Forza elettromotrice di un alternatore

Theory used: Forza elettromotrice dell'alternatore Flusso massimo e f.e.m. nulla Tensione e corrente alternata

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Esercizio 1

Una bobina di $200$ spire, ciascuna di area $0{,}015\,\mathrm{m^2}$ , ruota a $3000$ giri al minuto in un campo magnetico uniforme di $0{,}080\,\mathrm{T}$ , attorno a un asse perpendicolare al campo. All’istante $t = 0$ il piano delle spire è perpendicolare al campo. Calcola la frequenza e la pulsazione della f.e.m. indotta, il suo valore massimo, e il valore della f.e.m. all’istante $t = 1{,}0\,\mathrm{ms}$ .

f = \frac{n_{\text{giri}}}{\Delta t} , \qquad \omega = 2\pi f , \qquad \mathcal{E}(t) = N B S \omega \sin(\omega t) , \qquad \mathcal{E}_0 = N B S \omega

\begin{aligned} f &= \frac{3000}{60\,\mathrm{s}} = 50\,\mathrm{Hz} \\[6pt] \omega &= 2\pi \cdot 50\,\mathrm{rad/s} \approx 314\,\mathrm{rad/s} \\[6pt] \mathcal{E}_0 &= 200 \cdot 0{,}080\,\mathrm{T} \cdot 0{,}015\,\mathrm{m^2} \cdot 314\,\mathrm{rad/s} \approx 75{,}4\,\mathrm{V} \\[6pt] \mathcal{E}(1{,}0\,\mathrm{ms}) &= 75{,}4\,\mathrm{V} \cdot \sin\left( 314 \cdot 1{,}0 \cdot 10^{-3} \right) = 75{,}4\,\mathrm{V} \cdot \sin(0{,}314) \approx 23{,}3\,\mathrm{V} \end{aligned}

La bobina compie $3000$ giri in un minuto, cioè in $60\,\mathrm{s}$ , quindi compie $50$ giri al secondo. La f.e.m. compie un’oscillazione completa a ogni giro, perciò la sua frequenza è uguale alla frequenza di rotazione, $f = 50\,\mathrm{Hz}$ , la stessa della rete elettrica. La pulsazione è $\omega = 2\pi f$ .

All’istante $t = 0$ il piano delle spire è perpendicolare al campo, quindi la normale alle spire è parallela a $\vec{B}$ . Questa è la condizione iniziale del teorema sulla forza elettromotrice dell’alternatore. Il campo è uniforme e perpendicolare all’asse di rotazione, perciò il teorema si applica e dà $\mathcal{E}(t) = N B S \omega \sin(\omega t)$ . Il valore massimo è il prodotto $N B S \omega$ .

All’istante $t = 1{,}0\,\mathrm{ms}$ l’argomento del seno è $\omega t = 0{,}314\,\mathrm{rad}$ , cioè un ventesimo di giro. Il seno si calcola con la calcolatrice impostata in radianti, e vale circa $0{,}309$ . La f.e.m. in quell’istante è quindi circa $23{,}3\,\mathrm{V}$ , circa un terzo del valore massimo, perché la bobina ha ruotato di soli $18^\circ$ dalla posizione in cui la f.e.m. è nulla.

Esercizio 2

Un alternatore da laboratorio ha una bobina di $120$ spire di area $0{,}020\,\mathrm{m^2}$ , che ruota in un campo magnetico uniforme di $0{,}15\,\mathrm{T}$ perpendicolare all’asse di rotazione. Determina la velocità angolare, la frequenza e il numero di giri al minuto necessari per ottenere una f.e.m. di valore massimo $50\,\mathrm{V}$ .

\mathcal{E}_0 = N B S \omega \quad\Longrightarrow\quad \omega = \frac{\mathcal{E}_0}{N B S} , \qquad f = \frac{\omega}{2\pi} , \qquad n_{\text{giri al minuto}} = 60\,\mathrm{s} \cdot f

\begin{aligned} \omega &= \frac{50\,\mathrm{V}}{120 \cdot 0{,}15\,\mathrm{T} \cdot 0{,}020\,\mathrm{m^2}} = \frac{50}{0{,}36}\,\mathrm{rad/s} \approx 139\,\mathrm{rad/s} \\[6pt] f &= \frac{139}{2\pi}\,\mathrm{Hz} \approx 22{,}1\,\mathrm{Hz} \\[6pt] n_{\text{giri al minuto}} &= 60 \cdot 22{,}1 \approx 1{,}33 \cdot 10^3 \end{aligned}

