Forze su fili rettilinei percorsi da corrente

Theory used: Forza su un filo rettilineo Regola della mano destra Definizione operativa del campo magnetico Vettori perpendicolari al foglio

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Esercizio 1

Un filo rettilineo lungo $\ell = 40\,\mathrm{cm}$ è percorso dalla corrente $I = 2{,}5\,\mathrm{A}$ ed è immerso in un campo magnetico uniforme $B = 0{,}30\,\mathrm{T}$ , perpendicolare al filo. Il filo giace nel piano del foglio, con la corrente verso destra, e il campo entra nel foglio. Calcola il modulo della forza sul filo e determinane la direzione e il verso.

F = I \ell B \sin\alpha , \qquad \alpha = 90^\circ \quad\Longrightarrow\quad F = I \ell B

F = 2{,}5\,\mathrm{A} \cdot 0{,}40\,\mathrm{m} \cdot 0{,}30\,\mathrm{T} = 0{,}30\,\mathrm{N}

Il campo è uniforme e il filo è rettilineo, quindi si applica la legge della forza su un filo rettilineo, $F = I \ell B \sin\alpha$ . Il campo entra nel foglio e il filo giace nel foglio, perciò il filo è perpendicolare al campo, $\alpha = 90^\circ$ e $\sin\alpha = 1$ . La forza ha quindi il modulo massimo $I \ell B$ . Le unità sono coerenti, perché $1\,\mathrm{A} \cdot 1\,\mathrm{m} \cdot 1\,\mathrm{T} = 1\,\mathrm{N}$ per la definizione del tesla, e la lunghezza va espressa in metri, $40\,\mathrm{cm} = 0{,}40\,\mathrm{m}$ .

La forza è perpendicolare al filo e al campo, quindi giace nel piano del foglio ed è perpendicolare al filo. Per la regola della mano destra si dispone il pollice verso destra, nel verso della corrente, e le altre dita dentro il foglio, nel verso del campo. Il palmo è allora rivolto verso l’alto, perciò la forza di $0{,}30\,\mathrm{N}$ è diretta verso l’alto nel piano del foglio.

Esercizio 2

Un filo rettilineo lungo $80\,\mathrm{cm}$ , percorso dalla corrente $I = 4{,}0\,\mathrm{A}$ , forma un angolo di $30^\circ$ con un campo magnetico uniforme $B = 0{,}050\,\mathrm{T}$ .

Calcola il modulo della forza sul filo.
Calcola il valore massimo della forza che si può ottenere ruotando il filo, con la stessa corrente e la stessa lunghezza.
Determina gli angoli tra il filo e il campo per i quali la forza vale $0{,}12\,\mathrm{N}$ .

F = I \ell B \sin\alpha , \qquad F_{\max} = I \ell B , \qquad \sin\alpha = \frac{F}{I \ell B}

\begin{aligned} F &= 4{,}0 \cdot 0{,}80 \cdot 0{,}050 \cdot \sin 30^\circ\,\mathrm{N} = 0{,}16 \cdot 0{,}50\,\mathrm{N} = 0{,}080\,\mathrm{N} \\[6pt] F_{\max} &= 4{,}0 \cdot 0{,}80 \cdot 0{,}050\,\mathrm{N} = 0{,}16\,\mathrm{N} \end{aligned}

\sin\alpha = \frac{0{,}12\,\mathrm{N}}{0{,}16\,\mathrm{N}} = 0{,}75 \quad\Longrightarrow\quad \alpha \approx 49^\circ \quad \text{oppure} \quad \alpha \approx 180^\circ - 49^\circ = 131^\circ

Per la legge della forza su un filo rettilineo il modulo della forza dipende dall’angolo $\alpha$ tra il filo e il campo attraverso il fattore $\sin\alpha$ . Con $\alpha = 30^\circ$ si ha $\sin\alpha = 0{,}50$ , quindi la forza vale metà del prodotto $I \ell B = 0{,}16\,\mathrm{N}$ , cioè $0{,}080\,\mathrm{N}$ .

Il seno non supera $1$ , e vale $1$ per $\alpha = 90^\circ$ . Perciò la forza massima si ottiene con il filo perpendicolare al campo e vale $F_{\max} = I \ell B = 0{,}16\,\mathrm{N}$ .

