Forze di Lorentz su cariche in moto

Theory used: Forza di Lorentz Regola della mano destra Vettori perpendicolari al foglio Lavoro nullo della forza di Lorentz

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Esercizio 1

Un protone si muove nel piano del foglio verso destra con velocità $v = 4{,}0 \cdot 10^5\,\mathrm{m/s}$ , in un campo magnetico uniforme $B = 0{,}25\,\mathrm{T}$ uscente dal foglio. Calcola il modulo della forza di Lorentz sul protone e la sua accelerazione, determina il verso della forza e confronta la forza con il peso del protone. Usa $e = 1{,}60 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{C}$ , $m_p = 1{,}67 \cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ e $g = 9{,}81\,\mathrm{m/s^2}$ .

Protone con velocità

v

verso destra in un campo uscente dal foglio (

⊙

): la forza di Lorentz è rivolta verso il basso

F = e v B , \qquad a = \frac{F}{m_p} , \qquad P = m_p g

\begin{aligned} F &= 1{,}60 \cdot 10^{-19} \cdot 4{,}0 \cdot 10^5 \cdot 0{,}25\,\mathrm{N} = 1{,}6 \cdot 10^{-14}\,\mathrm{N} \\[6pt] a &= \frac{1{,}6 \cdot 10^{-14}\,\mathrm{N}}{1{,}67 \cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}} \approx 9{,}6 \cdot 10^{12}\,\mathrm{m/s^2} \\[6pt] P &= 1{,}67 \cdot 10^{-27} \cdot 9{,}81\,\mathrm{N} \approx 1{,}6 \cdot 10^{-26}\,\mathrm{N} \end{aligned}

\frac{F}{P} = \frac{1{,}6 \cdot 10^{-14}}{1{,}6 \cdot 10^{-26}} \approx 1 \cdot 10^{12}

La velocità giace nel foglio e il campo è perpendicolare al foglio, quindi l’angolo tra $\vec{v}$ e $\vec{B}$ è $90^\circ$ . Per la forza di Lorentz il modulo è perciò il massimo, $F = |q|\,vB = evB$ , e vale $1{,}6 \cdot 10^{-14}\,\mathrm{N}$ . Per il secondo principio della dinamica l’accelerazione è il rapporto tra la forza e la massa, circa $9{,}6 \cdot 10^{12}\,\mathrm{m/s^2}$ .

Il protone ha carica positiva, quindi il verso della forza è quello di $\vec{v} \times \vec{B}$ . Con la regola della mano destra si dispone il pollice verso destra e le altre dita fuori dal foglio, verso chi guarda; il palmo è allora rivolto verso il basso. Perciò la forza è diretta verso il basso, perpendicolare alla velocità.

Il peso del protone è circa $1{,}6 \cdot 10^{-26}\,\mathrm{N}$ , cioè circa mille miliardi di volte più piccolo della forza magnetica. Per questo motivo, nel moto delle particelle cariche nei campi magnetici, il peso si trascura.

Esercizio 2

Un elettrone entra con velocità $v = 3{,}0 \cdot 10^6\,\mathrm{m/s}$ in una regione dove c’è un campo magnetico uniforme $B = 2{,}0\,\mathrm{mT}$ . La velocità forma un angolo di $60^\circ$ con il campo. Calcola il modulo della forza sull’elettrone e la sua accelerazione. Spiega che cosa cambierebbe per un protone con la stessa velocità. Usa $e = 1{,}60 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{C}$ e $m_e = 9{,}11 \cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ .

F = e v B \sin\alpha , \qquad a = \frac{F}{m_e}

\begin{aligned} F &= 1{,}60 \cdot 10^{-19} \cdot 3{,}0 \cdot 10^6 \cdot 2{,}0 \cdot 10^{-3} \cdot \sin 60^\circ\,\mathrm{N} \\[6pt] &= 9{,}6 \cdot 10^{-16} \cdot 0{,}866\,\mathrm{N} \approx 8{,}3 \cdot 10^{-16}\,\mathrm{N} \\[6pt] a &= \frac{8{,}3 \cdot 10^{-16}\,\mathrm{N}}{9{,}11 \cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}} \approx 9{,}1 \cdot 10^{14}\,\mathrm{m/s^2} \end{aligned}

Per la forza di Lorentz il modulo della forza è $|q|\,vB\sin\alpha$ , con $\alpha$ angolo tra velocità e campo. Il campo va espresso in tesla, $2{,}0\,\mathrm{mT} = 2{,}0 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{T}$ , e $\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866$ . Si ottiene $F \approx 8{,}3 \cdot 10^{-16}\,\mathrm{N}$ , e dividendo per la massa dell’elettrone l’accelerazione è circa $9{,}1 \cdot 10^{14}\,\mathrm{m/s^2}$ .

