Valori efficaci e potenza nei circuiti resistivi

Theory used: Valore efficace Valore efficace di una grandezza sinusoidale Circuito puramente resistivo Tensione e corrente alternata

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Esercizio 1

La tensione ai capi di un resistore di resistenza $R = 50\,\Omega$ è $v(t) = 325 \sin(314\,t)$ , in volt e secondi. Determina la frequenza, il valore efficace della tensione, l’ampiezza e il valore efficace della corrente e la potenza media dissipata nel resistore.

f = \frac{\omega}{2\pi} , \qquad V_{\text{eff}} = \frac{V_0}{\sqrt{2}} , \qquad I_0 = \frac{V_0}{R} , \qquad I_{\text{eff}} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} , \qquad P = V_{\text{eff}}\, I_{\text{eff}}

\begin{aligned} f &= \frac{314}{2\pi}\,\mathrm{Hz} \approx 50\,\mathrm{Hz} \\[6pt] V_{\text{eff}} &= \frac{325}{\sqrt{2}}\,\mathrm{V} \approx 230\,\mathrm{V} \\[6pt] I_0 &= \frac{325\,\mathrm{V}}{50\,\Omega} = 6{,}5\,\mathrm{A} \\[6pt] I_{\text{eff}} &= \frac{6{,}5}{\sqrt{2}}\,\mathrm{A} \approx 4{,}6\,\mathrm{A} \\[6pt] P &= 230\,\mathrm{V} \cdot 4{,}6\,\mathrm{A} \approx 1{,}06 \cdot 10^3\,\mathrm{W} \end{aligned}

La tensione ha la forma $V_0 \sin(\omega t)$ , quindi dal confronto con l’espressione data si leggono l’ampiezza $V_0 = 325\,\mathrm{V}$ e la pulsazione $\omega = 314\,\mathrm{rad/s}$ . La frequenza è la pulsazione divisa per $2\pi$ , e risulta quella della rete elettrica. Per il teorema sul valore efficace di una grandezza sinusoidale il valore efficace è l’ampiezza divisa per $\sqrt{2}$ , e vale circa $230\,\mathrm{V}$ , che è la tensione di rete.

Nel resistore la corrente è in fase con la tensione e ha ampiezza $\dfrac{V_0}{R}$ , per il teorema sul circuito puramente resistivo. La potenza media si calcola con i valori efficaci, con la stessa formula della corrente continua, perché questa è la definizione di valore efficace. Lo stesso risultato si ottiene con $\dfrac{V_{\text{eff}}^2}{R} = \dfrac{230^2}{50}\,\mathrm{W} \approx 1{,}06\,\mathrm{kW}$ .

Esercizio 2

Un asciugacapelli ha potenza $1800\,\mathrm{W}$ quando è collegato alla rete, con $V_{\text{eff}} = 230\,\mathrm{V}$ . Considerandolo un resistore, calcola la corrente efficace, il valore massimo della corrente e la resistenza. Calcola inoltre l’energia consumata in $15$ minuti di funzionamento, in kilowattora.

I_{\text{eff}} = \frac{P}{V_{\text{eff}}} , \qquad I_0 = \sqrt{2}\, I_{\text{eff}} , \qquad R = \frac{V_{\text{eff}}^2}{P} , \qquad E = P\,\Delta t

\begin{aligned} I_{\text{eff}} &= \frac{1800\,\mathrm{W}}{230\,\mathrm{V}} \approx 7{,}83\,\mathrm{A} \\[6pt] I_0 &= \sqrt{2} \cdot 7{,}83\,\mathrm{A} \approx 11{,}1\,\mathrm{A} \\[6pt] R &= \frac{(230\,\mathrm{V})^2}{1800\,\mathrm{W}} \approx 29{,}4\,\Omega \\[6pt] E &= 1{,}8\,\mathrm{kW} \cdot 0{,}25\,\mathrm{h} = 0{,}45\,\mathrm{kWh} \end{aligned}

La potenza dichiarata di un apparecchio è la potenza media, e la tensione di rete di $230\,\mathrm{V}$ è un valore efficace. Per un resistore tensione e corrente sono in fase, quindi la potenza media è il prodotto $V_{\text{eff}} I_{\text{eff}}$ , e da questa relazione si ricava la corrente efficace. Il valore massimo si ottiene moltiplicando per $\sqrt{2}$ , per il teorema sul valore efficace di una grandezza sinusoidale.

La resistenza si ricava da $P = \dfrac{V_{\text{eff}}^2}{R}$ , che si ottiene sostituendo $I_{\text{eff}} = \dfrac{V_{\text{eff}}}{R}$ nella formula della potenza. L’energia è il prodotto della potenza media per il tempo; esprimendo la potenza in kilowatt e il tempo in ore, $15$ minuti sono $0{,}25\,\mathrm{h}$ , e l’energia risulta $0{,}45\,\mathrm{kWh}$ , pari a $1{,}62 \cdot 10^6\,\mathrm{J}$ .

Esercizio 3

Un resistore di $20\,\Omega$ è collegato prima a una batteria con tensione continua di $12\,\mathrm{V}$ , poi a un generatore di tensione alternata sinusoidale di ampiezza $V_0 = 12\,\mathrm{V}$ . Calcola la potenza dissipata nei due casi e spiega perché sono diverse. Determina quale ampiezza deve avere la tensione alternata perché la potenza media sia la stessa della batteria.

P_{\text{cont}} = \frac{V^2}{R} , \qquad P_{\text{alt}} = \frac{V_{\text{eff}}^2}{R} = \frac{V_0^2}{2R} , \qquad V_{\text{eff}} = V \;\Longrightarrow\; V_0 = \sqrt{2}\, V

\begin{aligned} P_{\text{cont}} &= \frac{(12\,\mathrm{V})^2}{20\,\Omega} = 7{,}2\,\mathrm{W} \\[6pt] P_{\text{alt}} &= \frac{(12\,\mathrm{V})^2}{2 \cdot 20\,\Omega} = 3{,}6\,\mathrm{W} \\[6pt] V_0 &= \sqrt{2} \cdot 12\,\mathrm{V} \approx 17\,\mathrm{V} \end{aligned}

p(t)

Potenza istantanea in watt nel resistore alimentato in alternata con

V_{0} = 12 V

: oscilla tra

0

7, 2 W

, e il suo valor medio è

3, 6 W

Con la batteria la tensione è sempre $12\,\mathrm{V}$ , e la potenza è $\dfrac{V^2}{R}$ . Con il generatore alternato la tensione vale $12\,\mathrm{V}$ solo negli istanti di massimo, mentre negli altri istanti è minore in modulo. La potenza istantanea $\dfrac{v^2}{R}$ oscilla quindi tra $0$ e $7{,}2\,\mathrm{W}$ , e il suo valor medio è la metà del massimo, perché il valor medio di $\sin^2(\omega t)$ su un periodo è $\dfrac{1}{2}$ . Perciò la potenza media in alternata è la metà di quella con la batteria.

Per avere la stessa potenza media serve un valore efficace uguale alla tensione della batteria, per la definizione di valore efficace. Poiché $V_{\text{eff}} = \dfrac{V_0}{\sqrt{2}}$ , l’ampiezza deve essere $\sqrt{2} \cdot 12\,\mathrm{V} \approx 17\,\mathrm{V}$ .