Per l’ultima domanda si ricava $\sin\alpha$ dalla stessa legge, dividendo la forza assegnata per $I \ell B$ , e si ottiene $\sin\alpha = 0{,}75$ . Tra $0^\circ$ e $180^\circ$ ci sono due angoli con questo seno, perché $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$ . Con la calcolatrice si trova $\arcsin 0{,}75 \approx 48{,}6^\circ$ , quindi gli angoli cercati sono circa $49^\circ$ e circa $131^\circ$ . Nei due casi la forza ha lo stesso modulo, e il verso si trova con la regola della mano destra.

Esercizio 3

Un filo piegato a L giace nel piano del foglio. Il primo tratto $PA$ , lungo $30\,\mathrm{cm}$ , è orizzontale e la corrente lo percorre verso destra; il secondo tratto $AQ$ , lungo $40\,\mathrm{cm}$ , è verticale e la corrente lo percorre verso l’alto. Il filo è percorso dalla corrente $I = 5{,}0\,\mathrm{A}$ ed è immerso in un campo magnetico uniforme $B = 0{,}20\,\mathrm{T}$ entrante nel foglio. Calcola la forza su ciascun tratto e la forza totale sul filo, e confronta il risultato con la forza su un filo rettilineo da $P$ a $Q$ percorso dalla stessa corrente.

Filo piegato a L in un campo entrante nel foglio (

\otimes

): il tratto orizzontale subisce la forza

F_{1}

verso l'alto, il tratto verticale la forza

F_{2}

verso sinistra

F_1 = I \ell_1 B , \qquad F_2 = I \ell_2 B , \qquad F = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}

\begin{aligned} F_1 &= 5{,}0 \cdot 0{,}30 \cdot 0{,}20\,\mathrm{N} = 0{,}30\,\mathrm{N} \\[6pt] F_2 &= 5{,}0 \cdot 0{,}40 \cdot 0{,}20\,\mathrm{N} = 0{,}40\,\mathrm{N} \\[6pt] F &= \sqrt{0{,}30^2 + 0{,}40^2}\,\mathrm{N} = 0{,}50\,\mathrm{N} \end{aligned}

\overline{PQ} = \sqrt{0{,}30^2 + 0{,}40^2}\,\mathrm{m} = 0{,}50\,\mathrm{m} , \qquad I \cdot \overline{PQ} \cdot B = 5{,}0 \cdot 0{,}50 \cdot 0{,}20\,\mathrm{N} = 0{,}50\,\mathrm{N}

Ciascun tratto è rettilineo e perpendicolare al campo, che entra nel foglio, quindi per la legge della forza su un filo rettilineo la forza su ogni tratto ha modulo $I \ell B$ . Si ottengono $F_1 = 0{,}30\,\mathrm{N}$ e $F_2 = 0{,}40\,\mathrm{N}$ .

I versi si trovano con la regola della mano destra, con le dita sempre dentro il foglio. Nel tratto $PA$ il pollice è rivolto verso destra e il palmo verso l’alto, quindi $\vec{F}_1$ è diretta verso l’alto. Nel tratto $AQ$ il pollice è rivolto verso l’alto e il palmo verso sinistra, quindi $\vec{F}_2$ è diretta verso sinistra.

Le due forze sono perpendicolari, perciò la forza totale si calcola con il teorema di Pitagora e vale $0{,}50\,\mathrm{N}$ . La forza totale è diretta verso sinistra e verso l’alto. Nel piano del foglio la sua direzione ha coefficiente angolare $\dfrac{0{,}30}{-0{,}40} = -\dfrac{3}{4}$ , mentre il segmento $PQ$ ha coefficiente angolare $\dfrac{0{,}40}{0{,}30} = \dfrac{4}{3}$ . Il prodotto dei due coefficienti è $-1$ , quindi la forza totale è perpendicolare a $PQ$ .

Il segmento $PQ$ è l’ipotenusa di un triangolo rettangolo con cateti di $30\,\mathrm{cm}$ e $40\,\mathrm{cm}$ , quindi è lungo $50\,\mathrm{cm}$ . Un filo rettilineo da $P$ a $Q$ , perpendicolare al campo, subirebbe la forza $I \cdot \overline{PQ} \cdot B = 0{,}50\,\mathrm{N}$ , perpendicolare a $PQ$ . Le due forze coincidono, perciò in un campo uniforme il filo piegato subisce la stessa forza del filo rettilineo che ne congiunge gli estremi.