Il campo è uniforme e perpendicolare all’asse di rotazione, quindi si applica il teorema sulla forza elettromotrice dell’alternatore, e il valore massimo della f.e.m. è $\mathcal{E}_0 = N B S \omega$ . In questa formula l’incognita è $\omega$ , e si ricava dividendo entrambi i membri per il prodotto $N B S$ . Il prodotto vale $120 \cdot 0{,}15 \cdot 0{,}020 = 0{,}36$ , in $\mathrm{T \cdot m^2}$ , cioè in weber.

Le unità sono coerenti, perché per la legge di Faraday-Neumann un volt è un weber al secondo, e quindi $\dfrac{\mathrm{V}}{\mathrm{Wb}} = \mathrm{s^{-1}}$ . Dividendo la pulsazione per $2\pi$ si ottiene la frequenza, cioè il numero di giri al secondo, e moltiplicando per $60$ si ottiene il numero di giri al minuto, circa $1330$ .

Esercizio 3

Il grafico mostra la f.e.m. misurata ai capi di una bobina di $200$ spire, ciascuna di area $5{,}0 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{m^2}$ , che ruota con velocità angolare costante in un campo magnetico uniforme perpendicolare all’asse di rotazione. Dal grafico ricava il valore massimo e il periodo della f.e.m.; poi calcola la pulsazione, l’intensità del campo magnetico e il valore massimo del flusso concatenato con la bobina, e scrivi la legge $\Phi_B(t)$ .

\mathcal{E}(t)

F.e.m. ai capi della bobina in volt, con il tempo

t

in millisecondi

\mathcal{E}_0 = 30\,\mathrm{V} , \qquad T = 40\,\mathrm{ms}

\omega = \frac{2\pi}{T} , \qquad \mathcal{E}_0 = N B S \omega \;\Longrightarrow\; B = \frac{\mathcal{E}_0}{N S \omega} , \qquad \Phi_0 = N B S = \frac{\mathcal{E}_0}{\omega}

\begin{aligned} \omega &= \frac{2\pi}{0{,}040\,\mathrm{s}} \approx 157\,\mathrm{rad/s} \\[6pt] B &= \frac{30\,\mathrm{V}}{200 \cdot 5{,}0 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{m^2} \cdot 157\,\mathrm{rad/s}} \approx 0{,}19\,\mathrm{T} \\[6pt] \Phi_0 &= \frac{30\,\mathrm{V}}{157\,\mathrm{rad/s}} \approx 0{,}19\,\mathrm{Wb} \\[6pt] \Phi_B(t) &\approx 0{,}19 \cos(157\,t)\,\mathrm{Wb} \end{aligned}

Il valore massimo si legge sull’asse verticale in corrispondenza della cresta, raggiunta all’istante $t = 10\,\mathrm{ms}$ , e vale $30\,\mathrm{V}$ . La curva parte da zero all’istante $t = 0$ e torna a zero salendo all’istante $t = 40\,\mathrm{ms}$ , dopo una cresta e una valle; perciò il periodo è $T = 40\,\mathrm{ms}$ , e la pulsazione è $\dfrac{2\pi}{T}$ .

La f.e.m. ha la forma $\mathcal{E}_0 \sin(\omega t)$ , quindi all’istante $t = 0$ la normale alle spire è parallela al campo, come nel teorema sulla forza elettromotrice dell’alternatore, e vale $\mathcal{E}_0 = N B S \omega$ . Dividendo per $N S \omega$ si ricava $B$ . Il numero $N S$ vale $200 \cdot 5{,}0 \cdot 10^{-3} = 1{,}0\,\mathrm{m^2}$ , e per questo il valore numerico di $B$ coincide con quello del flusso massimo.

Il flusso concatenato è $N B S \cos(\omega t)$ , come nella dimostrazione del teorema, quindi il suo valore massimo $\Phi_0 = N B S$ si ottiene anche come $\dfrac{\mathcal{E}_0}{\omega}$ . Il flusso è massimo all’istante $t = 0$ , quando la f.e.m. è nulla, in accordo con l’osservazione sul flusso massimo e f.e.m. nulla.