Un protone con la stessa velocità ha carica $+e$ , con lo stesso valore assoluto della carica dell’elettrone. Perciò subisce una forza dello stesso modulo e di verso opposto, perché per una carica negativa il verso della forza è opposto a quello dato dalla regola della mano destra. La massa del protone è circa $1800$ volte quella dell’elettrone, quindi la sua accelerazione è circa $1800$ volte più piccola, $\dfrac{8{,}3 \cdot 10^{-16}}{1{,}67 \cdot 10^{-27}}\,\mathrm{m/s^2} \approx 5{,}0 \cdot 10^{11}\,\mathrm{m/s^2}$ .

Esercizio 3

Una particella alfa, formata da due protoni e due neutroni, ha carica $q = 2e$ e massa $m = 6{,}64 \cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ . Si muove perpendicolarmente a un campo magnetico uniforme $B = 0{,}40\,\mathrm{T}$ e subisce una forza di Lorentz di modulo $3{,}2 \cdot 10^{-14}\,\mathrm{N}$ .

Calcola la velocità della particella.
Calcola la sua energia cinetica in joule e in elettronvolt.
Spiega come varia l’energia cinetica mentre la particella si muove nel campo, se agisce solo la forza di Lorentz.

Usa $e = 1{,}60 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{C}$ e $1\,\mathrm{eV} = 1{,}60 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{J}$ .

F = q v B \quad\Longrightarrow\quad v = \frac{F}{q B} = \frac{F}{2 e B} , \qquad K = \frac{1}{2} m v^2

\begin{aligned} v &= \frac{3{,}2 \cdot 10^{-14}}{2 \cdot 1{,}60 \cdot 10^{-19} \cdot 0{,}40}\,\mathrm{m/s} = \frac{3{,}2 \cdot 10^{-14}}{1{,}28 \cdot 10^{-19}}\,\mathrm{m/s} = 2{,}5 \cdot 10^5\,\mathrm{m/s} \\[6pt] K &= \frac{1}{2} \cdot 6{,}64 \cdot 10^{-27} \cdot \left( 2{,}5 \cdot 10^5 \right)^2\,\mathrm{J} \approx 2{,}1 \cdot 10^{-16}\,\mathrm{J} \\[6pt] K &= \frac{2{,}1 \cdot 10^{-16}}{1{,}60 \cdot 10^{-19}}\,\mathrm{eV} \approx 1{,}3 \cdot 10^3\,\mathrm{eV} \end{aligned}

La velocità è perpendicolare al campo, quindi per la forza di Lorentz il modulo della forza è $F = qvB$ , con $q = 2e$ . Dividendo entrambi i membri per $qB$ si ricava $v = \dfrac{F}{2eB} = 2{,}5 \cdot 10^5\,\mathrm{m/s}$ . Questa velocità è circa mille volte più piccola della velocità della luce, quindi l’energia cinetica si calcola con la formula classica.

Con la formula $K = \dfrac{1}{2} m v^2$ si ottiene $K \approx 2{,}1 \cdot 10^{-16}\,\mathrm{J}$ . Per passare agli elettronvolt si divide per $1{,}60 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{J/eV}$ , e si trova circa $1{,}3\,\mathrm{keV}$ .

La forza di Lorentz è sempre perpendicolare alla velocità, quindi per il teorema sul lavoro nullo della forza di Lorentz il suo lavoro è nullo. Per il teorema dell’energia cinetica la variazione di $K$ è uguale al lavoro, perciò l’energia cinetica resta costante, e con essa il modulo della velocità. Il campo cambia soltanto la direzione del moto.