenza Valore efficace di una grandezza sinusoidale

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Esercizio 1

Un induttore ideale di induttanza $L = 0{,}50\,\mathrm{H}$ è collegato alla rete, con $V_{\text{eff}} = 230\,\mathrm{V}$ e $f = 50\,\mathrm{Hz}$ . Calcola la reattanza induttiva, la corrente efficace e il valore massimo della corrente. Spiega quale delle due grandezze, tensione o corrente, raggiunge per prima il massimo.

X_L = 2\pi f L , \qquad I_{\text{eff}} = \frac{V_{\text{eff}}}{X_L} , \qquad I_0 = \sqrt{2}\, I_{\text{eff}}

\begin{aligned} X_L &= 2\pi \cdot 50\,\mathrm{Hz} \cdot 0{,}50\,\mathrm{H} \approx 157\,\Omega \\[6pt] I_{\text{eff}} &= \frac{230\,\mathrm{V}}{157\,\Omega} \approx 1{,}46\,\mathrm{A} \\[6pt] I_0 &= \sqrt{2} \cdot 1{,}46\,\mathrm{A} \approx 2{,}07\,\mathrm{A} \end{aligned}

L’induttore è ideale, cioè ha resistenza trascurabile, quindi si applica il teorema sul circuito puramente induttivo. La reattanza induttiva è $X_L = \omega L$ , con $\omega = 2\pi f$ , e il rapporto tra i valori efficaci di tensione e corrente è uguale a $X_L$ . Dividendo la tensione efficace per la reattanza si ottiene la corrente efficace, e moltiplicando per $\sqrt{2}$ il suo valore massimo.

Nel circuito puramente induttivo la tensione è in anticipo di $\dfrac{\pi}{2}$ sulla corrente. Quindi la tensione raggiunge il massimo per prima, e la corrente lo raggiunge un quarto di periodo dopo, cioè dopo $5\,\mathrm{ms}$ , poiché il periodo è $\dfrac{1}{50}\,\mathrm{s} = 20\,\mathrm{ms}$ .

Esercizio 2

Un condensatore collegato alla rete, con $V_{\text{eff}} = 230\,\mathrm{V}$ e $f = 50\,\mathrm{Hz}$ , è percorso dalla corrente efficace $0{,}50\,\mathrm{A}$ . Determina la reattanza capacitiva e la capacità del condensatore. Calcola poi la corrente efficace se lo stesso condensatore è collegato a un generatore con la stessa tensione efficace e frequenza $100\,\mathrm{Hz}$ .

X_C = \frac{V_{\text{eff}}}{I_{\text{eff}}} , \qquad X_C = \frac{1}{2\pi f C} \;\Longrightarrow\; C = \frac{1}{2\pi f X_C} , \qquad I'_{\text{eff}} = \frac{V_{\text{eff}}}{X'_C} = 2\pi f' C\, V_{\text{eff}}

\begin{aligned} X_C &= \frac{230\,\mathrm{V}}{0{,}50\,\mathrm{A}} = 460\,\Omega \\[6pt] C &= \frac{1}{2\pi \cdot 50\,\mathrm{Hz} \cdot 460\,\Omega} \approx 6{,}9 \cdot 10^{-6}\,\mathrm{F} = 6{,}9\,\mu\mathrm{F} \\[6pt] X'_C &= \frac{460\,\Omega}{2} = 230\,\Omega , \qquad I'_{\text{eff}} = \frac{230\,\mathrm{V}}{230\,\Omega} = 1{,}0\,\mathrm{A} \end{aligned}

Per il teorema sul circuito puramente capacitivo il rapporto tra tensione efficace e corrente efficace è la reattanza capacitiva. Dalla formula $X_C = \dfrac{1}{2\pi f C}$ si ricava la capacità, moltiplicando entrambi i membri per $C$ e dividendo per $X_C$ .

La reattanza capacitiva è inversamente proporzionale alla frequenza, quindi raddoppiando la frequenza la reattanza si dimezza e diventa $230\,\Omega$ . La tensione efficace è la stessa, perciò la corrente efficace raddoppia e vale $1{,}0\,\mathrm{A}$ . Con frequenza maggiore le armature si caricano e si scaricano più volte al secondo, e nei fili passa più carica nello stesso tempo.

Esercizio 3

Una bobina di resistenza trascurabile, collegata a un generatore di tensione efficace $12\,\mathrm{V}$ e frequenza $50\,\mathrm{Hz}$ , è percorsa dalla corrente efficace $0{,}30\,\mathrm{A}$ . Calcola l’induttanza della bobina. Se la frequenza del generatore raddoppia, con la stessa tensione efficace, la corrente efficace raddoppia, si dimezza o resta la stessa? Spiega e calcola.

X_L = \frac{V_{\text{eff}}}{I_{\text{eff}}} , \qquad L = \frac{X_L}{2\pi f} , \qquad X'_L = 2\pi (2f) L = 2 X_L , \qquad I'_{\text{eff}} = \frac{V_{\text{eff}}}{X'_L}

\begin{aligned} X_L &= \frac{12\,\mathrm{V}}{0{,}30\,\mathrm{A}} = 40\,\Omega \\[6pt] L &= \frac{40\,\Omega}{2\pi \cdot 50\,\mathrm{Hz}} \approx 0{,}13\,\mathrm{H} \\[6pt] X'_L &= 80\,\Omega , \qquad I'_{\text{eff}} = \frac{12\,\mathrm{V}}{80\,\Omega} = 0{,}15\,\mathrm{A} \end{aligned}

La resistenza della bobina è trascurabile, quindi la bobina è un induttore ideale e si applica il teorema sul circuito puramente induttivo. Il rapporto tra i valori efficaci dà la reattanza induttiva, e dividendo per la pulsazione $2\pi f$ si ottiene l’induttanza. Le unità sono coerenti, perché $\dfrac{\Omega}{\mathrm{s^{-1}}} = \Omega \cdot \mathrm{s} = \mathrm{H}$ .

La reattanza induttiva è proporzionale alla frequenza, quindi alla frequenza doppia vale $80\,\Omega$ . Con la stessa tensione efficace la corrente efficace si dimezza, e diventa $0{,}15\,\mathrm{A}$ . Il comportamento è opposto a quello del condensatore, per cui la corrente aumenta con la frequenza, come si legge nell’osservazione su reattanze e frequenza.